如何证明圆上若干点构成的多边形最大面积在正多边形时取到？ 第1页
1
yu-yiren-62 网友的相关建议:
单位圆上的凸 边形取得面积最大值时，圆心 必位于它的内部。
证明是很容易的。设 就是这凸 边形，圆心 位于它的外部，则 这 个顺时针排列的顶点必定位于单位圆的同一个半圆弧上。这时，显然有 考虑这三角形 假使我们调整 位置使它变为 这 是弦 中点与圆心 连线与圆的不在前述半圆弧上的那个交点，这时， 保持不变，但 显然变大了，于是总的 也将随之变大。这说明，如果圆心 位于凸 边形的外部，我们总可以调整顶点的位置、让圆心 变到形内以使凸 边形面积增大，于是结论得证。
单位圆上的凸 边形取得面积最大值时，必是正 边形。
基于 的结论，将的各个顶点分别与形内的 相连，并设
于是有 注意到 在 上是凹函数，于是依 不等式，成立 当且仅当 时成立等式。由此即证。
Huxley-84-43 网友的相关建议:
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度 ，三角形边长 ，则：
这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：
记魔鬼速度 ，则捉住天使的时间：
这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：
1
相关话题
关于悬链线问题，除了变分法，有什么巧妙解法吗？为什么世界上最顶尖的科学家很多是单身汉？
半径为 2 的圆，其周长和面积相等吗？
有哪些数学定理或者数学知识惊呆了你？
怎么证明勾股定理?
为什么几乎所有教科书上对微分的讲解都不明不白？
为什么前人花了大量时间，用他们的聪明才智发现的定理，后人只要花相对很少的时间就能弄明白？
9.99循环这个数存不存在，如果存在，那么它是整数还是无限循环小数？
两个相邻的质数之和（除了2与3）除二得到的值是合数，有数学证明吗？
为什么没有以正右为 0 点并以逆时针转动的手表？
前一个讨论
这个矩阵的秩如何证明?
相关的话题
做数学做得狂躁了，我该怎么平静下来?法国公立数学计算机毕业后怎么选择?
叶戈罗夫定理的逆定理该怎么证明？
前N个整数的最小公倍数有没有近似公式？
高中数学有没有可能在往后的人生中几乎用不到，如果有，那我们学习的意义是什么？
数学中有哪些看起来很不可思议的知识？
送数学系男生尺子合适吗？
怎么证明这个积分不等式？
有哪些有趣而著名的悖论？
数学中有哪些让你感到赏心悦目或是震惊的构造手法？
如何看待 Google 2004 年在硅谷公路旁一巨型广告牌上贴出的那道数学题用于招聘？
怎么证明 n 维表面积公式是 n 维球体公式关于半径 r 的微商？
方程 cos(x) = x 的唯一实数解是不是超越数？
这张珍贵的照片是什么时候照的？分别都有谁？
有没有哪些数学题的某一步处理堪称神来之笔？
为什么lnΓ(x)~(x-1/2)lnx-x+1/2ln(2pi）？
该函数的最小值是多少?应该怎么解？思路是什么？
爱因斯坦搞统一场论为什么失败？是因为数学知识不够吗？
十赌九输这句话有根据吗?
如何证明以下等式?
有哪些指标可以描述两个图（graph）的相似度？
如何用数学证明活着就有希望？
如果让过去的顶级数学家参加IMO，会是什么成绩？
这张算数入门图（一只兔子加一只兔子）里的题在算什么？
数列极限的四则运算中条件需有限次是什么意思？
假设新冠疫苗开始生产，月产能从 20W、500W 涨到 6000W，应该怎么下发疫苗最合理？
既然点没有长度，为什么线段就有长度？
为什么n维欧式空间中的单位球面（n-1 sphere）的表面积和体积，在 n 趋于 ∞ 时，都趋于0？
海上两艘孤船仅凭信号灯能否逐渐建立沟通？
数学好的人去搞生物是种怎样的体验？