为什么玻尔兹曼熵要对状态数取自然对数？ 第1页

1991年有一篇极好的科普文章：

A. Wehrl, The many facets of entropy,Rep. Mat. Phys. (1991) 30, 119

讲这个事情。要从微观出发，得到系统的热力学熵，其表达式必须具备某种形式。

四种统计物理中常见的熵（不计测度熵和拓扑熵）共同的基本性质为：

1.不变性，相空间的熵在正则变换下不变，三种经典熵在保测度变换下不变；量子熵在unitary变换下不变。2.而且，熵还都是凸函数。3.熵也都具有可加性（additive）或subadditive。

具有上述性质的离散的熵的函数形式几乎是唯一的：

定理：任何具有上述性质的离散的熵，其函数形式必为（Shannon熵 或von Neumann熵）和（Shannon熵 或Hartley 熵（1928））的线性组合（J. Aczel, B. Forte, C. T. Ng, Adv. Appl. Prob. (1974) 6, 131）。

@Again 指出存在反例，但此处看上去应该是指一般的情况。感觉在统计物理中，由于这是个多体问题，特例总会存在的。而且目前对熵的研究仍然是一个科研方向。我阅读的这篇文章里，自己就指出了一个open question:

量子力学中的熵不具备单调性。但是1991年为止还没有实验观测到这个效应。

简单搜索文献可以看到一些研究文章：