如何通俗理解 beta 分布？ 第1页

假如你在做一个抛硬币实验。硬币朝上的概率是 p，但是你不知道具体是多少，你想通过实验确定 p。

你做了 A + B 次实验，抛出 A 次正面，B 次反面。请问 p 是多少？

什么？你说 ？

太不专业了吧，我们是统计科学家，什么事情都要看个概率。

最符合我们的实验结果，固然可能性最大，但是我们也不能忽略其他取值的可能性。

比如说吧，如果说 ，那我们能不能扔出 A 次正面，B 次反面？可能啊，而且可能性很大，如果 ，那我们的实验结果也几乎完全符合预期。再比如说，就算 ，那我们扔出 10 次正面，0 次反面，有没有可能？好像也有可能，只是可能性很小。

看到没有，这个 p 始终有可能是 0 到 1 当中的任何一个值。而当我们观测到 A 次正面，B 次反面之后，能做的只是给它一个概率分布，就像上面说的， 的可能性很大，而 的可能性很小。

那么，这个概率分布到底是什么呢？有的同学可能知道了，就是贝塔分布。

但是先别急着看结论。这个问题其实并不难，我们先来自己动手算一下，实践出真知：

我们在对这个硬币一无所知的情况下，认为 是 0 到 1 的任何值都是等可能的。因此，在观测到一些实验结果之后，我们可以按照极大似然估计的思想 —— 参数 下我的实验结果的可能性，就是参数 的靠谱程度——得到参数 的分布。

假设这个硬币出正面的概率是 ，我们一共做了 A + B 次实验，那么我们得到 A 次正面的概率可以简单地算出来，从 A + B 次实验里面有 A 个正面的情况数量是 ，每个情况的出现概率是 。综合起来，A 次正面的概率是：

这个概率 就是所谓“参数 下我的实验结果的可能性”，同时也是 的靠谱程度，也就是似然。

那么我们把 的靠谱程度做成函数，其实就是把上面等号左边的形式改一下：

然后我们把这个靠谱程度的函数归一化一下，让它的积分为 1，变成一个概率分布。直观上看，要把一个正函数变成一个概率分布，就是要让函数的图像面积为 1. 所以做法就是给这个函数除以它的图像面积，也就是这个函数的积分。于是就有：

你如果知道 Beta 分布的公式的话，相信你已经看出来怎么回事了。我们得到的，其实就是 Beta 分布的概率密度函数。下面我把维基百科的 Beta 分布密度函数粘贴过来，同学们可以对比一下：