正好2年前学过这个,为解决这个问题,先介绍一个定理:
Frisch-Waugh-Lovell Theorem
If the regressors are partitioned as in , then:
1. If and are the OLS regression coefficients in the regression
, then
and
where and .这里的 就是线性回归里面的projection matrix.
2. The residual
这个定理的证明主要是用到一些分块矩阵的知识,暂且不表,主要是用它来说明一下问题。
现在我们假设我们真实的full model是以下形式:
,
记这个model的OLS estimator为 , 其中 OLS estimate 是 的无偏估计(根据 Gauss-Markov 定理), 的variance则是 (根据Frisch-Waugh-Lovell 定理).
再假设我们实际使用的是一个更简单的resitrcted model:
,
记这个model的OLS estimator为 , 那么它的期望则是
,
它的方差则是 .
显然,只有当 (即 对 不起作用)或者 (即 和 正交)的时候, 才是无偏估计,否则 是 的biased estimator.
而对于方差而言,因为 是个semidefinite positive matrix, 所以理论上说 的方差要大于 .
但实际估计的时候有一个问题,就是 的值我们是不知道的,所以也需要把它估计出来. 记full model的residual是 , 的estimate是 ; restricted model的residual是 , 的estimate是 .那么我们可以通过Frisch-Waugh-Lovell 定理得到以下结论:
因此, . 而
, ,因此二者的大小关系无法确定,还取决于 的值。
综上所述,虽然理论上讲, 的方差要小于 , 但因为我们估计的 方差则是 , 方差则是 , 所以实际上empirically这个比较的结果是不确定的,它取决于sample size T的大小,regressors的个数,以及 和 之间的关系。
不过我们还可以求一二者standard error的期望,分别是:
当 时,我们有:
所以,如果 很小而 很大的时候,是很有可能 的. 这事实上就是 @水寒龙猫 那个回答里面simulation的情况
可能会有一些小问题,欢迎指出。