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怎样理解和区分中心极限定理与大数定律? 第1页

  

user avatar   xie-qiong-yu-42 网友的相关建议: 
      

这个问题看了好几天了,发现有些回答存在一些谬误。

大数定律、中心极限定理是概率论最重要的基础,而格里文科定理是推断统计学的基石。如果能理解这三个定理,很多东西都迎刃而解。

为什么我们可以用样本的均值和方差估计总体的期望和方差?为什么我们可以用样本的经验分布函数估计总体的分布函数?依据就是这三个定理。

1、大数定律

大数定律讲的是,样本容量极大时,样本的均值必然趋近于总体的期望。

弱大数定律

随机变量序列 独立同分布,

期望 存在,

依概率收敛于期望

强大数定律

随机变量序列 独立同分布,

期望 存在,

以概率1收敛于期望

又称几乎处处收敛于 。

关于弱大数定律和强大数定律的区别,知乎又答案讲的很好,这里就不多说了。

大数定律告诉我们,样本容量极大时,样本均值 ,因此我们可以用样本均值来估计总体的期望。



2、中心极限定理

中心极限定理讲的是,样本容量极大时,样本均值的抽样分布趋近于正态分布。这和样本所属的总体的分布的类型无关,样本所属总体的分布可以是正态分布,也可以不是。

随机变量序列 独立同分布,且期望 存在,方差 存在, ,

即当 时,

也就是,样本容量极大时,样本均值的抽样分布趋近于期望为 ,标准差为 的正态分布。

大数定律和中心极限定理都是讲样本均值的分布的估计,只不过是相比大数定律,中心极限定理更精确,当然前提条件也比大数定律的强。

中心极限定理告诉我们,样本量极大时,

3、格里文科定理

格里文科定理讲的是,样本容量极大时,样本的分布趋近于总体分布。

从总体 的抽取样本 ,取定观测值时,对观测值按从小到大取定顺序统计量 ,

定义函数


称 为总体 的经验分布函数。

设总体 的分布函数是 , 是 的经验分布函数,则有

即当 时,经验分布函数 关于 以概率 均匀地趋近于总体分布函数 。

通俗的来说就是,当样本容量极大时,经验分布函数 几乎必然趋近于总体分布函数

这也是用样本来推断总体的理论依据,甚至可以说是推断统计学的存在性定理。


user avatar   zhang-yu-meng-7 网友的相关建议: 
      

试图从另一个角度给出一个还算启发性的答案。

题主学过微积分的泰勒展开吧,对一个连续可导的函数,在一点局部我们认为这个函数可以用线性函数来拟合,从而有

.

这里面 是零阶项,是一阶修正,是高阶小量。

与此对应,我们可以试着对随机变量的进行“局部的泰勒展开”。假设是独立同分布的变量,那么根据大数定律和中心极限定理,我们有

.

其中期望对应 ,标准差对应一阶导,标准正态分布对应线性函数,是概率意义下的高阶小量。

通过这个类比我们可以这样理解大数定律和中心极限定理:

1、大数定律和中心极限定理可以看做随机变量的零阶和一阶“泰勒展开”,其中大数定律是随机变量的“零阶估计”,中心极限定理是在大数定律成立下的“一阶导数”,在极限下高阶小量可忽略。

2、大数定律负责给出估计——期望,中心极限定理负责给出大数定律的估计的误差——标准差乘以标准正态分布。

3、通过泰勒展开我们可以对中心极限定理的应用范围有一个直观的估计。为了使泰勒展开成立,我们假设了高阶小量在取平均(除以后)是可以忽略的。为了使这一点成立,我们至少需要样本量和方差在同一量级上或者更小。

4、其实我们还可以进行更高阶的展开,貌似三阶展开对应的统计量叫做skewness,wiki上常用分布的词条都会给出这一数值。不过实际应用中中心极限定理已经足够,所以通常也就不需要了。


user avatar   sijichun 网友的相关建议: 
      

从大学到现在,我使用Java已经将近20年,日常也带实习生,还在公司内部做training,所以可以分享下我的经验,希望对你有用。

因为是在工作中培训,就必然有两个约束:实用、时间紧,因此就不能像大学那样,把所有的知识点都面面俱到的讲到。而只能挑基础的,实用的,难理解的讲。至于其他边边角角的知识,就一笔带过。一则没有时间,二则不常用,再则既使讲了,学生印象也不深刻。总之一句话:“好钢用在刀刃上”。

下面,就根据我的实践,具体谈下学习过程:

1.基础知识

我学习java的时候,先是通读了《Java编程思想》,然后是《Java核心技术》。当时这两本书还不像现在这么厚,而刚才我把案头的《Java核心技术》第9版翻了翻,上下两册已经1700多页了,可想而知,如果要把它通读一遍,且不说把所有的代码都调通,就是当小说读,估计也需要些时间。

但我现在教学依然首推《Java核心技术》,主要是体系完整,实例多,可操作性强。但对初学者,我一般是只讲前6章,也就是下面的内容:

  1. Java程序设计概述
  2. Java程序设计环境
  3. Java的基础程序设计结构
  4. 对象与类
  5. 继承
  6. 接口与内部类

就《Java核心技术》第9版来说,也就是到250页为止,加把劲,1个月拿下完全没问题。

因为你是自学,所以建议你一定要把其中的代码都调通,课后的作业尽量去做。除此之外,还有两点特别重要:

#.学习笔记

因为你是自学,不像在企业中学了就能够实践,印象自然特别深刻。而自学因为没有实践的及时反馈,所以记笔记就显得特别重要。因为记笔记就像写作一样,是整理思路的绝佳方法。同时学习笔记也是你以后开发,面试的绝好资料。

学习编程,人跟人是不一样的,别人觉得难理解的东西,对你却不一定;而你觉得难理解的东西,别人可能又会觉得特简单。而学习笔记就是自己专有的“难点手册”,有点像高考时的“错题本”,以后无论是在面试前,还是在日常工作中,随时都可以翻出来看看,自是获益匪浅。

#.分门别类保存demo

学习笔记是很好的文字资料,但编程界有句话说的特别好,所谓“no code, no text”,意思就是说:千言万语都没有一段代码来的实在。

以我的经验,在你在学习的过程中,就某个知识点,无论当时理解的多透彻,调试的多棒,只要时间一长,等到了实用的时候,肯定会碰到各种各样的问题,一些看似简单的东西,此时死活就是调不通,正所谓人到事中迷。这个时候,如果你手头恰有运行良好的demo,打开参考一下(甚至直接拷贝过来),问题自然迎刃而解。而且因为这些demo都是你亲手调试出来,印象自然特别深刻,一碰到问题,在脑子中自会立刻涌现。

所以说,在学习的过程,一定要善待你调通的demo,千万不要用完了就扔,等后来碰到困难,想要用时却找不到,追愧莫及。正确的做法就是把所有调通的demo,分门别类的保存起来,到时候查起来自是得心应手。

人都说“书到用时方恨少”,其实代码也是这样,所谓“demo用时方恨少”。

2.Spring

目前在Java EE开发中,Spring已经成为和Java核心库一样的基础设施,所以说如果想成为一个合格的Java程序员,Spring肯定绕不开。另一方面,如果掌握了Spring体系,Java基本上就算入门了,就有能力进行一些实用级的开发了。

但Spring本身也是日渐复杂,衍生项目越来越多,但最最核心的概念依旧是IOC和AOP,掌握了这两个概念,再把Spring MVC学会,再学习其他的衍生项目就会平滑很多。

同时,因为Spring本身就应用了许多优雅的设计理念,所以学习Spring的过程,也是加强Java基础知识学习的过程。因此等你掌握了Spring,原来很多你理解不透彻的Java特性,此时就会恍然大悟,包括接口、抽象类等。

我学习Spring,读的第一本书是《Spring实战》,坦率的说,书很一般,但市面上比它好的书,我却没有遇到过。还有一本《Spring源码深度解析》也不错,对Spring的设计理念讲的尤其透彻,虽然整本书读起来有些艰涩,但前几章却生动有趣,也是整本书的精华。所以建议你在学习Spring之前,先把该书的前几章通读一下,然后再回过头来学习《Spring实战》会顺利很多。

以我经验,要学透Spring,终极的方法还是阅读源码(我当时就是这么干的),待把Spring的核心源码通读了,人就真的自由了(所谓无真相不自由),不仅是对Spring,而是对整个Java体系。以后再遇到其他框架,大概一眼就能看出其中的脉络,所谓到了“看山不是山”的境界。但这都是后话,可以作为以后你努力的方向。

和学习Java基础知识一样,学习Spring也一定要记笔记,一定要分门别类保存demo。

老实说,Spring对初学者不算简单,因此最好能有个好老师带一下,不用太长时间,2个课时即可,然后就是在你遇到大的困难时,能及时的点拨下。

以我的经验,要初步掌握Spring,大概需要1到1个半月的时间。

3.其他知识

Spring是Java编程的基础设施,但真要进入到实际项目的开发,还有些东西绕不过,包括 MySql,Mybatis,Redis,Servlet等,但如果你经过Spring的洗礼,这些东西相对就简单多了,以我的经验,1个月的时间足够了。

4.实践

学习Java,光学不练肯定是不行的。但因为是自学,所以就没有实际的产品让你练手,但也没有关系,谁大学还没有做过毕业设计呢?以我的经验,大家最爱的“学生管理系统”依旧是个很好的练手系统。

别看“学生管理系统”逻辑简单,但麻雀虽小五脏俱全,其中数据库设计、Mybatis,Spring、SpringMVC,Servlet、Tomcat一个都不缺,绝对的练手好伴侣。

还有,虽然你的学习重点在Java,因为要做一个完整的demo,前端的配合肯定少不了。因此就免少不了要学一些简单的JS、HTML知识,但因为前端本就是个很大的topic,所以一定要控制好边界,千万不要顾此失彼。就“学生管理系统”来说,在前端上,只要实现一个包含table、textbox、button,能发送REST请求到server,能实现学生的“增删改查”的简单页面即可。

作为一个练手项目,目标就是把Java的主要技能点串起来,所以自不求尽善尽美(也不可能),所以1个月时间足够了。

.最后

按照上面的过程,4个月的时间刚刚好。当然Java的体系是很庞大的,还有很多更高级的技能需要掌握,但不要着急,这些完全可以放到以后工作中边用别学。

学习编程就是一个由混沌到有序的过程,所以你在学习过程中,如果一时碰到理解不了的知识点,大可不必沮丧,更不要气馁,这都是正常的不能再正常的事情了,不过是“人同此心,心同此理”的暂时而已。

在日常的教学中,我常把下面这句话送给学员们,今天也把它送给你:

道路是曲折的,前途是光明的!”

祝你好运!

--- 上面是原答案 ---

我把上面的内容作了下整理,画了学习路线图,内容也有些升级,供参考。

因为有朋友,通过留言或私信方式问我:Java中有哪些知识已经过时,不需要再学习了

回答的多了,就感觉这是一个普遍的问题,因此统一整理了下,作为这篇文章的补充,希望对你有用。


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中国的平头老百姓是啥都不懂的、啥都做不了的、啥都不想做的贱民吗?

英雄的老百姓关心美国,因为它就横亘在面前。

“Because it's there.”

因为山就在那里,所以英雄的老百姓就想征服一下呐,人类的天性而已,家畜或许不能理解。


全世界所有厉害的东西,中国的平头老百姓都关心:上至国际空间站,卡西尼,奥陌陌,旅行者;下至下水道油布包,煮饭仙人,圆珠笔尖,还有猛禽,幽灵,高精狙,福特号,电磁炮,可燃冰,盾构机,大豪斯,大牛排,电瓶车,鸟语花香,老虎大象,GPS,NMD,M1p,RTX,诺贝尔,太平洋。

我想要的不多。你给不了,我就自己想办法。

不允许吗?


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