一个球从一米自由下落，假设没有空气阻力，每次反弹损失一半能量，最终它会停下来吗？ 第1页

我想可能乍一看会有一种误解：小球每次反弹速率（或者说能量）都不为0，那么必然要无限次反弹之后才能停下，因此这个小球就永远停不下来。

这是一个典型的芝诺悖论问题，大致就是小树和强强赛跑，强强先跑10m，小树跑的比强强快。那么按照常识小树肯定会追上强强对吧。但是如果拆分开来一次次的看呢？

当小树跑到10m的时候，强强可能已经在11m了；然后小树跑到11m的时候强强已经在11.1m了......以此类推，小树永远都追不上强强。

诶？这是个啥情况啊。

我们以这个题来考量：

假设小球下落初始高度为 ，势能为mgh，初次撞击前速率为 ，耗时

根据题设条件每次撞击损失一半能量即速度降为 ,那么显然高度也会降低到

根据动量定理或者匀加速运动公式可知再次碰撞的时间为 ,也就是撞击间隔以 的速率等比递减

如果我们从第一次碰撞之后开始计时，那么运动总时间：

根据等比数列的求和公式：初次碰撞之后 也就是大概2.18s就会停止。如果是从开始下落计时则需要2.63s。

这个问题的悖论在于，需要无限次碰撞，但是碰撞间隔在缩短，所以无限次碰撞所用的时间不是无限长。上个图，就是这样......

如果我们定义上次碰撞到本次碰撞之间的间隔为碰撞周期的话，那么碰撞频率实际上是以指数规律迅速增大的：