百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



有没有一个数可以既是完美数又是完全平方数? 第1页

  

user avatar   wen-da-xue-shi-56 网友的相关建议: 
      

其实这个问题并不难回答,一个数不可能既是完全数又是平方数, 原因如下:

首先,对于偶完全数我们有

定理 1: 是一个偶完全数当且仅当 其中 为素数.

证明:设 ,其中 为素数,则我们有

从而可知 为偶完全数. 反之,设 为偶完全数,则 可以写成 ,其中 为奇数. 由于 与 互素,从而有

由于 ,则由上式可知

即 为 的真因子. 而 又为 的真因子之和,故必有 . 从而可得 为素数,且

定理 1 可知偶完全数不可能为平方数. 而对于奇完全数,我们又有

定理 2:若 是奇完全数,则 ,其中 为奇素数, 和 为奇数,且满足 ,.

证明:设 的素因子分解为

由于 为完全数,故有

因为

从而 与 的奇偶性互异. 由 为奇数知 ,故 , , , 中只能有一个为奇数. 不妨设 为奇数,若 ,则有 ,而

故有 ,这与 矛盾,从而有 . 若 则我们又有

从而也有 ,但这还是与 矛盾,故有 . 现令 , ,则我们有 , 为奇素数, 和 为奇数,且 ,.

定理 2 可知奇完全数也不可能为平方数.

上述关于完全数的两个漂亮且重要的结论都是数学家 Euler 给出的,在此向数学大师致敬!




  

相关话题

  如果我能证明哥德巴赫猜想,也就是1+1,那么写成文章发在知乎应该成果不会被它人盗取吧? 
  怎样证明根号 3 是无理数? 
  如何用初等数论知识证明26是唯一夹在一个平方数和立方数间的正整数? 
  是否大于等于5的质数都能写成质数+质数+1? 
  整數分拆中的分拆函數能否延拓至非整數? 
  求证:关于菲尔兹奖得主舒尔茨的这个非常特殊的说法,是否属实? 
  一个四位质数,各位相加得出的和是不是仍是质数(和为偶数除外)? 
  请问贝祖定理(裴蜀定理)除了用辗转相除法还能怎么证? 
  如何证明不定方程是否有解? 
  将一个大于等于3的数分成三个正整数相加有多少种分法? 

前一个讨论
这个求最值的问题有啥妙解嘛?
下一个讨论
万有引力定律中,为什么由 F∝m、F∝M 可以推出 F∝Mm?如何用数学方法证明?





© 2025-04-03 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-03 - tinynew.org. 保留所有权利