其实这个问题并不难回答,一个数不可能既是完全数又是平方数, 原因如下:
首先,对于偶完全数我们有
定理 1: 是一个偶完全数当且仅当 其中 为素数.
证明:设 ,其中 为素数,则我们有
从而可知 为偶完全数. 反之,设 为偶完全数,则 可以写成 ,其中 为奇数. 由于 与 互素,从而有
由于 ,则由上式可知
即 为 的真因子. 而 又为 的真因子之和,故必有 . 从而可得 为素数,且
由 定理 1 可知偶完全数不可能为平方数. 而对于奇完全数,我们又有
定理 2:若 是奇完全数,则 ,其中 为奇素数, 和 为奇数,且满足 ,.
证明:设 的素因子分解为
由于 为完全数,故有
因为
从而 与 的奇偶性互异. 由 为奇数知 ,故 , , , 中只能有一个为奇数. 不妨设 为奇数,若 ,则有 ,而
故有 ,这与 矛盾,从而有 . 若 则我们又有
从而也有 ,但这还是与 矛盾,故有 . 现令 , ,则我们有 , 为奇素数, 和 为奇数,且 ,.
由 定理 2 可知奇完全数也不可能为平方数.
上述关于完全数的两个漂亮且重要的结论都是数学家 Euler 给出的,在此向数学大师致敬!