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正整数 (m, n) 如何取值使得 m*n-pi*n^2 的绝对值最小? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      
原问题即为

完全不会数论,所以以下的回答全是我查资料查的(所以我回答的可信度取决于资料的可信度)。。。

无理数 的Markov constant定义为 [1]。容易知道:

  • (为什么?根据 的定义,存在一列 使其单调递增趋于 ,并且 有无数个解,故 。然后不等式两端令 即得)。
  • 等价于 (从左推右是上一条,从右推左是因为,假设结论不成立,即 ,那么使得 的 只有至多有限个。再结合 是无理数的事实知道 ,与条件矛盾)

设 是无理数 的连分数展式序列 ,根据维基百科[1]

  • 假如 有界,且上极限是 ,那么 ,因此
  • 无界,等价于 ,这还等价于

所以原问题等价地归结为 这个序列(OEIS A001203[2])是否是有界的,如果有,界大概是多少。我在网上找了一圈,居然连是否有界都没找到结果。下表给出了这个序列前 项( )的最大值

可以看出,按这个趋势,看起来像是无界的吧,所以我猜测

另外放一些已知的结果:

  • 别人回答的评论区也有人提到,如果 的irrationality measure 严格大于 ,那么 (所谓 的irrationality measure,就是指使得 对至多有限个 成立的 下确界。显而易见, 蕴含 。但对于 ,我们目前只知道 ,是否有 还不得知。如果 ,那好像什么也推不出来:)
  • 如果把 换成 ,那么 [3];但如果把 换成二次根式(比如 ),那么 (因为 的连分数展式是循环的,从而有界)。
  • 对任意无理数 ,都有 ,这是所谓的Hurwitz定理[4]:对任何无理数 ,都有无数对 使得

参考

  1. ^ a b https://en.jinzhao.wiki/wiki/Markov_constant
  2. ^ http://oeis.org/A001203
  3. ^ https://math.stackexchange.com/questions/2126551/do-we-know-a-transcendental-number-with-a-proven-bounded-continued-fraction-expa
  4. ^ https://en.jinzhao.wiki/wiki/Hurwitz%27s_theorem_(number_theory)



  

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