所有质数的倒数的平方和的精确值是多少？ 第1页
1
Matrixor 网友的相关建议:
不是所有的级数都有名字，但这个式子有自己的名字，它叫prime zeta function:
( )
就是题主想要的值。
很显然，这货跟Riemann zeta function脱不了干系，它们的关系表现在下面这个定理中：
定理 [1] ：对于所有的 ，我们有如下式子成立
.
所以
幸运的是， 的值在1734年就被欧拉解决了[2]:
,
其中 是Bernoulli数。
所以 这是准确值。
另外，根号里有几项长这个样子：
Glaisher写了本书On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers研究过类似问题，只不过是在1891年。
最后放一张Riemann zeta function的图像~
参考
1
相关话题
如何看待这位知友提出的这个声称只有他能解的问题？勾股数有有限多组还是无限多组？
两相邻素数的最大间距能够多大？
公民身份号码有可能是素数吗？
如何看待几何数论（geometry of numbers）这一数论分支？
存不存在连续的三个奇数都是素数（3，5，7 除外）？如果不存在又是为什么？
收敛的有理系数幂级数个数可数么？
如何用级数证明三角函数的和差角公式？
目前最小的级数形式的无穷大是多少？
如何看待：老父亲十年苦证「哥德巴赫猜想」？
前一个讨论
如何用最文雅的方法骂龙族作者江南?
下一个讨论
学习汉字文化圈内的语言是一种什么体验？
相关的话题
为什么民科对数论情有独钟？怎么用泰勒公式估计通项趋于零的阶以判断级数的敛散性?
若 π 被证明是有理数会对世界有何影响？
对于 3 和 4 之间的整数 Bleem，你怎么看？
只用高中数学知识水平能解出哥德巴赫猜想吗？
目前最小的级数形式的无穷大是多少？
“哥德巴赫猜想”的主要研究方法有哪些？
目前最小的级数形式的无穷大是多少？
如何将条件收敛级数 1-1+1/2-1/2+1/3-1/3+1/4-1/4+...证其发散？
素数的 Willans 公式是否正确？
n! 和 n²，哪个更大呢？
自然数和非负整数有什么区别？
有没有哪个素数可以以多种方式写成两个正整数的平方和？
是否存在一个复解析函数f(z)，使得对于正整数n，f(n)就是第n个质数？
请问如何把所有自然数均分成三类？
请问(sinx)^3怎么用幂级数展开？
如果有一个人见到一个整数就能立刻分解质因数，那么这个人怎样才能发挥他的最大价值?
如何简洁地证明二次互反律？有哪些具体应用？
黎曼 ζ 函数为什么要那么解析延拓？
目前 x³＋y³＋z³＝42（x、y、z 均为整数）是怎么求解的？
请问这道幂级数的题目如何做呢？
方程 x³+y³+z³=33 是否存在整数解？
如何证明该级数收敛?
存不存在一个数，从个位开始，每往前加一个数字之后所得的数依然是素数？
10的100次方内的素数的中位数在什么范围内，你可以估算到多高的精度?
连续四个正奇数有可能都是素数吗？
如何证明它不是整数啊?
你相信质数会有递推表达式，或者有简单的几何形态吗？
整数和偶数真的是「一样多」的吗？（我知道康托尔那套，但这个表述真的正确吗？）？
P是素数，(2^2p)-3一定是素数吗？