所有质数的倒数的平方和的精确值是多少？ 第1页
1
Matrixor 网友的相关建议:
不是所有的级数都有名字，但这个式子有自己的名字，它叫prime zeta function:
( )
就是题主想要的值。
很显然，这货跟Riemann zeta function脱不了干系，它们的关系表现在下面这个定理中：
定理 [1] ：对于所有的 ，我们有如下式子成立
.
所以
幸运的是， 的值在1734年就被欧拉解决了[2]:
,
其中 是Bernoulli数。
所以 这是准确值。
另外，根号里有几项长这个样子：
Glaisher写了本书On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers研究过类似问题，只不过是在1891年。
最后放一张Riemann zeta function的图像~
参考
1
相关话题
有没有大佬会算这个无穷级数？是否存在一个由1和-1构成的数列an，使得对于任意k和b，sin(kn+b)*an/n总是收敛级数？
威尔逊定理中 p=4是一个例外，为什么？是否存在其他非质数的例外？
假如数学没有了自然数的概念及其性质会怎样？
比三大，比四小的整数是存在的吗？
求解一道关于级数的问题怎么证明？
高斯素数有类似于素数定理的分布律吗？
如何证明这个级数恒等式？
如何在已知欧拉函数值的情况下求满足该欧拉函数值全部正整数？
这个用傅立叶级数怎么做?
前一个讨论
如何用最文雅的方法骂龙族作者江南?
下一个讨论
学习汉字文化圈内的语言是一种什么体验？
相关的话题
请问贝祖定理（裴蜀定理）除了用辗转相除法还能怎么证?正整数 (m, n) 如何取值使得 m*n-pi*n^2 的绝对值最小？
如何在已知欧拉函数值的情况下求满足该欧拉函数值全部正整数？
2021年5月14日，著名数学家王元院士去世，他对中国数学界有哪些贡献？
求一个整数的所有素数因子的思路是什么？
(xⁿ - 1)/(x - 1) = y² 这个不定方程蕴含了哪些知识？
两个相邻的质数之和（除了2与3）除二得到的值是合数，有数学证明吗？
如何证明 1^2021＋2^2021＋…＋1000^2021 能被 7、11、13 整除？
是否存在一个4的整数幂以123为首位?
黎曼 ζ 函数为什么要那么解析延拓？
这个级数怎么处理?
数论问题困难性的根源是什么？
有哪些具有特殊性质的数字？
我想证明自然数有穷可行吗？
证明「哥德巴赫猜想」到底有多难？
如何看待O(n log n)时间的整数乘法算法?
若 a=0.248163264128256...，请问 a 是否为有理数？理由是什么？
全世界的数学家能在18天内找到质数排列规律么？
为什么数学教材里，学生首先学习的就是算术，却不学习作为基础的集合与逻辑？
正整数 (m, n) 如何取值使得 m*n-pi*n^2 的绝对值最小？
整数和偶数真的是「一样多」的吗？（我知道康托尔那套，但这个表述真的正确吗？）？
有哪些看起来很简单但做起来很难的数学题？
为什么二是质数，我感觉它好委屈啊？
如何证明两个有理数平方和不能为 7？
黎曼猜想（Riemann hypothesis）是什么？有什么用？
如何用级数证明三角函数的和差角公式？
求一个整数的所有素数因子的思路是什么？
如何证明f（n）=n^2+n+1，则使f（n）为质数的n的值有无数个？
哥德巴赫的猜想如果被证实，对数学和全人类有什么意义？
如何证明呢？