如何证明五点共圆问题？ 第1页

怎么没人邀请我？我可是五点共圆四号机。

我个人非常喜欢这个几何问题，就来这里讨论一下。

实际上国家领导人发现数学定理是很普遍的现象。

例如拿破仑就发现了拿破仑定理，虽然没有什么大用，但是很美。

以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。

出门在外，不能用wiki，见谅

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五点共圆也是这样的一个很美的定理。

首先看题，

在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别是K、O、N、M、L。
求证：K、O、N、M、L五点共圆。

这是个很好玩的问题，原因就在于有如此多的点共圆以及园共点。

而这类问题，我一般都直接用密克定理及其逆定理。

密克定理：

定理陈述
三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。

逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O。

证明密克定理：

密克定理∠ONC=∠ONB

∠ONC=∠OPA=∠OMA=∠ONB

证明逆定理

∠A=180°-∠MOP

∠C=180°-∠NOP

故∠MON=∠A+∠C=180°-∠B

MONB四点共圆，证毕

再看五点共圆

我们看△AIC，其边上有HGD三点。

所以△IHD，△GCH和△ADG的外接圆共点

这个点就是点N，故ADGN共圆

而与△ADG有关的是△BJD（故ADGI四点共圆）。

于是，ANLD四点共圆

我们要证五点共圆，就任意证四点共圆即可

我们已知ANLD四点共圆，

所以，通过对称性，我们可以断定应该证KOLN共圆

那么，我们就证明∠KON+∠KLN=180°即可

注意到∠KLN=∠ALN-∠ALK，∠KON=∠KOI+∠ION

故命题∠KOI+∠ION+∠ALN-∠ALK=180°

∠ALK=∠AJK=180°-∠KJI=∠KOI

∠ALN=180°-∠ADN=180°-∠ION

命题得证。

这个命题看起来比较难，其实就是由于很多的圆迷惑了你的视线，这时就需要一句话也不说，闷头计算。

很惭愧