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单位圆上n等分点按不同顺序顺次连接,能连接出多少种图形? 第1页

  

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梳理问题

用数字表示各点(就像表盘一样),那么我们用一个数组就可以表示一幅图:相邻的数字表示对应的点相连。例如

并且我们发现,若对该图施以置换

图 与图 是没有区别的。但若施以置换

这提示我们,这个问题实际上要求我们研究对称群 在某种等价关系下的商集。

定义

  • 若两个图 有如下关系

则 ,这是因为一个无向圈的起点、方向是任意的。

所以当我们讨论某一图时,实际上说的是一个等价类,或者说代表元。

  • ,这个图是一个简单圈,我们把它叫做基本图
  • 表示本题所求。

分析

正方形共有8个对称变换,其中有4个旋转变换,4个轴对称变换,这也就是说图 在以下置换中不变。

事实上 是 的子群——二面体群。而其余置换则会改变图形原先的连接方式,于是形成了新的图,前文我们验证了 就是这样的置换。接下来我们从“生成元”的角度去看待这个问题:先找到几个基本生成元,然后再交给 去变换,得到的置换与对应的生成元等价,从而穷尽 ,这样我们的考虑就完全。

经计算,只需考虑的 三个陪集有以下关系,即

可见需要考虑的图无非以下3种:

而后两者却有如下关系

所以只有两类图

通过上面的分析,对于更一般的 的解题流程:

  1. 确定 的二面体群 ;
  2. 确定商集 ;
  3. 确定商集 , 是某种等价关系,这个关系非常复杂,是由于商集中某些元素自身的高度对称性而带来的重复,这一点我在后文详谈。

于是得到图形总个数:

定理1


关于具体的计算,我们有——


引理2(Lagrange)

是 的子群,则

是 关于 的陪集个数


进而可以得到一个粗略的估计:


定理3

证:上界由定理1、引理2可得

即忽略了 的影响

于是由定理3可知

这个上界是大了点……

这个重点分析,留到以后。





  

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