在没有能量损失的理想台球桌上任意击球，球是否最终必然进洞？ 第1页

如果给球撞击的那边加装一面镜子，桌面看起来就变成这样：

可以看成球穿过镜子走了直线，真球进洞，镜子里的球也进洞。

给四边都加上镜子，桌面看起来就是无限的平面上排满洞，球的其中一个像始终走直线：

不让球进任何洞就可以了。那一共有多少方向呢？
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１。如果把洞和球都看成「点」，那有多少洞就有多少进洞线路呗：

所以进洞的路线与整数的数目相同。

如果把洞的距离看成单位１，把球放在任一洞上，并把这洞当成坐标原点画个坐标，那所有进洞路线的斜率正好是全体分数（有理数）：

所以进洞的路线与有理数的数目相同，不进洞的路线与无理数的数目相同。
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下面不太好理解：

２。如果洞口有半径，而球还是点：

换个角度，把洞口排成高楼，球与每层虚线相撞时，都在地上留个影子。只要影子没在洞口里球就没进洞：

这就像是一个小人儿稳步走在有坑的路上，问：步子迈多大才能永远不掉坑里？

再简化：如果把路卷成一个圆，让所有洞口的位置重合（圆周长为１），变成一个洞口，圆周上踩出的脚印会有多密？

想一想会发现：只要步长是有理数，当小人走过足够多步之后，脚印就会重合，之后就不再变密。因为有理数可以写成分数（和都是整数）的形式，所以只要走步，就正好走了圈，踩到自己第一个脚印。所以圆周上的脚印最多也不会超过个。

对应台球的问题就是：如果以有理数斜率击球，球在有限次撞边后轨迹一定会重合，第一次重合前如果没进洞，以后就没有机会进洞了。

那如果步长是无理数呢？那无论小人走多少步，也踩不到第一个脚印，同理踩不到任何一个脚印，脚印越来越密，就相当于用越来越小的步子来走：

步子小到比坑还小时，坑就迈不过去了。所以斜率是无理数时，球就会进洞。但要注意，这里的「有理数」「无理数」其实是球桌长宽比值的「有理数倍」、「无理数倍」。

知友提供的 凹多边形照明问题视频： https://youtu.be/xhj5er1k6GQ

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