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祖冲之的圆周率的出处在哪里? 第1页

  

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实际上,祖冲之用的具体方法已经失传了,史书上只记载了祖冲之的成果.

能够确定的,只有之前刘徽用的割圆术


刘徽的割圆术大概是这样的:

简单来说,就是定义 为圆的内接正3*2^n边形的边长,不妨设其中一条边为 , 中点为 , 的延长线交圆周于

则有


定义 为圆的内接正3*2^n边形的面积,那么由几何关系,显然有:


令圆面积为 ,(根据几何关系)则有如下刘徽不等式


这样按照迭代公式计算,便可利用圆的内接正3*2^n边形的面积逼近圆面积.

这就是刘徽的割圆术,是基于圆的面积的



作为对比,阿基米德的割圆术则是基于圆周长,它是利用圆的周长介于内接正3*2^n边形的周长和外切正3*2^n边形的周长之间这个不等式.

如果以数列 、 分别表示直径为1的圆的外切正3*2^n边形和内接正3*2^n边形的周长,

显然有 , ,并且稍加几何推导可以得到这样的递推公式:

, .

这就是阿基米德的算法

实际上,数列 和 就连通项公式也都可以求出来[1].


所以阿基米德割圆术和刘徽割圆术一样,也是双向逼近的夹逼法



按照清朝阮元写的《畴人传》的说法,祖冲之也是沿用刘徽的割圆术的[2];后来吴文俊编写的《中国数学史大系》也是持这种说法.

但是很多人对这种说法有异议,认为如果沿用刘徽的算法,想要得到祖冲之的结果,计算量过大;祖冲之应该是对刘徽割圆术采取了某种改动.

可惜《缀术》失传,历史上祖冲之究竟用了什么方法,就是个未解之谜了.

参考

  1. ^ https://zhuanlan.zhihu.com/p/31619318
  2. ^ 清阮元撰《畴人传》:“后祖冲之更创密法,仍是割之又割耳,未能于徽注之外,别立新术也”



  

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