祖冲之的圆周率的出处在哪里？ 第1页

实际上，祖冲之用的具体方法已经失传了，史书上只记载了祖冲之的成果.

能够确定的，只有之前刘徽用的割圆术

刘徽的割圆术大概是这样的：

简单来说，就是定义 为圆的内接正3*2^n边形的边长，不妨设其中一条边为 ， 中点为 ， 的延长线交圆周于

则有

定义 为圆的内接正3*2^n边形的面积，那么由几何关系，显然有：

令圆面积为 ，（根据几何关系）则有如下刘徽不等式：

这样按照迭代公式计算，便可利用圆的内接正3*2^n边形的面积逼近圆面积.

这就是刘徽的割圆术，是基于圆的面积的

作为对比，阿基米德的割圆术则是基于圆周长，它是利用圆的周长介于内接正3*2^n边形的周长和外切正3*2^n边形的周长之间这个不等式.

如果以数列 、 分别表示直径为1的圆的外切正3*2^n边形和内接正3*2^n边形的周长,

显然有 ， ，并且稍加几何推导可以得到这样的递推公式：

， .

这就是阿基米德的算法

实际上，数列 和 就连通项公式也都可以求出来^[1].

所以阿基米德割圆术和刘徽割圆术一样，也是双向逼近的夹逼法

按照清朝阮元写的《畴人传》的说法，祖冲之也是沿用刘徽的割圆术的^[2]；后来吴文俊编写的《中国数学史大系》也是持这种说法.

但是很多人对这种说法有异议，认为如果沿用刘徽的算法，想要得到祖冲之的结果，计算量过大；祖冲之应该是对刘徽割圆术采取了某种改动.

可惜《缀术》失传，历史上祖冲之究竟用了什么方法，就是个未解之谜了.

参考

1. ^ https://zhuanlan.zhihu.com/p/31619318
2. ^ 清阮元撰《畴人传》：“后祖冲之更创密法，仍是割之又割耳，未能于徽注之外，别立新术也”