为什么有的数学定理看起来很显然，证明起来却很复杂？ 第1页

那个问题下面很多回答都是不同性质的数学问题。如果你第一眼看上去觉得他们很显然，可能是你没有深入思考过这些问题。

比如最高赞答案，Jordan曲线定理。多么显然啊，一条简单闭曲线把平面分成两个区域。但是你想到的曲线可能是圆，椭圆，蛋形线，或者稍微复杂一点可能想到五角星。那你为什么不想想科赫曲线呢？不去想想 和田湖 这样的例子呢？（和田湖 的边界是不是简单闭曲线，为什么？）

平面上连续曲线可以是非常复杂的，当你试图去思考那些奇葩的例子的时候，你就会发现Jordan曲线定理没你以为的那么简单，他所断言的事情比你认为的要强很多。

还有有答主提到希尔伯特《几何学基础》里那个问题：在一条直线上，B在A、C之间。若D在A、B之间，则D不在B、C之间。我举个类似的例子吧：连续函数介值定理。如果f连续，那么f(a)和f(b)之间任何值都能被f取到。额，那我如果把 限制到有理数集上，这个定理就不对了啊？因为不会存在一个有理数，他的平方等于2. 我这么一说，你再仔细想想，介值定理要在实数集上才能成立。那为什么要是实数呢？用到了实数的什么性质呢？你再回忆一下介值定理的证明过程，就会意识到是用到了实数的完备性——几何学基础那个问题也是用到了实数的一些性质。如果你看到介值定理没想到“实数完备性/连续性”这一层，只是单纯觉得这个定理很显然，如果要证都不知道怎么证的话，说明你没有理解介值定理。

还有答主提到庞加莱猜想。那就更不显然了。。3维庞加莱猜想是说3维单连通闭流形都同胚于3维球面。嗯，我能想到的例子只有球面，所以这个猜想显然成立。那我问你，4维单连通闭流形是不是只有球面呢？不是，对吧。那同样的表述，我只需要把维数换一下，结论就不对了，那这个结论是不是有特殊性？一个真正平凡的结论，他应该对所有维数都一样平凡，不能在不同维数表现还不一样——这种特殊性恰恰表明这个问题里面有很多值得推敲、玩味的地方。

高维庞加莱猜想假设单连通是不够的，还需要假设流形本身同伦等价于球面，才能推出同胚于球面。但这个结论也不平凡。因为我把球面换成 ,他就又不对了——存在同伦等价于 但是不同胚于 的2n维闭流形，称为fake 。所以高维庞加莱猜想讲的是球面的一种特殊性质，既然是特殊的东西，那就不是显然的，是值得深入思考的。

大致总结一下：初学者觉得某个数学结论显然，可能只是觉得这个结论与他既有的认知不冲突，看上去也是合理的，于是就把他看成理所当然的事实了。但是对于这个结论到底为什么成立，命题的假设和结论之间到底有什么关系，他到底反映了什么样的数学现象，其实并没有深入思考过。所以他会觉得“证明很复杂，但看上去又没必要这么复杂”。真正有数学素养的人，理解了一个定理和他的证明以后，回过头再看，其实一切都很自然，即使是第一眼看上去无比复杂的证明，他的逻辑推导过程、背后的想法，都是水到渠成的。