如何证明全体n维正交矩阵组成的集合是全体n维矩阵集合上的紧集？ 第1页
1
zhai-sen-8 网友的相关建议:
本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布
这个题目没有指定拓扑，那这里我就把全体 阶矩阵 看成赋范向量空间 并赋予通常的欧氏范数（这其实就是 上的Frobenius范数）。
根据Henie-Borel定理，在 （配备欧氏度量）上，紧等价于有界且闭。因此我们只需证明全体正交矩阵的集合 有界且闭。
有界是简单的，因为正交矩阵中的每个元素都小于等于1，所以范数不会超过 .
现在证明闭。假设 ，其中 ，则 且 。于是 ，并且 是有界的（因为 并注意 ）。不妨设 。此时
（第一个 用了范数的三角不等式以及Frobenius范数的相容性）
所以 ，即 。所以 。这表明 是闭的。
1
相关话题
可达矩阵算法的原理是什么？如何评价国科大非数专业使用卓里奇和代数学引论？
如果你来讲物理类《线性代数》课程，你会如何设计？
如何学习点集拓扑学？
矩阵乘法的本质是什么？
topology 为什么被译为「拓扑」？
线性空间，对偶基，过渡矩阵。这道题这样做正确吗？
n - r = 基础解系的个数，这是为什么？
矩阵的严格定义是什么？行向量与列向量通过矩阵来定义真的合理吗？
工程数学四阶行列式有什么技巧算法吗？
下一个讨论
是否所有简单闭曲线都同胚与圆周？
相关的话题
为什么要引入矩阵这个数学工具？它能简化哪些不用矩阵会复杂的问题？奇异值分解（SVD）有哪些很厉害的应用？
矩阵的指数函数到底说的是个啥？
请问我的钥匙环应该怎么还原正确位置？
一个数学问题，(x1+x2+……+x8+1)的8次方，合并同类项后有多少项，类似问题怎么解决？
为什么在应用上高斯消元法很少被用来求逆矩阵?
有哪些定理在高维情况下与三维情况下培养出来的直觉不符？
李亚普诺夫第一法（小干扰法）判断系统稳定性为什么当状态矩阵出现零根或实部为 0 的虚根的时候会失效？
《现代数学基础丛书》的封面图有什么数学背景？
请问能给出一个例子，使一个向量空间的子集只满足包含0且对加法封闭但不对标量乘法封闭吗？
［代数学］矩阵的概念最多可以推广到什么代数结构上？
如果有人想走遍中国所有的省级行政区（含港澳台），总路程最小可以是多长？
除了行列式的值为0外，还有哪几种情况矩阵不可逆？
为什么部分大一学生认为线性代数听不懂？
为什么初学量子力学一个矩阵都没有看到，却说线性代数是量子力学的数学语言？
请问怎么证明一个实对称矩阵为零矩阵（如题）？
向量组等价时其秩一定想等吗？
哈密尔顿-凯莱定理的本质是什么？
在 C++ 里实现矩阵库的关键点是什么？
为什么秩为1的矩阵可以写成1列乘1行的情形呢？
如何理解在对对易关系取trace时出现的这种矛盾？
很好奇，如何证明行列式就是高维多边形体积？
如何证明内积形式的施瓦茨不等式？
如何以「我觉得代数拓扑实在是太简单了」开头写一篇故事？
矩阵特征值与矩阵本身的关系是什么？
代数拓扑为什么研究同调？
A的秩=r(A),为什么齐次线性方程组的解由n-r(A)个线性无关的向量构成？
请问能给出一个例子，使一个向量空间的子集只满足包含0且对加法封闭但不对标量乘法封闭吗？
矩阵的可交换性有什么几何意义吗？
矩阵的严格定义是什么？行向量与列向量通过矩阵来定义真的合理吗？