如何直观地解释「紧致性」？ 第1页

紧致性本质上是个 “有限性条件”。有限性条件是用来破解某些类似于 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 的场景的。如果某个比较 “整体” 的性质在任意一个点附近都成立，但是在总体上成立与否很难说，这种时候就用紧致性来破。

先写个定义：

（数学分析）给定的子集，如果对于任意一个并集包含的开区间族，都存在中有限个元素（开区间）使得，则说是紧的。
（点集拓扑）拓扑空间是紧的当且仅当任意开覆盖有有限子覆盖。

比如，“有界闭区间上的连续函数一定有界” 这个命题。在不知道对错的时候，给定连续函数，起码对于每个点附近他都是对的，每个点附近用连续性的定义肯定存在使得上的函数值, 也就是说这个函数在 上是有界的。对每个你都能找到这样一个小的开区间。但是存在这种可能性，每个开区间上的上界不一样，所有的开区间的上界放在一起，这个新集合没有上界。（比如 由给出的情形，每个点附近前面描述的那种的上界就是，放在一起当然没有上界）怎么办呢，这时候就需要有限性条件，存在有限个点 使得覆盖住给定的有界闭区间。这时候个已知的上界中肯定有最大的一个，那这个就是上界。

不难看出，无界的情形，或者开区间的情形，都有反例。抽象地看，反例存在的核心原因就是开覆盖没有有限子覆盖，导致上述证明失效。紧致性相关的证明基本上涉及的是 “整体” 的条件，比如有界，一致连续等等。验证一个局部的条件基本上是用不到紧致性的。紧致性是把性质从局部往整体推的法宝。

关于 “一尺之棰日取其半万世不竭”：假如我想从 0 走到 1，而且已知我在每个点都有能力往前迈一小步，那么我一定能走到 1 吗——未必，没准某种限制导致我的第步只能迈出那么长。但是如果有某种有限性条件使得我的步长一定有个非零的下界的话，那我肯定可以走到 1 这个点。—— 这句话也可以用来解释半开半闭区间 [0, 1) 不是紧致的：构成 [0, 1) 的一组开覆盖，而这个开覆盖没有有限的子覆盖。

说到迈步了，就来解释一下为什么单位区间 是紧的吧：只需要用到实数里任意集合都有上确界 (least upper bound) 这个性质——如果有一个 的开覆盖 ，考虑使得 有有限子覆盖的那些 组成的集合 ，它的上确界记作 , 如果 , 找一个 里的开集 覆盖 ，如果 的话，则 也属于 ，跟 是上确界矛盾。所以 ，找一个开集盖住 1 以后得到 的有限子覆盖。

作为上面证明的补充，大家可以考虑一下为什么 不是紧致的（这里的子集没有上确界）。

再补充一个有趣的结论，从这里更能看出「紧」和「有限」的相似之处：我们知道有限个开集的交也是开集，实际上「紧」个开集的交也是开集。也就是说，对任意的拓扑空间，设是中的开集，令，则是中的开集。如果是紧的，则是中的开集。