如何理解n元线性方程组Ax=b,无解的充要条件为R（A）<R（A,b）? 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
从行变换的角度:
为了方便说明，我都换成具体数字吧。假设方程组:
x+2y=1
2x+4y=3
则系数矩阵为:
A=
1 2
2 4
常数向量为:
b=
1
3
我们将增广矩阵(A,b)化为阶梯矩阵后的结果是:
1 2 1
0 0 1
我们看最后一行，它的意思是:
0*x+0*y=1
这是显然办不到的，故无解。
那么考虑一般的矩阵，在条件rank(A）<rank(A,b)之下，我们总可以对增广矩阵(A,b)做行变换，使得矩阵出现某行为:
0 0 ... 0 b
其中b不为0（至于无穷解，那就是b=0的情况）
从线性变换的角度：
Αx=b
假设r=rank(A) < n，那么A是一个n维线性空间V到其r维子空间Ω上的映射，有
Α(V)=Ω
因为x∈Ω，
那么Ax也包含在Ω，
也就是b包含在Ω。
但是我们知道b是一个含在维数大于r的子空间的向量(因为rank (A,b)>r)，矛盾。
1
相关话题
［代数学］矩阵的概念最多可以推广到什么代数结构上？数学是中国人擅长的学科吗？为什么？
当今世界数学已经发展到本科生难以理解的地步了吗？
为什么将 x²＋y²＝1 中 x 和 y 的指数换成大偶数，其图像会接近一个正方形？
一个空间中勾股定理不存在，而变成了 c^4=a^4+b^4，甚至有更高的指数，那么这是一种什么空间？
如何证明此不等式呢？
什么样的数能同时满足「＞0」且「＜0」？
有什么与数学名词有关的趣事?
2004年11月25日是感恩节，在不看万年历的情况下，怎么知道2023年的感恩节是11月几日呢？
这一个高等代数的题如何证明?
前一个讨论
「骚」是什么？
下一个讨论
如何理解抽象代数的用途？
相关的话题
理论物理学家爱德华·威滕做了啥贡献，以致于他获得了数学界的菲尔兹奖？数学的旨趣是什么？数学到底在干什么？
一个同时有内切椭圆和外接椭圆的多边形满足什么条件？
如何评价微信朋友圈文章：记者调查：疯狂的学而思，疯狂的校外培训！？
为什么傅里叶变换可以把时域信号变为频域信号？
如何推导下面这个等式？
对于多元线性回归，如何证明任一自变量的系数等同于忽略其他变量后一元线性回归的系数？
如何提升线性代数的计算（行列变换）能力？
如何计算 sqrt(tan x) 在 0 到 π/2 的定积分？
如何理解香农第一定理?
科学为何有那么多近似计算？这样是不是和科学的严谨性相违背？
两个星期自学完高中数学实际吗？
这几个不等式如何证明?
请问0除0是无解还是无限个解?
因子分析法求权重，两个指标可以用这个方法吗？这个方法的优势是什么？
如何理解数列极限的定义？
这个题怎么解，22题第二问有一步看不懂，红色笔圈？
如何学习几何学（现代微分几何，包括微分流形，黎曼几何等）？
科学是了解这个世界（宇宙）的唯一手段吗？
sin2x的最大值?sin2x=2sinxcosx两个最大值都取1呀，不就等于2吗为什么最大值是1谢？
请问泰勒公式的几何意义是什么？
为什么感觉群论学起来比数学分析之类难好多？
如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？
如何分配砝码使天平尽可能平衡？
孩子自从上了小学三年级，数学很多内容都没听懂。现在孩子五年级了，数学作业每次都糊弄也不想学，怎么办？
1 克精面粉所有粉尘颗粒的表面积之和与地球的表面积哪个大？
如何比较这两个数的大小?
正规数中是否包含了宇宙中的所有信息？
怎么证明关于素数的米尔斯常数A是存在的?
一段文字的包含的信息量能不能衡量？