百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



如何理解n元线性方程组Ax=b,无解的充要条件为R(A)<R(A,b)? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

从行变换的角度:


为了方便说明,我都换成具体数字吧。假设方程组:
x+2y=1
2x+4y=3
则系数矩阵为:
A=
1 2
2 4
常数向量为:
b=
1
3


我们将增广矩阵(A,b)化为阶梯矩阵后的结果是:
1 2 1
0 0 1
我们看最后一行,它的意思是:
0*x+0*y=1
这是显然办不到的,故无解。

那么考虑一般的矩阵,在条件rank(A)<rank(A,b)之下,我们总可以对增广矩阵(A,b)做行变换,使得矩阵出现某行为:

0 0 ... 0 b

其中b不为0(至于无穷解,那就是b=0的情况)


从线性变换的角度


Αx=b


假设r=rank(A) < n,那么A是一个n维线性空间V到其r维子空间Ω上的映射,有
Α(V)=Ω

因为x∈Ω,

那么Ax也包含在Ω,

也就是b包含在Ω。
但是我们知道b是一个含在维数大于r的子空间的向量(因为rank (A,b)>r),矛盾。




  

相关话题

  如何判断向量组是否线性相关? 
  x^7+1=(x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1) 是如何分解得到的呢? 
  数学中,f'(x) 和 (f(x))' 到底有什么区别? 
  蝴蝶定理有多少种证法? 
  复变函数中,如何说明Ln(z²)与2Lnz是否相等,Ln(根号z)与(Lnz)/2是否相等? 
  有没有反三角函数的「和差角公式」? 
  以「不可证伪」批判中医的人,为什么没有以此批判数学? 
  能否通过列举一些代数式、方程加以分析、说明,直观解释阿贝尔定理(Abel–Ruffini th.)? 
  为什么会对这个用三角函数的那个公式? 
  实系数多项式之所有根为实数,如何证明其相应 n 阶导数之所有根为实数? 

前一个讨论
「骚」是什么?
下一个讨论
如何理解抽象代数的用途?





© 2025-04-04 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-04 - tinynew.org. 保留所有权利