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如何理解n元线性方程组Ax=b,无解的充要条件为R(A)<R(A,b)? 第1页

  

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从行变换的角度:


为了方便说明,我都换成具体数字吧。假设方程组:
x+2y=1
2x+4y=3
则系数矩阵为:
A=
1 2
2 4
常数向量为:
b=
1
3


我们将增广矩阵(A,b)化为阶梯矩阵后的结果是:
1 2 1
0 0 1
我们看最后一行,它的意思是:
0*x+0*y=1
这是显然办不到的,故无解。

那么考虑一般的矩阵,在条件rank(A)<rank(A,b)之下,我们总可以对增广矩阵(A,b)做行变换,使得矩阵出现某行为:

0 0 ... 0 b

其中b不为0(至于无穷解,那就是b=0的情况)


从线性变换的角度


Αx=b


假设r=rank(A) < n,那么A是一个n维线性空间V到其r维子空间Ω上的映射,有
Α(V)=Ω

因为x∈Ω,

那么Ax也包含在Ω,

也就是b包含在Ω。
但是我们知道b是一个含在维数大于r的子空间的向量(因为rank (A,b)>r),矛盾。




  

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