用微积分怎么证明勾股定理？ 第1页

记得一个用微分方程的方法，当时看到都惊了

评论中 @寨森Lambda-CDM 补充

这需要交代一个事实：当图中的dx与dy趋于0时，那个角趋近于直角，所以才会相似，即dy/dx=x/y

谢邀。

微积分中的确有求任意曲线长度公式（前提是这个曲线可求长）：

这公式看着眼熟吗？中间的被积函数不就是

勾股定理的形式吗？！

没错，它是勾股定理的微分版本，此公式本身就是勾股定理的推论。

循环论证，这样不好。

勾股定理，是一个很基础但又很深刻的定理，它描述的是“欧氏空间”里的一个性质，这货如果搁别的空间里，估计只能喝西北风了。所以要想理解它，必须从空间入手；只有明确在怎样的环境中，谈论勾股定理才有意义。

在现代数学中，我们要首先要引入欧氏空间的概念。

欧氏空间

欧氏空间就是在向量空间中定义了内积 ，它是从向量空间到实数域上的二元函数，满足以下条件:

• 对称性：

•（双）线性：

•正定性：

, 等号成立当且仅当 为零向量

以上系数皆属实数域。

顺便我们将的向量 的模长 定义为:

正交

有了内积的定义，我们就可以定义何为两个向量的夹角、正交的概念。

两向量夹角余弦:

特别的，当两向量正交(垂直)时，有

此两者互为充要条件。

注意，此处的余弦不再是我们熟知的余弦，而是在内积定义下对余弦的一个推广。如果定义 ， 为转置运算，即 与 对应元素的乘积再求和，于是就退化为我们所熟知的内积。

勾股定理的证明

命题（勾股定理）

已知：欧氏空间中两向量 正交，命

求证:

证明：由模长定义、以及双线性，

因为 正交，即 ，

故

在无穷维空间——希尔伯特空间中的讨论与此相仿，就不再赘述。

各位童鞋，我讲的通俗易懂吗？