数学上激波和稀疏波的区别是什么？ 第1页

激波和稀疏波，接触间断这些描述都是采用波动方法来求解偏微分方程的方法，比较老，但是对理解流场帮助很大。这些名字听起来很吓人，其实就是个描述现象的名词而已。

先来看看微分形式的Euler方程，先明确一点，微分形式Euler方程不足以描述流场情况，比如流场出现间断（激波，接触间断等），所以额外定义了弱解来弥补这点不足（看来微分形式Euler方程先天不足），弱解是什么？弱解是在连续处满足微分形式Euler方程，在间断处要满足积分形式的Euler方程，这个定义很自然。

1. 特征形式：

想要看激波、膨胀波是什么，必须进行把Euler方程转化为特征形式，一维Euler方程：

，可以是守恒变量也可以是原始变量，特征值是一样的。

相似变换：，令

,

把上式写成单方程形式：

，这是相容关系。

就是所谓的特征变量；特征值也即波的传播速度为：

到这里先停一下，直观的来看看这三道波，，是流场速度，说明这道波携带的信息是跟着流体微团一起运动的，Euler方程针对无粘流体，流体微团运动过程是等熵的，所以叫做熵波；，这两道波是相对于流体微团本身以声速传播的波，所以叫声波，这两道波携带的信息也没有什么物理意义。

Euler方程描述的流场中会出现三种间断：

膨胀波：在波头和波尾，变量的一阶导数不连续

激波：流场变量跨越激波不连续

接触间断：间断两侧密度不连续，压力和速度都连续

接触间断只能由这道波产生，膨胀波和激波只能由这两道波产生。

2. 膨胀波：

对于一维情况，特征值沿 x正向单调递增

数学描述：以为例，

如图，同一时刻任意画一条直线，其特征值沿着x轴都是递增的，反应到图上就是斜率（特征值的倒数）沿着x轴是递减的。

由于膨胀波不出现变量的不连续，所以不需要采用弱解理论，微分形式的Euler方程就可以涵盖它。

直观理解：波是往右传的，右边的波跑的快，左边的追不上，所以趋势是把波形（初始时刻，沿x轴变量形成的形状）给拉宽，但是不会破坏这形状，看图：

如图，最下的图是初始波形，中间是膨胀波特征值的图形表示，上边是t时刻波形。

注意虚线，可以看到波形不变，只是被拉宽了。

3. 压缩波和激波：特征值沿x轴正向递减

数学描述：以为例，

如图，你可以认为压缩波是图中细的线（还没有成功汇聚），激波是粗的（成功汇聚）。

按理说，压缩波和膨胀波是一对好基友，这么怎么又冒出个激波。这是因为膨胀波不管怎么膨胀，大家都相安无事，携带着自己的信息该怎么传播就怎么传播。压缩波就不行了，早晚得汇聚，这一汇聚就变样了，汇聚后保留谁的信息，以谁的特征速度来传播？这个就难产了，最后把汇聚的这个东西叫激波吧，以激波速度传播，携带什么信息我也不知道，就知道过了激波变量不连续了。

由于激波导致流场不连续，微分方程不好使了，所以必须采用弱解理论，那就用积分形式的Euler方程。描述激波前后变量方法挺多的，一般采用通量的方法（采用流场变量也可以）：

-----Rankine-Hugoniot（兰金-许贡钮公式）；

激波速度满足， ----熵条件（热二），过激波熵增。

直观理解：激波是特性汇聚的地方，只要一汇聚，传播好好的特征线就断了，相应的携带的特征信息也不知道变成啥了。激波就跟黑洞一样，不停的吸收旁边传过来的压缩波，把它的信息给吞掉，所以激波无法维持初始波形，趋势是抹平初始波形：

如图，在t时刻波形跟初始波形已经不同了。注意虚线，可以看到初始时刻激波左右的虚线都被吸到激波里了。

总结，膨胀波和激波是 采用波方法来求解Euler方程时产生的名词，是由于初始时刻特征值分布不同，导致后续流场发展而出现的不同现象。