除了光电效应、狭义/广义相对论的提出，爱因斯坦还做出了什么杰出的成果？ 第1页

写一个爱因斯坦在流体力学领域做的贡献。其实就是爱因斯坦1905年的博士论文《一种测量分子大小的新方法》。在详细介绍之前，先简单讲讲背景吧。

众所周知，1905年被称为爱因斯坦奇迹年，他一共发表了五篇著名的论文，与其他四篇论文相比（分别是光量子假说，布朗运动，狭义相对论，质能等效关系），爱因斯坦的博士论文似乎没啥名气，但并不意味着这篇文章很普通。在当时的技术条件下，人们无法直接观测到分子的存在，分子理论并不被广泛接受，甚至有科学家认为，分子理论与数学一样，只是作为物理学的研究工具而已。直到爱因斯坦的博士论文发表后，人们才可以精确测量分子的大小以及阿伏伽德罗常数（连接微观与宏观的桥梁）。至此，分子理论才被广泛接受。由此可以看出，这篇文章本身就意义非凡。

第二个意义就是它奠定了布朗运动那篇论文的基础。当时，爱因斯坦关于布朗运动的文章迟迟不被期刊接受，但当他的博士论文发表11天后，论文就被接收了。仅仅凭此两点，就足够显示这篇博士论文的地位了。还有一点很多人可能不知道，五篇文章里，他的博士论文引用量是最高的。以web of science数据为例（截至2020.3.3），如下图所示，注意这篇文章有两个版本，加起来就是5000多，超过了布朗运动那篇文章，生涯引用最高的是那篇EPR佯谬的文章。

现在回到主题，这篇文章是怎么跟流体力学扯上了关系呢？其实爱因斯坦博士论文里考虑的一个核心问题是，如果一种液体中充满小颗粒，会对液体的粘性产生多少影响呢？其中一个典型的例子就是蔗糖溶液。

爱因斯坦给出的回答是，

具体推导过程见附录。其中 为纯液体的粘性， 为所有小颗粒的体积分数， 即为该溶液的有效粘性。例如在蔗糖溶液中，小颗粒就是蔗糖分子。在论文的后半部分，爱因斯坦以此为基础，给出了测量分子大小和阿伏伽德罗常数的方法。

1932年，著名流体力学大师G.I.Taylor注意到了这篇文章，他进一步推广了爱因斯坦的结果，发表了两篇文章。也就是将固体小球换成了液体小球，来考虑混合溶液的有效粘性。这两篇文章后来获得了极高的引用，成为了流变学和多相流等领域中的基本方法。G.I.Taylor本人在1937年到1963年之间，获得过20次诺贝尔物理学奖的提名。我们试着想象一下，爱因斯坦的博士论文只是他的研究中较为普通的工作，却足以启发G.I.Taylor做出出色的流体力学成果，如果爱因斯坦博士毕业后从事了流体力学的研究，那么保底也是一个诺贝尔奖。当然，这就太浪费爱因斯坦的天才了。

最后再补充一点，爱因斯坦的这种处理含大量悬浮粒子流体的粘性的方法有非常广阔的应用范围，这些方法后来成为了胶体化学的基本方法，在建筑工业，乳制品业，生态学等很多领域中有极其重要的应用，这也是他的博士论文引用量远高于其他文章的一个重要原因。爱因斯坦如果地下有知，一定会非常高兴，因为他十分喜欢把物理学应用到实践中去。

所以你看看，爱因斯坦的伟大到了什么程度？

【附录】

在流动较为缓慢的情况下，纳维-斯托克斯方程可简化为

（1）

（2）

其中 表示速度， 表示压力， 为流体粘性。这种流动一般称为斯托克斯流动。

首先我们考虑小尺度下的背景流动，可写为

这种线性流动既普遍，又可以视为流场在参考点 附近的一阶近似，其中 为常数。在流动不可压缩的条件下（2），满足 。 现在，我们需要将一个半径为 的小球，放置在处，来求解受扰动后的流场。在这里，爱因斯坦利用出色的数学技巧，经过几页详细的计算后，得出了

其中， 。为加深大家印象，我画两张流场图。取 ， 。那么背景流场和受扰动流场分别为，

求解这种流场的方法还可以参考朗道的《流体动力学》，同时朗道也给出了这个问题的另一种求解方法，此处不赘述。现在我们来计算整个流场(取半径为R的球体)的能量耗散率

其中， 为应力张力张量， 为单位法向量。

忽略含 的高阶项，可计算得到

其中 , , .将上式变形，

其中 表示所有颗粒的体积比， 表示单位体积内小球的个数。

引进有效粘性 ,

现在考虑另一个关键的东西，大量的颗粒加入进流体后，原有的背景流场也会发生改变，

常数 变为 。现在我们来求 ，将流场写为

表示第 个小球对流场的扰动，设 ，则

认为小球均匀分布，则求和可以近似为积分，

根据散度定理，

根据之前计算得到的流场，可计算得到，

同理

所以，有效粘性的定义应写为

考虑 为小量，将上式化简，最终流体的有效粘性为

【参考文献】

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