为什么概率的公理化基础选择了测度论？ 第1页

下文是由我译自Shiryeav院士写的长篇回忆文章《Kolmogorov：life and creative activities》的节选，给感兴趣的同学们简要介绍一下那段历史，包括当时著名专家的反响。感谢Shiryaev院士允许我翻译他的著作。

1929年，柯尔莫哥洛夫发表了“the general theory of measure and the calculus of probability” [K19]，[PS-7]（这项工作在数学界并不广为人知），其中他给出了概率论公理化的初版，后来发展成为《概率论的基本概念》（1933）中呈现的著名的“ 柯尔莫哥洛夫公理化”。

柯尔莫哥洛夫在[K19]中谈到将概率论构建为“一般和纯粹的数学理论”的必要性，强调了“辨别出那些决定概率内部逻辑结构的要素”的迫切性，他还说：“概率的公理化应该建立在一般的测度论和函数的度量理论（metrical theory，该理论专门研究函数那些仅取决于值域定义其上的集合之测度的性质）的基础上”（例如，两个函数的正交性或正交函数系的完备性）。他谈到了“给定问题的基本事件的空间和基本事件构成的各种集合的概率”，注意到“概率方法在纯数学中的应用很大程度上来源于独立随机变量的概念”；他将注意力集中在“随机变量的独立性概念的清晰纯粹的数学表述”的缺失，“尽管提供这样一种表述并不困难”。

Borel [23]在1909年尝试用测度论建立概率论基础。 Lomnicki在1923年讨论了这一思想的某些方面[117]。

在本世纪（指20世纪）初，Bohlmann也尝试了概率论的公理化。 而Bernshtein有关概率论基础构建的文章在1917年发表。（在Bernshtein公理化中，事件的集合被看做是布尔代数，并且是根据随机事件的概率大小进行定性比较。）von Mises对概率理论的基础采用了另一种方法；他将随机事件的概率与某种理想实验的结果关联起来，并需要假设该结果的频率极限的存在性。

1933年，即“the general theory of measure and the calculus of probability”” [K19]发表四年后，柯尔莫哥洛夫出版了（Springer-Verlag）后来的经典《概率论的基本概念》，前辈们的最初想法在这里终于成形。这本专著成为了概率论所有后续发展的源头活水，是许多数学家的入门圣经和工作的标准参考。

伊藤清（Ito）写道：“读了柯尔莫哥洛夫的《概率论的基本概念》后，我坚信概率论可以用测度论的语言，像其他数学领域一样严格地发展开来。” Kac [89，48-49页]追忆他的数学生涯以及与雨果·斯坦因豪斯（Hugo Steinhaus）的合作，大约写于1935-1938年：

“我们投身概率论研究时，它刚刚从一个世纪的被忽视中兴起，并逐渐被人们接受为纯数学的一个受人尊敬的分支。之所以出现这种转变，是因为伟大的苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年出版了奠定概率论基础的书。”

列维（Levy）[111，67-68页]：

”到 1924 年，我逐渐适应了这样一种观点，即不应将自己限制在我所谓的真实概率定律中。 我曾试图扩展一个真正的定律，不管它有多大胆，我已经想到了在某个Borel族定义。 我并没有说服自己这是计算概率的真正基础； 也没想到能把这个如此简单的想法发表。 然后，有一天，我收到了柯尔莫戈洛夫关于概率演算基础的小册子。 我明白我失去了一个多么伟大的机会， 但为时已晚。 我什么时候才能分辨哪些想法值得发表？ "

在《概率论的基本概念》（俄语版[K63]1936年出版，英语版于1950年出版，第二版俄语版[K403]于1974年出版）的序言中，柯尔莫哥洛夫指出“超出了上述概念范围（这些概念在一般意义上来说是专家所熟悉的）限制”的方面，包括：

1.无限维空间中的概率分布；

2.关于参数的期望的微分和积分；特别是

3.条件期望理论。

他在这里还提到，“所有这些新观念和新问题必定能在完全具体的物理问题中遇到”，这指的是他与M. A. Leontovich 的合作文章[K42]以及Leontovich[105]。

所有这些新结果以及概率公理化的重要性，在《概率论的基本概念》已出版超过55年后的今天，已经非常显然。

书的第3章第4段，是关于在由有限维分布的一致集合产生的无穷维空间中建立概率测度可能性的定理，这奠定了随机过程理论的基础，随机过程逐渐成为概率论中一个应用极为广泛的巨大独立分支。

借助Radon-Nikodym定理（其现代形式可以追溯到Nikodym 1930年的工作[139]），柯尔莫戈洛夫定义了事件A相对 的条件概率 ，事件A相对随机元 的条件概率 ，随机变量 相对 的条件期望 ，随机变量 相对随机元 的条件期望 -这些构成了现代概率论的主要武器库。