什么是「奥利给」不等式？ 第1页

奥利给不等式就是：

哈哈哈哈，开个玩笑~

其实，这是个谐音，“奥利给不等式”指的是“ALG不等式”（Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequalities），中文又称“对数均值不等式”^[1]。

定义是：

即对于任意两个非负且互不相等的数 和 ，两者的算术平均数（Arithmetic mean）大于对数平均数（Logarithmic mean） 大于几何平均数（Geometric mean） 。

对应的证明方法有很多，我找到了一个由 Roger B. Nelsen 教授给出的图解证明法^[2]，这也是我所见过的最为直观简洁的奥利给不等式证明方法，但是由于其原文中的公式有些错误，所以这里重新写一遍。

思路其实就是对比函数 在区间 所围的面积与一个通过“内切”（左边图）形成的梯形面积与两个通过“外接”（右边图）形成的梯形面积，进而得到不等式关系。

很显然，两种情况下，函数 在区间 所围的面积都为：

对于左边的图，根据积分所得面积与梯形面积的关系有：

(注意这里的梯形可以看做是长为 ，高为 的矩形)

对于右边的图，根据积分所得面积与两个梯形面积和的关系有：

(开始吟唱：梯形的面积是上底加下底的和乘高除二!)

综上有：

而对于题主的问题，关于 与 的关系就很好比较了。

由奥利给不等式有：

现在只需要令 则有：

所以当 时，有：

当 时，有：

当 时，有：

参考

1. ^Logarithmic mean https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean
2. ^ Nelsen, Roger B. "Proof without Words: The Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality." Mathematics Magazine 68, no. 4 (1995): 305. doi:10.2307/2690586.