累加的连续是积分，那么累乘的连续是什么？ 第1页

这个问题其实非常好。对于实数而言，累乘可以通过取对数的方式变成累加，这里许多回答都说过了。

但这不足够。因为"乘法"不一定是对易的。比如说矩阵的乘法，不满足 X*Y = Y*X！这就绝对不能简单地用取对数的方式变成加法了！

那么，矩阵的累乘的连续是什么？这是真正有趣的问题。下面不妨讨论矩阵可逆的情况。

不好意思需要升级数学难度。对于可逆矩阵而言，“取对数”对应的其实是“李群”变成“李代数”的过程。先不看这些，我们先看个中学生可能可以理解的。对于实数而言，有：

log(e^X e^Y) = X+Y

这就是许多回答所说的“乘法变加法”的缘由。

但是对于矩阵而言，有 Baker–Campbell–Hausdorff 公式：

除了 X 和 Y，还多出来好多项。这里的 [X, Y] = XY - YX 是所谓“李括号”。比如展开之后，就是：

log(e^X e^Y) = X+Y + 1/2 (XY - YX) + ......

这个公式非常有趣。尤其是里面的系数，与 Bernoulli 数有关。

深究下去会发现，"累乘的连续"并不是一个容易定义好的东西。容易定义好的，是倒过来，用李代数的积分的exp来作为某种"累乘的连续"的定义。

为什么这么说，因为这种定义方法有一个非常实际的作用：它就是物理中的量子场论 Yang-Mills 理论 中的积分！因为 Yang-Mills 是在李代数上取值（Lie algebra-valued）。

譬如，最基本的积分是配分函数（partition function）：

其中 exp 里面的一群东西，就是在李代数上取值的微分形式（Lie algebra-valued differential form）在流形上的积分。

总结：

对于实数而言，"累乘的连续"，是用 exp(累加）。但如果乘法本身不对易，"累乘的连续"本身就很难定义。于是大家换个思路，直接只考虑 exp(李代数的累加)。

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2018.8 更新：如果您对数学感兴趣，欢迎看我在知乎的更多回答，只输出干货：

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因为看到这个生态学的背景不请自来了。题主 @Godfly 是个很聪明的高中生，这个概念对学习大学高年级的生态学相关内容还是挺有用的。

我看高赞几位大佬的评论区里面有人吐槽这个生物学的问题标签，其实这个问题和生物学还真的是大有渊源。累乘的连续形式，也就是 @罗旻杰 写的我们今天称为product integral（不知道怎么翻译，积·积分？）的概念，最早是由意大利数学家Volterra提出的。而Volterra最著名的一大贡献就是奠基了数学生物学，留下了描述捕食者和猎物种群涨落的Lotka-Volterra方程。当然只是一个间接地联系，product integral的发表时间上早于L-V方程，是不是起源于生物相关的问题不得而知，不过生态学恐怕的确是product integral最佳的应用场景之一，而且特别适合于理解Volterra原始版本的product integral定义。

如果我们从生态学的情景下，换个角度思考题主的原设问题，其实就没有那么抽象了。在只有一定的高中数学和生物基础的情况下也能很容易理解，也很容易算：

在种群生态学，我们比较容易观测的，是种群数量的变化曲线，也就是种群生长曲线（growth curve）。比如高中生物讲的“J型生长曲线”，“S型生长曲线”，都是说的生长曲线的形状。

那么对于生物学家而言，我们最最关心的一个问题就是种群的生长率随时间是如何变化的。

如果兔子种群的数量随时间的变化为 ，那么在某一个特定的时间 ，生长率 是多少：平均每只兔子，在单位时间内，能生几只兔子？

我们只要先算一下在一个时间间隔 内，一共多了多少只兔子： ，但是这个数值是没有多少生物学意义的，

还是要再平摊到每个兔头上才行：

取极限就得到了生长率的计算公式：

eq. I:

可以考虑一下兔子的种群是怎样积累，是通过老兔子不断的生新兔子，种群无时不刻地再成 倍的近乎连续地增加。

所以说，种群大小的变化实际上就是的一种product integral：

eq.II:

我们记 ，这个就是最早的Volterra最早描述的product integral的表达式，也被称为Type I product integral。

这样我们就很容易通过求解eq.I，然后代入eq.II，就可以把product integral转化为我们更熟悉的求和积分（sum integral）：

很容易注意到 （这也是这里唯一你需要提前知道的公式），变形eq.I得到

，即：

eq.III:

到这里，甚至不需要你学过多少微积分就能解出来了。而且我们并不需要知道 的实际方程是什么，它只起到一个“辅助线”的作用。

在实际问题的情境下思考，会帮助理解，但是注意，这不是严格的数学推导

有了eq.III，就可以去讨论其他形式的product integral，比如几何积分（geometric integral）：

现在如果用 来表示：从 到， 的product integral即累乘的连续：

令 ，这里利用 是小量时 的性质，两边取对数可以得到 ：

以上是我们讨论了数乘的求积积分product integral，现在我们要更进一步，考虑矩阵的累乘，尝试把 @PENG Bo 给挖出来没填完的大坑再加点土。

我们不妨还是先考虑一个生态学情景，再逐渐抽离出来，去考虑更抽象的数学。

现在大草原上有狼和羊，狼爱上羊啊……不是，是狼要吃羊，羊要吃草，所以大草原上狼 、羊 、草 的种群大小都在不断变化：

相似的，我们也还是可以定义一个种群的生长率矩阵：.

每个种群的生长率，除了和其自身的数量相关之外，还和其他的物种相关。

相似的，我们有种群大小 从 到 的变化，就是矩阵 的product integral：

eq.IV:

这里出现了问题的第一个困难， 是个向量不能直接除过去。这是需要我们把情景进一步抽象，想像这个生态系统是“线性”的， 生长率只和时间相关，而和种群大小无关，那么我们就可以在大草原设置多种不同的初始状态，观察他们在t0到t之间是怎样变化的。在只有三种物种的情况下，我们只需要设置3个线性无关的初始状态就足够了。

记3次实验为 ，那么就有 的product integral就能由 唯一的确定。

同样的，种群的生长率还可以通过另一种方式表达：

eq.V:

不过这次我们没有那么幸运了，这个微分方程怎么求还是个大问题（Matrix differential equation）。

在矩阵可以对易的情况下，也就是交换矩阵乘法的顺序不改变结果的情况下，我们有一个通解，定义矩阵的指数Matrix exponential，则：

类似的我们可以得到之前在数乘看到的结果：

这就是@PENG Bo 答主提到的exp(李代数的累加)。

很明显，矩阵不能对易是一个更一般的情况，就不能用矩阵的sum integral的指数来表示矩阵的product integral了。但是通过上述的构造，我们还可以知道，矩阵的Type I product integral，实际上是可以定义并求解的：

对给定 ，如果存在通解 ，则有Type I product integral为：

这样问题就被简化为我们“相对”比较熟悉的如何求微分方程的问题上了

如果看到这里还有气力，最后我们可以再尝试，想一想这其中的抽象概念。

当我们描述加法和乘法的时候，到底在描述什么？当我们描述累加和累乘的时候，到底在描述什么？

不管是加法还是乘法，其实都可以看做对原物体的一种变换。不管是原物体是一个数也好，还是一个向量，或是一个矩阵，加和乘都可以看做是平移旋转放缩这样的形变。

那么累加和累乘，无非就是多变换几次。

那么他们的“连续化”，也不过就是"连续的变化"。

只要这种连续性是可以“构造”出来的，就可以对应地取定义一种变换的“积分” ，剩下的就是如何形式化相关的语言和定义的问题了。

本回答图片摘自网络。

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