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下列积分级数如何计算? 第1页

  

user avatar   a-tuan-14 网友的相关建议: 
      

鉴于和式过多,就先分成三组吧。

第一组:

第二组:

第三组:


下面先尝试计算几个积分。

对于 的计算,提供两种方法。

法一:

首先有

考虑 级数

其中

则由 恒等式,有

法二:

考虑三角形式的 函数,即

则有

再利用 函数和 函数 与 函数 及其导数的关系求解积分值,在此不再赘述。


下面计算

再利用二重对数函数的性质

代入 ,立即得到

因此


下面计算

此积分也可见下文中的


下面计算

关于 的计算,还是给出两种方法。

法一:

首先有

法二:

取方形围道,利用留数计算积分,参考 @Aries 小天才的文章即可。(画图比较麻烦,加上菜鸡对留数不够熟悉,暂空。)


最后一个积分 与 类似,不再赘述。



下面尝试计算第二组和式。

首先由 的展开式

上式两边同时除以 ,并在 上积分,则

于是有

考虑 级数

其中


下面计算

利用下述级数展开

上式两边同时除以 ,并在 上积分呢,得到

同理,再上式两边同时除以 并在 上积分,得到

于是

最后的积分也可以先分部多次,再计算。

与 类似的问题:


显然,利用完全类似的方法, 也可以化为积分,在此不再深究。


最后看一下第三组和式的计算。

首先,有

利用 恒等式[1]

其中

得到


同 ,得到


对于 ,有两种方法。

法一:

继续利用上面的 恒等式,或利用 恒等式[2]

得到

法二:

利用 三重积[3]。见

问题完结。

参考

  1. ^ https://mathworld.wolfram.com/Dougall-RamanujanIdentity.html
  2. ^ https://mathworld.wolfram.com/DixonsTheorem.html
  3. ^ https://mathworld.wolfram.com/WatsonsTripleIntegrals.html



  

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