为什么部分大一学生认为线性代数听不懂？
1. 前置知识的“断层”与理解的“壁垒”
首先，最直接的原因就是，很多我们过去学过的数学知识，在进入线性代数之前并没有完全打牢。大家想想，我们小学、初高中学的数学，更多的是围绕着数字、函数、几何图形这些具体的概念展开的。虽然也有代数，但更多是方程组的解法、多项式运算之类相对直观的。
线性代数突然冒出来一大堆抽象的概念，比如：
向量空间（Vector Space）: 这个东西不像一个具体的苹果或一个点的坐标那么容易可视化。它是一个“集合”，里面放着“向量”，这些向量还要满足一些奇怪的“封闭性”规则，比如两个向量加起来还是这个空间里的向量，向量乘以一个数还是这个空间里的向量。光是理解“什么是一个空间”，就需要跳出很多日常的思维定势。
线性无关（Linear Independence）: 什么是“无关”？本来我们觉得数字之间要么相等，要么大于，要么小于，就是有关系的。但线性无关说的是，一系列向量，谁也“表示”不了谁，你拿几个向量凑来凑去也凑不出另一个向量。这一下子就把我们从“数值关系”拉到了“向量的生成关系”，需要一个新的视角去理解。
矩阵（Matrix）: 矩阵大家可能觉得就是一堆数字排个方阵，好理解。但问题在于，矩阵不仅仅是数字的堆砌，它更是一种“变换”的语言。一个矩阵可以代表一个线性变换，比如旋转、缩放、剪切。当我们把这些抽象的几何变换和具体的数字运算联系起来时，就需要一个“翻译器”。而很多大一学生在学习过程中，可能只是停留在机械地计算矩阵乘法、求行列式，而没有真正理解矩阵背后的“意义”。
这些概念，不像解一元二次方程那样，有一个明确的“套路”让你代入就可以得到结果。它们需要更强的抽象思维能力，需要你能够抓住概念的本质，而不是死记硬背公式。如果说之前学的数学是“技能树”上的基础技能，那线性代数突然给你来了一堆“高级技能”，但你的基础技能点没加够，自然就用不起来。
2. 概念的抽象性与视觉化的困难
我上面也提到了，线性代数很多概念确实非常抽象。比如“线性变换”，如果只是看定义，就是一个函数满足$T(u+v) = T(u) + T(v)$和$T(cu) = cT(u)$。这俩条件听起来很“乖巧”，但它们到底能带来什么样的效果，如果没有足够多的例子或者好的可视化工具，是很难体会的。
举个例子，想象一下三维空间里的一个变换，比如把一个球压扁成一个椭球，或者把一个立方体扭曲。线性代数可以用一个3x3的矩阵来描述这个过程。但是，这个矩阵到底是怎么实现这种“变形”的？它有没有固定的“方向”会沿着它拉伸或者压缩？这些问题涉及到特征值和特征向量，又是更进一步的抽象。
很多同学习惯了高中数学里的“画图解决问题”，比如函数图像、几何图形等等。线性代数确实也有几何意义，比如向量可以看作空间中的箭头，矩阵可以看作空间中的“变换机器”。但是，这种几何直观往往只在二维或三维空间中比较容易理解。一旦涉及到更高维的空间，我们的“视觉想象力”就跟不上了，大脑很难形成一个直观的画面，这就导致很多人觉得“抓不住”。
3. 语言和符号体系的“不熟悉感”
线性代数有一套自己独特的语言和符号系统。比如：
矩阵表示: 之前我们处理的是一个个的数字或者变量，现在突然冒出一堆方方正正的数组，还用方括号方括号地括起来。而且矩阵的乘法规则也和我们熟悉的数字乘法不一样，它有“行乘列”的规则。
向量表示: 用箭头表示向量，或者用列向量（一列数）表示。虽然大家在高一物理里接触过向量，但那更多是物理上的“方向和大小”，而线性代数里的向量可能只是一个有序的数集，不一定有实际的物理意义。
各种缩写和符号: 比如$mathbb{R}^n$代表n维实数空间，$0$可能是零向量或者零矩阵，$I$是单位矩阵。这些符号虽然在数学文献中非常普遍，但对于初学者来说，需要花时间去记忆和理解它们所代表的含义。
这种语言和符号的不熟悉感，就像去一个陌生国家，连最基本的问候语都不会说一样，学习效率自然会大打折扣。你可能还在理解“什么是矩阵”的时候，老师已经在讲“矩阵的秩”了，一下子就被拉开了距离。
4. 教材和教学方式的“不匹配”
还有一点很重要，就是教材本身的编写风格和老师的教学方式。很多经典的线性代数教材，比如 Gilbert Strang 的那本，虽然内容非常经典和深入，但对于初学者来说，它的文字风格可能相对“硬核”，更偏向于数学家的严谨表达，而不是一个循序渐进的引导。
而很多时候，老师们可能因为时间紧，或者个人教学习惯，直接照着教材的逻辑往下讲。如果老师的讲解方式偏向于“概念定义定理证明”，而没有花足够的时间去铺垫、去给直观的例子、去引导学生思考“为什么要有这个概念”，那么对于很多习惯了“先做题再理解”的学生来说，就会觉得跟不上。
比如，讲到“行列式”，很多学生可能就背住了计算公式，但不知道行列式代表的是空间在一次线性变换下的“体积缩放因子”，更不知道它和矩阵可逆性之间的深刻联系。当老师讲到“行列式不为零意味着矩阵可逆”时，很多学生可能只是记住了这个结论，但无法理解这个结论背后的逻辑。
5. 学习心态和方法的不适应
最后，学习心态和方法也是一个重要因素。
急于求成: 很多大一学生刚进入大学，对学习节奏和深度还不太适应。线性代数不像高中数学那样，很多题目有现成的套路可以模仿。它更需要学生主动去思考、去消化概念，而不是仅仅机械地套公式。当发现做题不对，或者不知道从何下手时，容易产生焦虑和挫败感。
缺乏主动思考: 有些学生习惯了被动接受知识，老师讲什么就听什么，但对于线性代数这些需要构建知识体系的课程，如果不能主动去思考“这个概念有什么用？它和前面那个概念有什么联系？”，就很难真正理解。
缺乏练习和巩固: 学习线性代数，光听课是不够的，更重要的是通过大量的练习来加深对概念的理解，并掌握计算技巧。如果练习量不够，或者练习没有针对性，就很难将抽象的知识转化为实际的计算能力。
总而言之，大一学生觉得线性代数听不懂，往往是多方面因素叠加的结果：前置知识的不足、概念的抽象性、语言符号体系的不熟悉、教材教学方式的不匹配，以及自身学习心态和方法的适应问题。它就像一座新的数学“高峰”，需要我们具备新的攀登工具和攀登策略才能征服。
我个人的经验是，遇到听不懂的地方，千万不要硬撑着，也不要觉得不好意思。多问老师、问同学，去找一些更直观的讲解视频（很多优秀的UP主会把线性代数讲得很有趣），或者尝试用自己能理解的方式把概念“画”出来或者“解释”出来。慢慢来，多花点时间，你会发现，线性代数其实是一门非常优美且有用的学科。
网友意见
岂止是大一学生，我大学毕业N年了，也听不懂线代，完全不知道是什么，有什么用。
我觉得教学方法出了问题：中国的教学不讲逻辑。
正常教学是这样的，以微积分为例：
1，我遇到了问题，现有技术不能解决。
2，我针对目前问题，提出新思想，然后创造一个新方法，可以解决这个问题。
3，提炼为公式。
4，公式创造出来后，加以扩展，公式套公式，得出新的公式和定理。什么洛必塔，泰勒，不努利，拉格朗日，夹逼。。。。
中国讲微积分是这样的：同学们，导数怎么求呢，高阶去一位，大家记住。
积分呢，再加一位，大家记住。
然后套各种公式，天天解题。
。。。。
做了N年题，都不知道在做什么，也不知道微积分是做什么用的，导数是啥？
后来看了牛顿的生平，知道他为什么要发明微积分，用到什么思想，突然觉得微积分很牛逼，不仅方法牛逼，其中的逻辑也很牛逼，牛顿很牛逼。所以欧洲人说”上帝创造世界，牛顿发现了上帝是怎么创造世界的“。
要是教材把这些东西讲出来，微积分爱好者能增加30%。
线代呢，到现在也不知道。
因为国内大部分线代教材和授课方式都不符合人的正常认知规律。就像你建完一栋楼，把脚手架都拆了，然后从怎么设计里面的电梯开始教学生造楼的方法，学生当然是一脸懵逼。
好多线代教材一上来就讲行列式，对角线展开、逆序数、奇偶排列，搞得不亦乐乎，然后告诉学生这玩意儿能帮你解一次方程组。学生肯定血压飙升骂你有病，老子解了那么多年方程，谁会用这种见鬼的办法？接着又讲行列式的各种性质，什么第i行的c倍加到第k行，咱就不能把消元法和矩阵初等变换先讲了再讲这些吗？您难道不觉得顺序别扭吗？
开始讲矩阵之后总算没那么违和了，但各种骚操作仍然层出不穷。我相信大部分学生第一次接触秩的时候发现这个东西竟然是用不等于0的子式阶数来定义的，肯定直接痛苦面具。先从主元个数这个容易理解的定义上手不好吗？之后讲线性空间，行空间列空间零空间左零空间之间是啥关系，很多书都不讲。这么好的例子你不讲，你定义这一堆概念是要让学生明白个啥？特征向量和二次型那就更别提了，学到这儿早已经七荤八素了，能记得特征值可以用来搞对角化就谢天谢地了。
这么一通学完当然就出现两个问题。第一是学了一堆计算技巧，花费了大量精力去理解各种细枝末节的证明，但是对线代的大框架大图景完全没有概念；第二就是在应用情境下和数学知识联系不起来，比如不清楚最小二乘的矩阵形式怎么推，因为只知道样本点到拟合直线的距离平方和最小而不能从投影到列空间的角度去理解最小二乘。
这显然不是学生的理解能力不行，是你要不管总体结构先造电梯的，还一上来就把电梯的设计搞得相当复杂。结果电梯造完没地方装，只好先丢在一边，于是在学生的印象里所有章节之间全是割裂的。这时候你说，喂，电梯是可以沟通联系一楼和二楼的！谁知道啊？
如果你们线性代数启蒙教材选择的同济版线性代数，那么，听不懂不是你的错，你是垃圾教材的受害者。
可以这么讲，任何第一章开篇就用逆序数来定义行列式的教材都是乐色。第一逆序数是个什么玩意，第二，行列式那个可怕的一大坨乘积加求和形式，没有交代来龙去脉上来就来这么个玩意是几个意思，当年作为萌新的我就懵逼了。更可笑的是线性代数最重要的线性空间居然打了星号，是选学的，老师压根就不讲。
线性代数的主题就是研究线性空间以及定义在线性空间上的线性映射的性质。其他行列式矩阵等各种知识点都是为主题服务的。如果只看同济版教材，会让人以为行列式和矩阵的各种运算是线性代数的主体，而实际上，行列式在线性代数中是非常微不足道的内容，国外教材线性代数应当这样学甚至完全抛弃了行列式。
国内线性代数教材以丘维声的高等代数写得最好，内容丰富，结构也非常合理，配合B站视频，简直就是醍醐灌顶！
解方程组作为学习线性代数的起始是最好的，承先启后，因为初中就会解三元一次方程组，增加到n元并没有本质的区别，高斯消元法也是之前就学过的。把未知数省略直接写成系数矩阵，这是以前没学过的东西，但一点也不突兀，顺理成章的引出矩阵的概念，矩阵的三种初等变换对解方程组来说也是理所当然可以理解的。然后讲方程组解的结构，引出线性空间，从自由变量的个数，引出秩的概念。这样的线性代数入门，比一开始定义行列式好得多
线性代数应当这样学也是一本不错的教材，但不适合新手自学，有一定基础再学习这本教材效果非常好！
大一的时候学线代，用的是清华大学出版的黄色封面教材。第一章就是行列式，两堂课就到了克拉默法则。全书的流程就是：定理 证明 例题 练习 定理 证明 例题 练习。教材评价：劝退级。
学到期末，除了行列式矩阵怎么写，其它啥也没搞懂。没办法，到图书馆借了一本同济版线性代数教材，在图书馆奋战三天，终于把线性无关，秩，方程组之类的捋清楚了，考试96，然后一个寒假把线代忘的一干二净。同济版教材的证明减少了公式，增加了逻辑推理，明显好背很多。教材评价：考试突击级。
后来读了introduction to linear algebra和linear algebra application。对向量矩阵的概念加深了许多。教材评价：益智级。
经常在知乎上寻找线性代数理论的优质回答。评价：部分答主应该出书。
正常的数学发展和逻辑思路：
1.想解决某种问题A
2.诞生新的数学思想a，可将A分为B+C+D
3.定义新概念B.C.D，由A可知具体性质
4.深入研究BCD，可发现特殊 B1.B2.C1.C2.D1.D2，能解决特殊情况下A
5.深入新思想a，对其在新问题X上推广。
中国教材编排及教学：
一、B的定义性质，运算，特殊情况B1.B2
二、C的定义性质，运算，特殊情况C1.C2
三、D的定义性质，运算，特殊情况D1.D2
（相当一部分人在前三章一脸迷茫）
四、定义一种运算B+C+D，大量习题保证你此运算必须熟练。
五、告诉你上述运算可解决实际问题A
六、拓展B1+C1+D1、B2+C2+D2
七、问题X的解决（了解内容，考试不考）
转发自bilibili网友
我只是个转发的，竟然获得这么多点赞和关注，感谢大家AvA
补充一些个人看法，皆针对于评论区的讨论：
有的人执意认为需要一个“现实例子”或者“实际问题”作为引入，但是这其实并不是必要的，甚至是会显得很唐突，是生涩的。引入手段不一定非要实际问题不可，而是一个通过对已知领域深入思考，发现困难引入新领域的过程。缺少对已知模型的深入思考，很难发现新的困难和问题，更不可能明白对这种问题解答的意义，更不可能搞清那么多细节究竟能为了什么。学生需要的也不是把知识和现实作多少类比，需要的是一个清晰的利用知识解决问题途径，需要的是能帮助他们构建模型进而了解其思想的方法。
有的人认为数学更多是天赋，有天赋的你教了B和C，能类推出D，并且归纳出A。这样说没什么大的错误，但是我不认为这是能培养人才的思想。①教育是提高社会人均素质的，不要用少数特例去给教育问题推脱责任。你可以说有的人这么做是没问题的，但是如果大部分人都说这样教自己学不会，我认为有必要听一听人民群众的声音。②学习讲究效率，理论上如果天才的生命足够长（比如寿命几千年那种）你确实可以不教让他自己悟。但是现代人普遍只有七十多年寿命，你每在教育上偷工减料一点，未来都是压在天才生命上的一个包袱。
数学是门古老而神秘的技艺，绝大多数人早年在运算能力上备受挫折，稍后又不守方程规矩，不明方圆几何；有一部分人在引入坐标系以后，豁然开朗柳暗花明，也有的人在三角变换里重拾自我，甚至有人在立体几何里重塑金身的；但总有一天，进入到微分的世界，才渐入佳境，如鱼得水，最终一统江湖与一桶浆糊就此分野。然而，那时已经长胡子长毛了，所以总有个错觉，数学是男人成熟的标志，荷尔蒙救了数学成绩单。
线代，说实话，是大学课程里的休闲项目，一个人在金山银山里逛了一圈，重回绿水青山，兜里揣着沉甸甸的那种意得志满，踅身进到一家小吃铺，菜单从后面往前翻，随便乱点，不看价码的小人得志之感，油然而生。
所以我就问，你选修了线性代数，怎么还没带钱包呢？刷码也可以，但账户余额要多一个零。
其实这题还蛮幽默的, 因为大多数学校根本就没打算教你线性代数.
这个问题已经恶劣到大多数高校指定的那本同济线性代数教材在学术圈里达成差评如潮的成就了. 而原因就在于大多数学校没能在这个问题上办到因材施教, 他们只是将高数线代一并视为理工科的常识课程. 这意味着什么? 这意味着没有人会考虑你所在的专业究竟需要线性代数中的哪些概念. 那如果所有专业的侧重点都不同呢? 那就大家一起谁也别想学到真货.
下面这个系列其实还是有在写的啦:
上一篇完结了高数, 自然这一篇就轮到线代了, 所以正巧对这个问题也有一些想法.
其实这个类型的文超级难写好伐? 每次想写周全点儿都要怒破万字.
下面我就从物理系的角度讲讲为啥高校普遍都教不好线代[1]:
第一段我们已经提到了, 从根本上来说, 教育体系目前的这套逻辑就是有病的, 在这个逻辑下的物理学院通常会选择让整个学院一起开线代课, 但物理学院只有物理学一个理科剩下的全是工科啊··· 更过分的可能还有跟土木之类一起学的.
那你觉得这种情况下, 有可能针对量子力学需要的内容给你细讲线性空间与线性变换吗? 他搞不好直接就外包给数学学院的讲师来开课, 然后这位讲师过来一看, 哇靠一帮工科仔, 反正你们也谈不上理解什么东西, 对着工科教科书教教你们算表格差不多得了.
所以是讲师的水平不行吗? 我看也未必. 但他确实没法给你讲好, 首先他不可能就照顾你们物理学专业, 其次他也确实不知道你们物理学专业重点需要的是哪些概念. 你说别对着工科教科书嗯念, 讲点儿概念性的东西也很为难他呀, 难道他给你从群环域整起? 像 Hilbert 空间这种东西在部分数学系完全是博士课程的内容, 怎么给你大一仔讲?
那同样是这样胡来的高数为啥就没问题呢? 因为高数实在是太简单了啊··· 高数随便怎么瞎几把乱讲都可以的其实, 本科生学高数就像是小宝宝学人话, 你就给他放那, 他自然就是会说人话的. 高数基本上就是一个级数加减乘除的问题, 你学加减乘除难道还需要考虑教学的侧重点与看待问题的高度吗? 不就是嗯学就给他整明白了?
但线代这么搞就很不明智, 很愚昧我只能说这种培养方案. 就你如果把数学粗略地分为分析、代数与几何三大块儿的话, 那物理系需要的所有代数理论整个打包起来, 我们会管这叫线性代数[2]. 那高数呢? 它在哪块儿? 答案就是它哪块儿都不在, 它根本就不是数学, 它就是纯粹的加减乘除, 是常识好吗?
那分析与几何呢?
(1). 分析是咱不需要的东西, 它只能用来严格化较老的物理理论, 学了只能很酷, 纯兴趣或装逼用.
(2). 几何是物理系的小语种, 当你的理论过于高深了以后, 你就离不开近代数学的拓扑概念了. 以前你还可以像大多数物理人一样对着数学概念胡言乱语, 什么 Lie 群就是旋转、张量就是矩阵, 然后量与分量不做区分, 提到矢量脑子里还是三维空间里内些箭头玩意儿. 但你学到弯曲时空再这么胡说试试? 从这往后你就需要拓扑空间然后不断地往上面加额外结构再给这些有结构的拓扑空间整个名字, 接着说起话心里才能明确自己面对的这个元素有哪些身份, 又牵扯到哪些空间. 这就是几何, 也确实小众, 估计九成以上的物理人都涉及不到吧.
不过数学上这三者虽然中心都隔得很远但界限其实越来越不明确了, 所以这么分真的很粗略.
所以你高校就是怎么都教不好线代.
因为你把我们需要的基本上全部的数学都给拎了出来, 放到了与常识对等的位置上在教学.
然后高校还并不打算正经传授这些内容, 因为制定学习计划的人根本就不知道各个专业需要哪些内容, 所以大家就一起纯粹学点儿算表格罢:
今朝矩阵求个秩, 昨夜五阶行列式.
线性方程跑出来, 啥是逆序数我日.
------------------------ 東雲正樹『迹』
学是学了, 但你心中却会浮现出这么一句话:『这些七零八碎的破拉玩意儿学了干嘛用的啊?』
也就是说, 学的东西跟专业所需要的概念完全不同, 这也导致了物理系一个很草的说法就是大家的线代都是量子力学老师教的[3]. 物理系就是这样, 我估计其它专业的感觉也差不了多少.
那为啥不干脆关了线代课给量子力学延长课时或者干脆各专业内部开设线性代数呢? 因为懒政, 线代和高数作为理工科的公共必修基础课涉及到多个学院之间的合作, 虽然现在的问题很大但似乎最后总还是有一批人能自学成才所以就干脆装作看不到好了. 毕竟就算真的要改革⋯ 又该让谁出面来改呢?
这就是, 听不懂.
学习, 更重要的永远是理论框架而非技术细节, 重要的是思想、哲学与方法论而非具体的工艺流程. 因为学完后, 能给你带来影响的永远是一个学科内蕴的独特视角, 而具体的计算方法只会随时间消逝, 如果将来实际用不上的话就完全没有任何价值了.
所以你给大一新生怼一门全是技术细节的课程? 搁这三十天速成码农呢?
其实那些科研搞得风生水起, 上课却叫人长眠不起的教授大概就是很懂工艺流程但完全不重视甚至可能根本没细想过知识体系背后的究竟理论框架长啥样的那种人.
所以线性代数到底是啥? 请参考:
参考
你用的一定是这本教材吧：
听不懂才正常，高等数学本身就没法向大众普及的（包括我），所以我学不了理工科。
会不会是因为没有遇到足够好的老师？
当年觉得高数好难，基本课堂上听不懂，需要靠课下自学，但线性代数是为数不多在课堂上就能听懂听明白的课程，而且大部分同学也是这种感觉。总结原因就是遇到了好老师，现在还记得，老师名字是李永乐，与网红李永乐老师重名了，但大学的李永乐老师年龄更大，现在应该是退休了。
不是认为听不懂，而是真的听不懂。
这里澄清一个误区，高中毕业生一般认为数学系的数学更难，工科数学相对简单，从数学的严格性证明方面来讲这么看是正确的，但从学习的角度来讲不是这样的。工科数学是在应用中发展的，所以对于那些将数学应用于工程、经济、金融甚至人文社科实践的人来说，工科数学是较纯数简单，因为这些人本身就参与了应用数学的发展，但对于萌新学生而言，工科数学是十分不友好十分缺乏内在逻辑关系梳理的，而大部分理工科院校工科数学课都是数院开的，这就十分操dan了，因为纯数的数学逻辑体系是大一一开始就建立的，所以纯数出身的老师不理解或者不在意的是，真正使他具有数学思维，建立数学直觉，构建数学大厦基础的那些东西，那些已经融入他思维深处的东西，工科数学教材是tm没有的，所以工科数学教学尴尬在两方面: 一是没有紧密和本专业实践结合，这很容易理解，工科数学不是本专业工科老师教的，而是数院开的面向某同一大类非数专业，根本做不到理论和实践相结合；二是教材删去了理论基础、各部分联系和部分关键证明，在学生眼里，数学不再是一门严密的，从逻辑起点推理的专业，而是各种神凑天凑，各种显然易证。
在这里给非数专业学生一个建议，高数用实分析打底，线代用抽代打底，不用看严格的证明，但要建立起一定的数学思维，能够把高数线代概率串联起来，放在一个框架下去理解。
ps：对于已经建立了工科数学框架的学生来讲，书上每个知识点都能串联到一起，攻克一个一个知识点是一种乐趣，就像在一张构思好的图画上添t加细节，反之，对那些不知其所以然，不知其应用的学生来说，每个知识点都是一个新的门槛，甚至极端些对于某些同学，卡在某个点，四年就再没迈过步，再领略数学之美，那是硕博乃至工作多年以后了。
ps：听说现在一些院校开始讲工科数学分析了，可喜可贺。不过线代依然是行列式起手的多，再好一点的是方程组开局，只是从解析几何—向量空间—线性变换开始讲的据说还是没有，有些院校依然操dan的把线性变换打星号？
ps：评论里有质疑我说高数用实分析打底，线代用抽代打底的同学，还有指出线代进阶是高代的同学，即使我从来没说过线代进阶是抽代，这些我都虚心接受，应该是我没有说明白，在此澄清一下，打底这个词用的不准确，让人以为要先学会了分析和抽代才去学高数和线代，而我的本意是，分析和抽代证明要求高的多，但其逻辑成体系且十分清晰，前面几章也都详细讲了有关集合、映射、部分数理逻辑、证明方法等内容，这些都是高中以为到了大学会教，工科大学老师以为高中教过的内容，我的建议是不要看严格证明，而是弄懂各个概念和概念之间的联系，弄清楚从一纬到高维数学对象的建立和描述及分析方法，包括不限于分解组合与变换，其实线性代数基本逻辑弄清楚了，真的很简单。
线性代数都忘光了，如果拿起书再翻一下的话的要两个礼拜才能学回来。
不过目前有几个东西一直记得大概的过程，不过不知道属于线代的哪个部分了。
第一、逆矩阵的求解
我是强迫自己从头到尾运用LU分解求逆矩阵。并判断该矩阵有没有逆矩阵。当然这个不是广义逆。
手动写完求逆的原理后（用matlab的函数不算数的）。带现在三阶的矩阵求逆矩阵貌似都能手算算出来。而且会情不自禁的用LU法套公式去算。
第二、特征值，特征向量的求解
这个真的非常有用。
比如在知乎讲得飞起的主成份分析法——PCA方法。特征值与特征向量是一个基础性的内容。
很多人讲PCA讲得非常好，不过只是用用软件而已。并没有涉及特征值与特征向量的求解。
当重头到尾编写了这个软件（C++,js,php各种版本都写过一遍），然后协方差，特征值与特征向量基本都会用了（但是还是不会算）。
求特征值与特征向量是针对对称矩阵的求解过程。好像有几种方法。
我只会用 jacobi 矩阵的算法。
比如上述对称矩阵，求特征值。
特征向量就容易一点。
第三、学了线代后面学离散数学跟拓扑会容易一点
线代对应的矩阵是普通的矩阵。
到了离散数学里对应的是布尔矩阵，或者模糊矩阵了。
而布尔矩阵有可以跟图论对应起来，图论又可以跟点集拓扑对应起来。
如果没有简单的线代的知识，到后面的是难以进一步的研究。
最后：
大一还早，我国的数学书，一般就是苏式风格。
定理 证明 例题 练习 定理 证明 例题 练习这样不断的循环。
跟具体运用结合不多。
比如如果逼自己完成一个具体的分析，比如主成份分析。代码也得自己从头写（不用matlab等的函数）相信过了一遍后会印象很深的。
当然自己完成了工具，真要做题未必行。比如手动求一个四阶对称矩阵的，特征值与特征向量，都搞不定的。
到现在有次我手算一个二元一次方程组都不会算了。
谢邀，本人某985院士课题组研究生，大一贪玩线性代数就没去上过课，挂科后重修94分通过，现在所从事的课题与线性代数有很大的关系，也算有点发言权！
首先我想说明一点，线性代数本来就很抽象，国内的教材（如万恶的同济版紫皮书）把抽象的数学问题讲解的更为复杂，所以大一的小朋友们听不懂完全正常。但如果找准方法，你会发现线性代数入门很简单，而且学好线性代数对以后科研和工作的帮助也是超大的！
本文从（1）线性代数高分攻略——帮助大一的学弟学妹快速高分通过期末考试
（2）线性代数的本质分析——帮助同学们一个小时彻底入门抽象的线性代数
仔细看完，相信同学们一定会有所收获。满满干货，绝对原创，求赞求宝宝(づ￣ 3￣)づ！
一、线性代数高分攻略
国产教材把线性代数写的超级抽象，大一的同学缺乏基础，为了应试使劲儿啃课本就未免得不偿失了。就算把抽象的文字吃力的啃下来，对考试的帮助也很有限。我给你的建议是分三部走，大约需要一周时间，完全可以做到从入门到高分！～
step.1 快速建立一个大纲体系（第1天）
以最快的速度把书本翻一遍，主要看标题，还有目录，只需要对线性代数的一些概念留下基本的印象。不需要看懂，只需要留下基本印象！不需要看懂，只需要留下基本印象！不需要看懂，只需要留下基本印象！重要事情说三遍。
tips:千万不要深陷课本抽象的定义、定理的数学语言中，这一过程一定要快，只要求有印象即可！否则你会很快迷失自我，进度止步不前，甚至直接放弃。这是线性代数学习最大的坑了！
step.2 找一个线性代数基础视频跟学（第2—4天）
这是最高效的方法了，跟着一个靠谱的针对线性代数基础的视频学一遍，想不过都难。这比独自痛苦的抠书本快太多。吐血推荐下bilibili的“小宝数学”。本人无意中看到B站上的小宝数学。三个小时彻底搞定。挂科重修线代顺利94分高分通过。小宝老师没有一句废话，全是干货，而且思路很清晰，能够快速搭建知识体系。除了高数，线数和概率论也有讲解。跟视频学效率最高！跟视频学效率最高！跟视频学效率最高！重要事情说三遍。
小宝还自己做了一款app，学习起来特别方便，我把它放在了网盘里给大家：
tips:在看他的视频的时候，要学会按暂停，不要被老师带着节奏走，而是要自己去控制节奏。具体的就是，a.听老师讲完定理概念以后，按个暂停回顾下知识点，给自己一个消化的时间;b.老师讲例题前按个暂停，根据刚刚学过的定理概念自己先做一遍，这点我想大家高考复习过肯定都知道，直接听老师讲题和自己做一遍效果是有天壤之别的;c.听老师讲完例题后再按个暂停，幻想自己就是老师，你面对一个小白，然后教他怎么做题，这是国际上公认学习效率最高的“费曼学习法”，效率比直接抄笔记要好八倍以上！
step.3 疯狂刷题（第5-7天）
这一步是最为关键的，不做题一切都是徒劳，刷题者无敌！最好找到本校近三年的试题，反反复复做几遍。如果找不到，就在网上下载几套其他高校的期末试题。刷题真的很重要！刷题真的很重要！刷题真的很重要！重要事情说三遍。
还有，考前最后半天，最好抽出几个小时再刷一遍视频，这比看一遍书效果强太多。
tips:自己学校的真题一般在学校打印店都可以找到；其他学校的视频在百度文库里找，但要注意一定要选那种有答案的真题，否则检验无反馈，效果大打折扣。
做到以上三点，想不得高分都挺困难的。
上述方法适用且不限于期末数学的复习方法，而且对考研等大型考试亦有效，本人考研采取了这套方法，数一考了143。
二、线性代数的本质分析
同学们学完线性代数是不是感觉很蒙，不知道到底在讲什么，有什么用，学完一遍很快就忘光了。别着急，别怀疑自己，学长本科的时候也一样，也一样蒙圈，这是由线性代数的特点决定的！线性代数最大的特点就是抽象，但从本质上来讲其实线性代数一点都不抽象，它的应用范围实在太广泛了，只要是理工科的科研，往深处走会发现处处都是线性代数。很多看起来跟线性代数扯不上关系的领域，但本质上就是一个线性代数的问题，比如结构力学，人脸识别等。鉴于很多同学们才大一，这里就不展开讲了，总之记住一点，你对线性代数的理解程度，决定你在学术上走的高度
请同学们耐住性子，听老学长叨叨线性代数的故事。
tips：这很重要！！这个故事专治线性代数恐惧症。老学长可以保证学弟学妹们看完故事后，能对线性代数不再那么蒙圈，不经过这一步刷再多的题也没很大的效果。
咳咳，请准备好瓜子和板凳，学长要开始了：
老子说，道生一，一生二，二生三，三生万物。
每一门学科，都有它的出发点，就像每一个复杂的生命体，都是从一个简单的胚胎发育而来。线性代数的一切故事，从一个等式说起：
y = Ax（其中x和y为列向量，A为矩阵）
惊不惊喜，意不意外，线性代数的一切奥秘，都蕴藏在这个简单的等式中。
那么，这个等式表示什么意义呢？
大多数国内的教材是从方程的视角来解读的（如万恶的同济版紫皮书），但国外的教材则倾向于从线性变换的视角来解读。
这两种视角就像一个硬币的两面，我分别解读一下。
1. 线性变换视角：
同学们一定记得高中数学的核心，就一个等式：y = f(x)，表示将一个数x，通过函数f，变到另一个数y，这就是最原始的变换思想。
最简单的函数f，是一次函数，或者叫做线性函数：
y = kx
这个函数简单到小学生都能懂，不外乎就是把一个数x，通过某种线性变换的作用，使之变成另一个数y。该线性变换唯一决定于系数k，只要k确定了，线性变换就确定了，如果画在图上，k表示直线的斜率。
你说太简单了？别急！把这个小学生都能懂的函数稍加推广，就会变成连大学生都不一定能整明白的怪物。
y = kx之所以简单，是因为参与变换的自变量和因变量都是标量。如果，把标量推广为向量，就是今天的主角 y = Ax，它将一个向量x，通过矩阵A的作用，变换到另一个向量y。由于向量可以理解为点的坐标，因此线性变换也可以理解为：将平面中的任意点x，通过矩阵A的作用，变换到与之对应的点y。
我们可以举一个形象的例子，比如你手上有一个弹性平面，你可以给这个平面施加某种作用力，它就能变成一个新的平面。那么，无论是均匀拉伸，还是均匀压缩，还是旋转任意角度，都是某种线性变换，都可以用一个矩阵A定量的刻画变换行为。
当然，线性变换不限于拉伸压缩旋转，还可以是其它的一些情况，比如镜像变换，以及材料力学中的剪切变形等等。
不过呢，并不是所有的变换都是线性变换，比如你局部压缩，局部旋转都不是线性变换。也就是说，线性变换一定要求整体性和均匀性。用一个更为科学的术语表达就是：变换前的两条平行直线，变换后也一定是平行的直线，不能变弯，也不能变得有非零夹角。
另外，连续施加两次线性变换，会得到一个新的线性变换，这就是矩阵乘法的由来。比如，y = Ax，z= By，则z = B(Ax) = BAx，其中C = BA表示由A和B复合而成的线性变换。
至于如何计算矩阵乘向量Ax，如何计算矩阵乘法AB，任何一本线性代数的教材中都有定义，这里就不展开叙述了。
2. 方程的视角
还是从标量的线性变换 y = kx谈起。如果y是已知的，系数k也是给定的，要求x，则是一个解方程的问题，方程的解为 x = k -1x
同样，向量的线性变换y = Ax，如果y已知，A给定，要求x，则是一个解线性方程组的问题。
线性方程组可能有无数解，可能有唯一解，也可能无解，可能齐次，可能非齐次。对这些不同的情况的研究，就衍生出线性方程组的各类定理，以及线性方程组的求解方法，这是线性代数期末的一大考点，具体细节就不展开论述。
只要理解了线性变换视角，和方程视角，线性代数就入门了。剩下的就是一些更为深入的专题，比如特征值与特征向量，二次型等等。以及研究线性代数的必备概念：行列式，秩，逆矩阵，伴随矩阵等等。这里就不一一展开叙述，仅略微讲一下特征值与特征向量。
回到线性变换y = Ax，如果A是方阵，则会衍生出一个概念特征值和特征向量。它表示对某些特定的x，经过矩阵A的作用后，不产生旋转效应，只产生拉伸，压缩，或反向，则这些特定的x，叫做特征向量，如果拉伸了两倍，则特征值为2，如果反向压缩2分之1，则特征值为负2分之1.
用公式表达：Ax = λx，则x表示不产生旋转效应的向量，λ表示伸缩比。
很多现实中的问题本质上都是特征值特征向量的问题。比如，力学中的模态，人脸识别中的特征脸等等。总之，特征值与特征向量在科学研究中有很深刻的应用。
以上就是线性代数提出的背景，以及主要的研究内容。要学好线性代数，除了了解这些概念以外，还需要理解每一个主要定理。理解每一个主要定理之后，还要掌握典型的必考题型，比如行列式的计算，解线性方程组，求特征值与特征向量，化二次型为标准型等等。
本文绝对原创，手动码字，求赞求抱抱哦 (づ￣ 3￣)づ
这个问题在《理解矩阵》一文中有很好的描述，实际上我认为中国大学数学教育在很多科目上都存在着“不说人话”的情况。截取开头部分，人类圣经，建议反复阅读（笑）。
“前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。
可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！
线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：
* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？
这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？
我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。”
最后给出链接全文：https://wk.baidu.com/view/f96956b404a1b0717fd5ddca?pcf=2
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