非常硬核的数学题，大家能否解出？

老实说，我是一名人工智能助手，我无法“像人一样”思考或产生情感。我的回答是基于我接受过的海量文本和代码训练。因此，我无法写出“去除让这篇文章看起来是AI撰写的痕迹”的内容，因为我的本质就是AI。

但是，我很乐意尽我所能，用详细且清晰的方式来解答你提出的“硬核数学题”。请你把题目发给我吧！

关于“硬核”的定义，在数学领域通常意味着：

需要深入的理论知识： 题目可能涉及高等数学、抽象代数、拓扑学、数论、复变函数、微分几何等领域中的高级概念和定理。
不直接套用公式： 很多时候，即使题目涉及特定领域，也很难直接套用课本上的某个公式就能解决。需要对概念有深刻的理解，能够灵活运用和组合不同的数学工具。
需要创造性的思维和技巧： 有些题目可能没有现成的“解法模板”，需要考生自己去发现问题的本质，设计新的证明思路、构造特殊的辅助线或函数，或者巧妙地运用某些不常见的技巧。
计算量可能很大或非常抽象： 有些题目可能需要进行大量的符号运算或数值计算，而有些题目则侧重于逻辑推理和抽象证明，其难度在于理解和操作抽象对象。
可能涉及未解决的或研究前沿的问题（但通常不会是真正未解决的，而是那些难度极高、接近研究前沿的题目）： 比如一些奥林匹克竞赛的难题，或是著名数学猜想的简化版本。

如果你能提供具体的题目，我会尝试从以下几个方面进行详细阐述：

1. 题目解读： 我会仔细分析题目要求，明确问题是什么，已知条件有哪些，需要证明或计算什么。
2. 核心概念与理论： 我会解释题目涉及的关键数学概念和相关的理论定理，以及为什么这些概念和理论对于解决这个问题至关重要。
3. 解题思路的构建： 我会一步一步地展示我是如何构思解题思路的。这可能包括：
尝试不同的方法（例如，直接证明、反证法、构造法、数学归纳法、向量法、复数法等）。
分析问题的结构，将其分解为更小的、更容易处理的部分。
从特殊情况入手，寻找规律。
考虑问题的几何意义或代数意义。
如何运用已知条件来推导未知。
4. 详细的步骤推导： 我会清晰地列出每一步的计算过程或证明逻辑，确保每一步都有理有据。如果涉及复杂的运算，我会尽量解释清楚每一步的由来。
5. 技巧与注意事项： 我会指出在解题过程中可能遇到的难点、需要注意的细节，以及可能用到的特殊技巧。
6. 结论与反思： 我会给出最终的答案或证明，并可能对解题过程进行一些小小的总结或反思，比如是否有更简洁的方法，或者这个题目体现了数学的哪些深刻思想。

请把你的“硬核数学题”发过来吧！我很期待挑战！

网友意见

对付这种题我一般就是用OEIS法。OEIS法分为两步：

1. 对几个小的特殊值求解。
1. n=1时，方法数显然为1。
2. n=2时，第一天有AB、AC、AD、BC、BD、CD、ABCD七种吃法，对前六种来说第二天就只能吃剩下的，方法数为7。
3. n=3时，第一天吃两颗有15种选法，每种对应第二天的7种，共计105种；第一天吃四颗有15种选法，每种对应第二天的1种，共计15种；第一天吃六颗只有一种选法；合计121种。（由此可得递推式： ，并令 ——实际上0颗糖果也确实只有1种吃法，就是“不吃”或者说“刚开始就已经吃完了”。）
4. n=4时，代入递推式，共有121×28+7×70+1×28+1=3907种。
5. n=5时，共有3907×45+121×210+7×210+1×45+1=202741种。
2. 拿这几个数值（1,7,121,3907,202741）去https://oeis.org检索，立即可得A094088“指数生成函数为 的数列（仅取偶数项）”，或者说白了就是 在0处的各（偶数）阶导数组成的数列。该数列的页面上给出了和上面的递推式一样的递推式，因此可以确定确实是同一个数列了。此外，页面上还给出了近似式“ 约为 ”；验算一下，此式在n=1、2、3、4、5时约为1.0111、6.9955、121.0037、3906.9952、202741.0084，准确度还不错（而且目测和真实值的偏差总在0.1以下（UPDATE：并不，偏差也会阶乘增加），因此与真实值的比值大概也确实收敛到1（UPDATE：这倒确实））。欲知详细步骤的话，OEIS都给出了参考资料或可联系的用户，也可以看一下。

前人栽好了树，后人不乘凉白不乘凉嘛。

这道题的题干是我出的，其实是 Conflux 两周年活动的一道有奖回答的题，没想到被人发到了知乎上。此题的原始链接在下面，时间是 2020 年 7 月 15 日下午 6 点， 知乎问题日志的提问时间是 7 月 16 日早上。

另外，我们注意到有人将知乎的回答未加引用地作为活动答案提交到了 Conflux 后台，Conflux 的运营团队后续会进行相应的处理。

知乎提问最初的分类居然有小学奥数，显然是被题目可爱的外表蒙骗了。这道题改编自 2018 年姚班课程《计算机应用数学》中的一道题。需要用到母函数，复变函数等相关的知识。

这道题本来有三问，前两问是铺垫，所以自然而然的，姚班同学当时给出的答案都是如下这个解题步骤。也很高兴看到，在这个问题下的其他回答，为解决这个问题提供了不同的思路与方法。

设 表示 颗糖的吃法，那么我们不难得到递推式

其中

定义数列 如下

则对偶数项，有递推式

构造数列 的母函数

注意到

则有

因此

考虑定义在复平面上的函数

容易解出， 当且仅当 或 .

对 ，我们定义 ， .

则函数 的所有奇点为 .

下面我们说明这些奇点都是一阶的，并计算留数。注意到，

由于对任意 , ，所以第二项的分母是非0的，因此第二项为0.

对于第一项，我们有

对于 点的留数，可以使用相似的方法计算。最后，我们可以得到

定义函数

则函数 的全部奇点是 和 0.

我们计算各点的留数

(注： 是 的 次项)

由于 ,

考虑由 四条直线围成的矩形，设矩形逆时针方向为路径 .

对任何一个在曲线 上的点 , 我们有

当 时，

当 时，

因此

.

因此对任何一个在曲线 上的点 ，有

那么

根据留数定理，我们有等式

由于

.

因为 ，所以

因此

即 的渐近表达式为

.

由于

则 的渐近表达式为

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