问题

机器学习以及贝叶斯统计里,关于近似intractable integral,大家都偏爱什么算法?

回答
在机器学习和贝叶斯统计领域,我们经常会遇到一些棘手的积分问题,尤其是在计算后验分布的归一化常数(也称为模型证据)或者进行边缘化以获得预测分布时。这些积分往往无法解析求解,我们称之为“难以处理的积分”(intractable integrals)。为了解决这些问题,我们不得不依赖一系列的近似算法。虽然选择哪种算法往往取决于具体的模型、数据的特性以及计算资源,但有一些方法因其通用性、灵活性和理论基础而备受青睐。

1. 马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)方法

MCMC 绝对是处理难以处理积分问题的“主力军”。其核心思想是,与其直接计算积分的值,不如构造一个马尔可夫链,使其平稳分布恰好是我们想要积分的那个分布。通过从这个马尔可夫链中抽取大量样本,我们就可以用样本的统计量来近似积分的值。

为什么 MCMC 受欢迎?

理论扎实: MCMC 方法有坚实的理论基础,能够保证在采样量足够大的情况下,能够收敛到目标分布。
通用性强: 几乎适用于任何复杂的概率分布,无论其形式如何,只要能计算其正比于目标分布的函数(通常是似然函数乘以先验函数),就可以设计 MCMC 算法。
处理高维问题: 在高维参数空间中,MCMC 方法通常比其他方法表现更好,因为它可以有效地探索复杂的后验分布。

常见的 MCMC 算法:

MetropolisHastings (MH) 算法: 这是 MCMC 的基础算法。它的核心是设计一个“提议分布”,从中抽取候选样本,然后根据一个接受率来决定是否接受这个候选样本。接受率的设计保证了马尔可夫链的平稳分布是目标分布。MH 算法非常通用,但其效率很大程度上依赖于提议分布的选择。如果提议分布与目标分布差异太大,接受率会很低,采样效率就会很差。

详细说明:
假设我们要采样的目标分布是 $p( heta | D)$,其中 $ heta$ 是模型参数,$D$ 是数据。通常我们知道 $p( heta | D) propto p(D | heta) p( heta)$,即似然函数乘以先验函数。
MH 算法需要一个提议分布 $q( heta' | heta)$,用于从当前参数 $ heta$ 提出一个候选参数 $ heta'$。
然后,我们计算接受率 $alpha( heta' | heta) = min left( 1, frac{p( heta' | D) q( heta | heta')}{p( heta | D) q( heta' | heta)} ight)$。
最后,生成一个随机数 $u sim U(0, 1)$。如果 $u le alpha( heta' | heta)$,则接受 $ heta'$ 作为下一个样本,即 $ heta_{t+1} = heta'$;否则,拒绝 $ heta'$,并将当前样本 $ heta$ 复制到下一步,即 $ heta_{t+1} = heta$。
提议分布的选择至关重要。常用的提议分布有:
独立 MH: $q( heta' | heta) = q( heta')$,提议分布不依赖于当前参数。
随机游走 MH: $q( heta' | heta) = q( heta' heta)$,提议分布是关于当前参数的偏移量。
预条件随机游走 MH: 例如,根据后验分布的二阶信息(Hessian 矩阵的逆)来调整提议分布,以提高接受率。

Gibbs 采样: 当我们能够方便地从目标分布的条件分布中采样时,Gibbs 采样是一个非常高效的选择。它通过依次对每个参数(或参数组)的条件后验分布进行采样,直到所有参数都被采样完。

详细说明:
假设我们有参数向量 $ heta = ( heta_1, heta_2, dots, heta_K)$。Gibbs 采样通过循环采样以下条件分布:
$ heta_1^{(t+1)} sim p( heta_1 | heta_2^{(t)}, dots, heta_K^{(t)}, D)$
$ heta_2^{(t+1)} sim p( heta_2 | heta_1^{(t+1)}, heta_3^{(t)}, dots, heta_K^{(t)}, D)$
...
$ heta_K^{(t+1)} sim p( heta_K | heta_1^{(t+1)}, dots, heta_{K1}^{(t+1)}, D)$
Gibbs 采样在许多贝叶斯模型中非常方便,因为很多后验条件分布都可以解析得到,并且可以从这些分布中高效地采样。例如,在贝叶斯线性回归中,参数的后验条件分布通常是高斯分布,可以直接采样。

Hamiltonian Monte Carlo (HMC) 和 NUTS (NoUTurn Sampler): HMC 是 MCMC 方法中一个更高级的分支,它利用了目标分布的梯度信息来指导采样过程,从而克服了随机游走式 MCMC 在高维和高度相关参数空间中效率低下的问题。NUTS 是 HMC 的一个自动化变种,它能够自适应地选择积分步长和步数,极大提高了采样效率和易用性。

详细说明:
HMC 将参数 $ heta$ 视为一个系统中的位置,并引入一个“动量”变量 $p$。然后,它模拟一个哈密顿动力学过程,该过程由目标分布的对数导数(梯度)所驱动。具体来说,假设一个“伪”能量函数 $E( heta) = log p( heta | D)$。哈密顿量是 $H( heta, p) = E( heta) + frac{1}{2} p^T M^{1} p$,其中 $M$ 是质量矩阵(通常为单位矩阵)。
然后,通过数值积分求解以下微分方程组:
$frac{d heta}{dt} = M^{1} p$
$frac{dp}{dt} = abla_ heta E( heta)$
在模拟一个固定的时间步长 $T$ 后,我们得到新的位置 $ heta^$ 和动量 $p^$。然后,我们按照 MetropolisHastings 的规则来接受或拒绝这个新的状态 $( heta^, p^)$。
HMC 的关键优势在于它能够利用梯度信息进行“长跳跃”,有效地穿越目标分布的低概率区域,尤其是在参数高度相关时。
NUTS 进一步改进了 HMC,它通过一个自适应的“翻转”过程来确定模拟的轨迹长度 $T$,确保在每一步采样中都能有效地探索参数空间,而无需用户手动调整参数。

2. 变分推断(Variational Inference, VI)

与 MCMC 试图从目标分布中“采样”不同,变分推断的目标是从一个更简单的、易于处理的“近似分布”族中,找到一个最接近目标分布的分布。它将积分问题转化为一个优化问题。

为什么 VI 受欢迎?

速度快: VI 通常比 MCMC 快得多,因为它不需要迭代采样,而是通过优化一个目标函数来获得近似分布。这使得它在处理大规模数据集和复杂模型时更具优势。
可扩展性好: VI 的计算成本通常与数据量呈线性关系,因此在处理大数据集时表现出色。
确定性: VI 产生的是一个确定的近似分布,而不是像 MCMC 那样产生一系列样本。

VI 的核心思想:

将难以计算的后验分布 $p( heta | D)$ 近似为一个具有可调参数 $q_phi( heta)$ 的已知分布族(例如高斯分布、混合高斯分布等)。我们通过最小化 $q_phi( heta)$ 与 $p( heta | D)$ 之间的散度(如 KL 散度)来找到最优的参数 $phi$。

最小化 KL 散度 $KL(q_phi( heta) || p( heta | D))$ 展开后,等价于最大化证据下界 (Evidence Lower Bound, ELBO):

$ELBO(phi) = mathbb{E}_{q_phi( heta)}[log p(D | heta)] KL(q_phi( heta) || p( heta))$

其中 $p( heta)$ 是先验分布,$KL(q_phi( heta) || p( heta))$ 是近似分布与先验的 KL 散度。

主要的 VI 算法:

均值场变分推断 (MeanField Variational Inference, MFVI): 这是 VI 的一个基本形式。它假设近似分布 $q_phi( heta)$ 可以分解为独立的因子,即 $q_phi( heta) = prod_{i=1}^K q_{phi_i}( heta_i)$。这意味着它假设模型的参数之间是独立的。

详细说明:
在均值场假设下,我们可以推导出每个因子 $q_{phi_i}( heta_i)$ 的更新规则。通过迭代更新每个因子,直到收敛,就可以得到近似分布。
MFVI 的优点是简单且计算效率高,但它的缺点也很明显:它强制假设了参数之间的独立性,这与很多贝叶斯模型中参数高度相关的现实情况相悖,因此近似效果可能不佳。

坐标上升变分推断 (Coordinate Ascent Variational Inference, CAVI): CAVI 是一种更通用的 VI 方法,它不需要均值场假设。它通过迭代地更新每个参数(或参数组)的变分分布,而保持其他参数的变分分布不变。

详细说明:
CAVI 的更新规则是:
$log q_phi^ ( heta_i) = mathbb{E}_{prod_{j eq i} q_{phi_j}( heta_j)} [log p(D, heta)]$
其中 $mathbb{E}_{prod_{j eq i} q_{phi_j}( heta_j)}$ 表示对所有除了 $ heta_i$ 之外的参数在它们当前的变分分布下的期望。
CAVI 算法通常需要能够计算期望和对数概率,并且可以从更新后的分布中采样。它比 MFVI 更灵活,可以捕获部分参数间的依赖关系,但计算成本也更高。

随机变分推断 (Stochastic Variational Inference, SVI): 当数据集很大时,计算 ELBO 的精确期望可能变得非常耗时。SVI 通过使用小批量 (minibatch) 数据来估计 ELBO 的梯度,从而实现蒙特卡罗式的梯度下降,来训练变分分布的参数。

详细说明:
假设我们有 $N$ 个数据点,我们从数据集中抽取一个大小为 $m$ 的小批量数据 $D_{batch}$。我们可以使用这个小批量来估计整个数据集的ELBO梯度。
对于一个参数为 $phi$ 的变分分布 $q_phi( heta)$,目标是最大化 ELBO:
$ELBO(phi) = mathbb{E}_{q_phi( heta)}[sum_{i=1}^N log p(y_i | x_i, heta)] KL(q_phi( heta) || p( heta))$
SVI 使用一个带有学习率 $ ho_t$ 的随机梯度下降来更新 $phi$:
$phi_{t+1} = phi_t + ho_t abla_phi ELBO(phi_t)$
这里的梯度是用小批量数据计算的估计值。例如,对于 $mathbb{E}_{q_phi( heta)}[log p(D | heta)]$ 这一项,可以使用重参数化技巧 (reparameterization trick) 来计算其关于 $phi$ 的梯度。
SVI 是目前处理大规模贝叶斯模型的首选方法之一,它结合了 VI 的速度优势和蒙特卡罗方法的灵活性。

3. 拉普拉斯近似 (Laplace Approximation)

拉普拉斯近似是一种相对简单且计算效率高的方法,它基于后验分布峰值处的泰勒展开来近似后验分布。

为什么拉普拉斯近似受欢迎?

简单易实现: 与 MCMC 和 VI 相比,拉普拉斯近似的实现要简单得多。
计算速度快: 它只需要计算后验分布的模态(最大后验估计值, MAP)以及二阶导数(Hessian 矩阵)。
理论基础清晰: 它基于高斯近似,有明确的理论依据。

拉普拉斯近似的核心思想:

假设后验分布在某个点 $ heta_{MAP}$ 附近是近似高斯分布的。$ heta_{MAP}$ 是最大化后验概率(MAP)的参数值。然后,我们计算后验概率的对数在 $ heta_{MAP}$ 处的泰勒展开。如果只保留到二阶项,我们可以得到一个高斯分布的近似。

详细说明:
令 $f( heta) = log p( heta | D) = log p(D | heta) + log p( heta)$。
我们首先找到 $f( heta)$ 的最大值点 $hat{ heta}$,即 $ abla_ heta f(hat{ heta}) = 0$。这可以通过一些优化算法(如牛顿法)来实现。
然后,我们计算 Hessian 矩阵 $H = abla_ heta^2 f(hat{ heta})$。
在 $hat{ heta}$ 附近,后验分布的对数可以近似为:
$log p( heta | D) approx f(hat{ heta}) + ( heta hat{ heta})^T abla_ heta f(hat{ heta}) + frac{1}{2} ( heta hat{ heta})^T H ( heta hat{ heta})$
由于 $ abla_ heta f(hat{ heta}) = 0$,我们得到:
$log p( heta | D) approx f(hat{ heta}) + frac{1}{2} ( heta hat{ heta})^T H ( heta hat{ heta})$
指数化后,我们得到后验分布的近似形式:
$p( heta | D) approx exp(f(hat{ heta})) expleft(frac{1}{2} ( heta hat{ heta})^T H ( heta hat{ heta}) ight)$
这是一个均值为 $hat{ heta}$,协方差矩阵为 $(H)^{1}$ 的高斯分布。
拉普拉斯近似的缺点在于它假设后验分布的模态是唯一的,并且在高维或非对称后验分布的情况下,其近似效果可能不佳。

4. 证据下界 (Evidence Lower Bound, ELBO) 的直接优化(与变分推断相关但更广泛)

在某些情况下,即使不明确定义一个变分分布族,我们也可以通过直接优化 ELBO 的形式来近似难以处理的积分。这通常涉及将模型分解,或者利用一些数学技巧来估计 ELBO 的各个组成部分。

详细说明:
ELBO 实际上是模型证据(或称边际似然)$log p(D)$ 的一个下界:$log p(D) ge ELBO(phi)$。最大化 ELBO 等价于最小化 $KL(q_phi( heta) || p( heta | D))$。
许多机器学习模型的推断问题都可以被表述为最大化 ELBO。例如,在某些深度生成模型中,虽然直接计算边缘似然是困难的,但可以构建一个变分分布(通常是标准高斯分布)并最大化 ELBO 来训练模型。
这与变分推断的思路是一致的,但有时关注点在于如何设计一个“方便的”变分分布,使得 ELBO 的估计和优化成为可能。

如何选择算法?

模型复杂度:
对于参数较少、结构清晰的模型,拉普拉斯近似或 CAVI 可能就足够了。
对于更复杂的模型,尤其是参数之间存在强烈的依赖关系时,MCMC(如 HMC 或 NUTS)通常是更可靠的选择。
对于大规模数据,SVI 通常是首选。

计算资源和时间限制:
拉普拉斯近似最快。
VI(特别是 SVI)通常比 MCMC 快得多。
MCMC 方法可能需要数小时甚至数天才能获得足够的样本,这取决于模型的复杂度和样本量。

精度要求:
如果需要非常精确的后验分布估计和充分的后验探索,MCMC 是最强大的工具。
VI 的精度取决于所选择的变分分布族及其表达能力。
拉普拉斯近似的精度相对较低,尤其是在后验分布远离高斯时。

易于实现:
拉普拉斯近似和基础的 MH/Gibbs 采样相对容易实现。
HMC/NUTS 和 SVI 的实现需要更多的专业知识和更精细的调优。

总结:

在机器学习和贝叶斯统计中,处理难以处理的积分是一项核心挑战。MCMC 方法(尤其是 HMC 和 NUTS)因其强大的理论保证和在复杂高维分布上的灵活性而备受青睐。变分推断(VI),尤其是其随机变分推断(SVI)变体,则以其速度和可扩展性在处理大规模数据时脱颖而出,它将积分问题转化为优化问题。拉普拉斯近似作为一种简单高效的解析近似方法,在后验分布近似高斯且计算资源有限时是一个不错的选择。实际应用中,选择哪种算法通常是一个权衡过程,需要根据具体问题的特点、可用的资源以及对结果精度和速度的要求来决定。很多时候,也会将这些方法结合使用,例如使用拉普拉斯近似来初始化 MCMC 链,或者使用 VI 的结果作为 MCMC 的起点。

网友意见

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假设有先验和似然,现在要求,但分母那个积分并不能直接求出,这是我们要解决的问题。

Gaussian quadrature

是基于格点一维积分的数值算法。这种一维数值积分算法很难直接推广到高维积分,因为所需格点数量随维数指数增长。也有一些确定性的基于稀疏格点的数值算法,不过限制比较多,在这个问题上大家不关心这类数值算法。

Laplace (Gaussian) approximation 的想法是由于(是的MAP,),因此可以通过高斯积分算出。好处是简单,坏处是显然不能什么分布都拿正态分布去近似。实际中多作为trick使用。例子请在

Machine Learning: A Probabilistic Perspective

中搜索 Gaussian approximation,其中包括了

Bayesian information criterion

的推导。

Variational inference

的目标是求一个使得最小,最终表现形式为 mean field approximation。由于涉及到优化,所以一个方向是关于把大规模优化的东西用到variational inference上。例子:

Stochastic Variational Inference

Markov chain Monte Carlo

就是直接从采样了。过程是

1. 假设当前位置为,现从某个容易采样的proposal 分布中采一个;

2. 以概率(请翻书)接受或拒绝。如果接受了,,否则。如此一来这个的Markov链的稳态分布恰好就是。

实际使用中可能会有各种问题,比如说很难从分布的一个 mode 跳到另一个 mode 啦,于是有人提出

The No-U-Turn Sampler: Adaptively Setting Path Lengths in Hamiltonian Monte Carlo

(大致就是下个样本走得越远越好,no U-turn),并在其上做了个

Stan

,实现了全自动基于 NUTS 的 full Bayesian inference(输入生成模型的描述及数据,输出模型参数的采样样本,带某种程度的可视化)。

另外也有关于并行化的一些研究,可以自己搜一下。

(小知识:其他做 Bayesian inference 的包还有

BayesPy

PyMC

等等)

MCMC 中的接受概率是跟似然函数有关的,假如连这个也很难具体算出来,那么可以考虑

approximate Bayesian computation

,做所谓的 likelihood-free inference:在采到后,用它来生成数据,如果就接受,否则拒绝,这里是某个统计量,是某个距离。

另外可以参考

Handbook of Markov Chain Monte Carlo

,上面有 MCMC 的各种推广及改进。

MCEM 就是把 MCMC 用到EM中的E步。相应地有 variational EM。Machine Learning: A Probabilistic Perspective 11.4.9 有两者及其他一些EM变种的简介。

关于 variational inference 跟 sampling 算法的比较,这里原文引用 Machine Learning: A Probabilistic Perspective 第24章的导语:

It is worth briefly comparing MCMC to variational inference (Chapter 21). The advantages of variational inference are (1) for small to medium problems, it is usually faster; (2) it is deterministic; (3) is it easy to determine when to stop; (4) it often provides a lower bound on the log likelihood. The advantages of sampling are: (1) it is often easier to implement; (2) it is applicable to a broader range of models, such as models whose size or structure changes depending on the values of certain variables (e.g., as happens in matching problems), or models without nice conjugate priors; (3) sampling can be faster than variational methods when applied to really huge models or datasets.

(这里没有提到判断 MCMC 是否收敛并不是显然的,这算是一个缺点。具体参见

Handbook of Markov Chain Monte Carlo

第 6 章)

另外,

Markov Chain Monte Carlo and Variational Inference: Bridging the Gap

也许可以看一下。

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