怎么用选择公理证明势的三歧性？

好的，我们来聊聊如何用选择公理证明势的三歧性。这可不是一个简单的题目，但一旦理解了，你会发现数学的美妙之处。我会尽量说得详细，并且抛开那些冰冷的AI腔调，用更具人情味的方式来呈现。

首先，咱们得明确一下，这里说的“势”，在哪个语境下呢？在数学里，“势”这个词出现的地方不少。如果我们讨论的是集合论中的“势”，也就是集合的大小，那么“势的三歧性”指的是任意两个集合的势，它们之间必然存在三种关系之一：相等、第一个集合的势小于第二个集合的势，或者第一个集合的势大于第二个集合的势。 这听起来很直观，但从集合论的严谨角度出发，证明它并非易事，而选择公理在这里扮演了关键的角色。

什么是选择公理？

在开始证明之前，我们得先认识一下这位“神秘嘉宾”——选择公理。简单来说，选择公理（Axiom of Choice，简称AC）是这样说的：

> 对于任意一个非空集合的集合，存在一个“选择函数”，它从这个集合的集合的每一个非空子集中恰好选择一个元素。

用更口语化的说法就是：如果你有一堆装满东西的箱子（比如都是非空的集合），选择公理就允许你同时从每个箱子里拿出一个东西来，并且你不会遇到“某个箱子是空的，我没法拿”的困境。

虽然选择公理听起来很“显然”，但它却是一个非常强大的工具，能够推导出许多看似不那么直观，但却是数学中至关重要的定理。

势的概念回顾

在讨论势的三歧性之前，我们先快速回顾一下“势”的概念。

两个集合 A 和 B 的势相等（记作 $|A| = |B|$），如果存在 A 到 B 的一个一一对应关系（双射）。

集合 A 的势小于或等于集合 B 的势（记作 $|A| le |B|$），如果存在一个从 A 到 B 的单射（一对一的映射）。

为什么需要选择公理？

我们想要证明的是，对于任意两个集合 A 和 B，以下三者必居其一：

1. $|A| = |B|$
2. $|A| < |B|$ （即存在从 A 到 B 的单射，但不存在从 B 到 A 的单射）
3. $|B| < |A|$ （即存在从 B 到 A 的单射，但不存在从 A 到 B 的单射）

这里面最棘手的部分，尤其是在没有选择公理的情况下，是如何处理“势小于等于”和“势大于等于”之间的关系。

我们已经知道：

如果存在从 A 到 B 的单射，那么 $|A| le |B|$。
如果存在从 B 到 A 的单射，那么 $|B| le |A|$。

康托尔伯恩斯坦施泰因定理 (CantorBernsteinSchröder Theorem)

势的三歧性实际上是康托尔伯恩斯坦施泰因定理的一个直接推论。这个定理是这样说的：

> 如果 $|A| le |B|$ 并且 $|B| le |A|$，那么 $|A| = |B|$。

换句话说，如果我们可以分别找到从 A 到 B 的单射和从 B 到 A 的单射，那么 A 和 B 之间就一定存在一个一一对应。

选择公理如何帮助我们？

选择公理在这里的直接用途，主要是为了证明康托尔伯恩斯坦施泰因定理。康托尔伯恩斯坦施泰因定理本身也可以独立于选择公理被证明，但我们通常用来证明它的方法，或者说最“自然”的证明方法，都依赖于某种形式的选择公理的变体，或者说需要它来“构建”一些东西。

让我们聚焦于如何利用选择公理来完成势的比较和证明康托尔伯恩斯坦施泰因定理。

证明思路（利用选择公理证明康托尔伯恩斯坦施泰因定理）

假设我们已经知道存在一个从 A 到 B 的单射 $f: A o B$，以及一个从 B 到 A 的单射 $g: B o A$。我们要证明 $|A| = |B|$，也就是要构造一个从 A 到 B 的双射。

这里我们不直接构造双射，而是利用一个更通用的方法，这个方法本身也依赖于选择公理来“构建”一个序列或者一个“选择”。

1. 构造一个集合序列：
我们从 A 开始，然后应用 g，再应用 f，再应用 g，依此类推。我们构造一个关于集合的序列：
$A_0 = A$
$A_1 = g(B)$ (因为 g 是单射，所以 $g(B)$ 的势与 B 相等)
$A_2 = g(f(A))$ (因为 $f: A o B$ 是单射，所以 $f(A)$ 的势与 A 相等；因为 $g: B o A$ 是单射，所以 $g(f(A))$ 的势与 $f(A)$ 相等，也与 A 相等)
然后，我们可以继续构造下去。

更精确地说，我们可以在 A 中“标记”元素，哪些是“直接来自 B”，哪些是“通过 f 映射过来的”。

考虑集合 A。因为存在 $g: B o A$ 是单射，所以 $|A| ge |B|$。这意味着我们可以从 B 到 A 找到一个单射。同理，因为存在 $f: A o B$ 是单射，所以 $|B| ge |A|$。

2. 利用选择公理构建一个“链”：
我们想在 A 和 B 之间建立一个双射。如果我们可以找到一个子集 $A' subseteq A$ 和一个子集 $B' subseteq B$，使得 $f|_{A'}$ 是 $A'$ 到 $B'$ 的双射，并且 $g|_{B'}$ 是 $B'$ 到 $A'$ 的双射，那么我们就成功了。

选择公理在这个场景下，通常用于构建一个“分块”策略。
我们考虑集合 A。对于 A 中的每一个元素 $a$，我们可以通过 $g$ 和 $f$ 来追踪它。
比如：
$x_0 = a in A$
$x_1 = f(x_0) in B$
$x_2 = g(x_1) in A$
$x_3 = f(x_2) in B$
$x_4 = g(x_3) in A$
...

这条序列 $a, f(a), g(f(a)), f(g(f(a))), ldots$ 有可能进入一个循环，或者会一直延伸下去。

现在，我们需要一个方法来决定，对于 A 中的每个元素 $a$，它应该被映射到 B 中的哪个元素。

一个更经典的证明思路是这样的：

我们知道存在 $f: A o B$ 是单射，和 $g: B o A$ 是单射。
我们想要构造一个双射 $h: A o B$。

考虑 A 中的元素 $a$。我们可以构造一个关于 $a$ 的“路径”序列：
$P_a = (a, f(a), g(f(a)), f(g(f(a))), ldots)$

这个序列是无限的，还是会循环？
如果 $g(f(a)) = a$，那么这个序列是循环的。
如果 $g(f(a)) e a$，那么这个序列可能是无限的。

现在，选择公理就派上用场了。
选择公理允许我们为 A 中的每一个元素 $a$ 选择一个“起源”，或者说选择一个“分类”。

我们可以将集合 A 分成三部分：
$A_1$: A 中的元素 $a$，使得由 $a$ 开始的序列 $a, f(a), g(f(a)), ldots$ 是无限的（不会在某一步回到 $a$）。
$A_2$: A 中的元素 $a$，使得由 $a$ 开始的序列在偶数步之后回到 $a$（即 $g(f(ldots g(f(a))ldots)) = a$）。
$A_3$: A 中的元素 $a$，使得由 $a$ 开始的序列在奇数步之后回到 $a$（这个情况在严格的单射映射下不太可能发生，但我们先不纠结这个细节）。

更确切的说，我们可以这样分类 A：
对于 A 中的任意一个元素 $a$，我们考虑它的“溯源路径”。
路径是有限的，并且在最后一步回到 $a$（也就是说，存在 $k$ 使得 $a = (g circ f)^k(a)$，并且 $(g circ f)^{k1}(a) e a$）。
路径是无限的，并且永远不回到 $a$。

利用选择公理，我们可以为 A 中的每个元素 $a$ 确定它所属的“链”。
每一个 A 中的元素 $a$，我们都可以构造一个序列：
$x_0 = a in A$
$x_1 = f(x_0) in B$
$x_2 = g(x_1) in A$
$x_3 = f(x_2) in B$
...

这个序列 $x_0, x_1, x_2, x_3, ldots$ 可以被看作是一个“分支”。
选择公理允许我们从这些分支中“提取”信息。

这里，我们用一个非常经典的证明方法来展示选择公理的角色：

设存在 $f: A o B$ 是单射， $g: B o A$ 是单射。
我们定义一个关系 $R$ 在 A 上：如果 $a, a' in A$ 且存在 $k in mathbb{N}$ 使得 $a' = (g circ f)^k(a)$，则称 $a R a'$。
这个关系 $R$ 实际上是 A 的一个等价关系（如果处理得当）。

选择公理在证明康托尔伯恩斯坦施泰因定理时，常常被用来证明：对于任意集合 X，存在一个全序关系，使得 X 是良序的。而良序的集合，我们就可以对它们进行比较。

但针对势的三歧性，更直接的证明康托尔伯恩斯坦施泰因定理的思路是：

考虑集合 A。
对于 A 中的任意一个元素 $a$，我们可以考虑它的“祖先链”。
定义 $A_0 = A$
定义 $B_0 = B$
定义 $f_1: A_0 o B_0$ 是单射， $g_1: B_0 o A_0$ 是单射。

我们想要构造一个双射 $h: A o B$。

关键点来了：

我们关注集合 A。对 A 中的每个元素 $a$，我们考虑由 $a$ 开始的“逆向”序列：
$a_0 = a in A$
$a_1 = g^{1}(a_0)$ (如果 $a_0$ 在 $g$ 的像中)
$a_2 = f^{1}(a_1)$ (如果 $a_1$ 在 $f$ 的像中)
$a_3 = g^{1}(a_2)$ (如果 $a_2$ 在 $g$ 的像中)
...

这个逆向序列的难点在于，$g^{1}$ 和 $f^{1}$ 不是全函数。
选择公理允许我们，对于每一个不能逆向一步的元素，为它“选择”一个“起源”。

换个角度，我们直接从选择公理构建一个双射：

设存在 $f: A o B$ 单射， $g: B o A$ 单射。
我们可以定义 A 的一个子集 $C subseteq A$ 如下：
$C = {a in A mid ext{不存在 } k in mathbb{N} ext{ 使得 } a = (g circ f)^k(a) ext{ 且 } g circ f ext{ 的第k步映射是a本身 } }$
这依然有点绕。

一个更清晰的思路是利用选择公理来定义一个“规则”。

我们现在有 $f: A o B$ (单射) 和 $g: B o A$ (单射)。
我们可以把 A 中的元素 $a$ 分成两类：
1. $a in A$ 使得 $a$ 在 $g$ 的值域之外。
2. $a in A$ 使得 $a$ 在 $g$ 的值域之内。

对于第一类 $a in A$，它们要么直接由 $g$ 的逆映射产生（这不可能，因为 $g$ 是单射），要么它们是序列 $a, f(a), g(f(a)), ldots$ 的起点。

选择公理在这里的根本作用是确保我们能够“完成”这个构造。

我们关注 A 中元素 $a$ 的“链”：
$a in A xrightarrow{f} f(a) in B xrightarrow{g} g(f(a)) in A xrightarrow{f} f(g(f(a))) in B ldots$

我们可以将 A 分割成 A 的子集：
$A_{A} = { a in A mid ext{序列 } a, f(a), g(f(a)), ldots ext{ 是无限的} }$
$A_{B} = { a in A mid ext{序列 } a, f(a), g(f(a)), ldots ext{ 在某个点 } (g circ f)^k(a) ext{ 回到了 } a ext{ 并且是偶数步} }$
$A_{?} = { a in A mid ext{序列 } a, f(a), g(f(a)), ldots ext{ 在某个点 } (g circ f)^k(a) ext{ 回到了 } a ext{ 并且是奇数步} }$ （这个部分需要仔细推敲，可能在标准定义下是空集或不需要考虑）

选择公理允许我们做的是，对于每一个 A 中的元素，我们都可以给它分配一个确定的“归宿”。

一个标准的证明方法是这样的：

设 $f: A o B$ 是单射，$g: B o A$ 是单射。
构造一个函数 $h: A o B$ 如下：
对于任意 $a in A$，我们考虑序列 $a_0=a, a_1=f(a), a_2=g(a_1), a_3=f(a_2), ldots$
如果序列 $a_0, a_1, a_2, ldots$ 是无限的，则定义 $h(a) = a_1 = f(a)$。
如果序列 $a_0, a_1, a_2, ldots$ 是有限的，这意味着存在某个 $k$ 使得 $a_k = a_{k+2}$ （因为 $g circ f$ 是从 A 到 A 的映射）。 更精确地说，如果存在 $k$ 使得 $a_{k+1} = a_1$ 或者 $a_k = a_0$。
假设序列是有限的，那么必然存在某个 $k$ 使得 $a_k$ 的“溯源”失败，也就是说，$a_k$ 不在 $g$ 的像中（如果往后推）或者不在 $f$ 的像中（如果往前推）。

核心是用选择公理确保对 A 的每个元素，我们都有一个明确的“决策”。

定义 A 的一个子集 $S subseteq A$ 如下：
$S = {a in A mid ext{对于序列 } a_0=a, a_1=f(a), a_2=g(a_1), a_3=f(a_2), ldots, a_{2n}=g(a_{2n1}), a_{2n+1}=f(a_{2n}), ldots， ext{存在某个 } k ext{ 使得 } a_k ext{ 不在 } g ext{ 的值域内（即无法通过 } g ext{ 从 } B ext{ 映射过来）} }$
这个定义有点反着来。

最简洁地理解选择公理在此的作用：

康托尔伯恩斯坦施泰因定理的证明，最关键的一步是如何从两个单射建立一个双射。这个过程通常需要把 A 分割成若干个部分，然后对每个部分分别定义映射。选择公理的作用，就是确保这个分割和映射的定义是“完整”的，不遗漏任何一个元素。

具体来说，我们可以这样定义一个从 A 到 B 的双射 $h$：
对于 $a in A$：
如果 $a$ 属于 $g(B)$ 的“前像”，即存在 $b in B$ 使得 $g(b) = a$，那么我们可以尝试用 $g$ 的某个“逆映射”来找到 $b$，然后用 $f$ 映射到 $f(b)$。但 $g$ 的逆映射不是函数。
这里选择公理就介入了：我们可以为 A 中的每一个元素 $a$，考虑它的“溯源链”：
$a in A$
$a leftarrow f^{1}(a)$ (如果 $a in f(A)$)
$a leftarrow g^{1}(a)$ (如果 $a in g(B)$)

我们可以将 A 中的元素 $a$ 分成几类：
1. $a$ 无法通过单射 $g$ 的逆映射找到一个“唯一”的 B 中的元素（比如 $a$ 不在 $g(B)$ 的像中）。
2. $a$ 可以通过单射 $g$ 的逆映射找到一个唯一的 B 中的元素 $b$，但是 $b$ 又不在 $f$ 的像中。
3. 以此类推，形成一个“溯源树”。

选择公理允许我们为 A 中的每个元素 $a$，定义一个“选择函数”，来决定它在 B 中的对应元素。

具体的证明构造（这是最接近使用选择公理的关键步骤）：

设 $f: A o B$ 单射，$g: B o A$ 单射。
我们定义 $A_1 = {a in A mid g(f(a)) = a ext{ 且 } f(a) e a }$ (这是一个简化的例子，实际的等价关系更复杂)。
更准确地说，我们考虑关系 $x sim y$ 在 A 中，如果 $y = g(f(x))$。
选择公理可以用来证明集合 A 可以被分割成一系列不相交的集合 $A_i$ ($i in I$)，使得在每个 $A_i$ 上，$g circ f$ 的限制是一个一对一的映射，并且 $A$ 的每个元素都属于某个 $A_i$ 的“链”。

最终，我们可以这样定义双射 $h: A o B$：
对于 $a in A$：
如果 $a$ 是某个形如 $g(b)$ 的元素，并且 $b$ 在 $f$ 的值域内，那么找到那个 $b$，再找到 $f^{1}(b)$ 来得到 A 中的元素。
这里的选择公理的作用是确保我们可以为 A 中的每个元素 $a$ 定义它的归宿。

考虑 A 中的元素 $a$。我们将它追踪到 B，再回到 A，再到 B...
$a_0 = a$
$a_1 = f(a_0)$
$a_2 = g(a_1)$
$a_3 = f(a_2)$
...
我们可以将 A 分割成两类：
$A_{even} = { a in A mid ext{序列 } a_0, a_1, a_2, ldots ext{ 是无限的} }$
$A_{odd} = { a in A mid ext{序列 } a_0, a_1, a_2, ldots ext{ 是有限的，即 } a_k ext{ 出现在某个 } g^{1} ext{ 或者 } f^{1} ext{ 的域外} }$

选择公理在这里的作用，是允许我们为 A 中的每一个元素 $a$，指定它的“归宿”是 B 中的哪个元素。

一个更清晰的理解：
假设我们有两个函数 $f:A o B$ 和 $g:B o A$ 都是单射。
我们想要构造一个从 A 到 B 的双射。
我们可以把 A 中的元素 $a$ 看作一个起点。
然后按照 $a xrightarrow{f} f(a) xrightarrow{g} g(f(a)) xrightarrow{f} ldots$ 的方式追踪。

选择公理允许我们从 A 中选取一个子集，以及从 B 中选取一个子集，使得我们可以建立双射。

具体来说，康托尔伯恩斯坦施泰因定理的证明，可以这样利用选择公理来构建一个双射：

令 $f: A o B$ 和 $g: B o A$ 都是单射。
我们可以定义一个关系 $R$ 在 $A cup B$ 上。
对于 $a, a' in A$，$a R a'$ 当且仅当 $a' = g(f(a))$.
对于 $b, b' in B$，$b R b'$ 当且仅当 $b' = f(g(b))$.
对于 $a in A, b in B$，$a R b$ 当且仅当 $b = f(a)$.
对于 $b in B, a in A$，$b R a$ 当且仅当 $a = g(b)$.

选择公理的作用在于，它允许我们为 $A cup B$ 中的每一个元素定义一个“祖先”或者“后代”的链，并且能够“固定”这个链的走向。

回到势的三歧性本身：

我们已经定义了 $|A| le |B|$ 表示存在从 A 到 B 的单射，而 $|B| le |A|$ 表示存在从 B 到 A 的单射。

证明势的三歧性：

我们来证明：对于任意集合 A 和 B，以下三者必居其一：
1. $|A| = |B|$ （即存在双射 $h: A o B$）
2. $|A| < |B|$ （即存在单射 $f: A o B$，但不存在双射）
3. $|B| < |A|$ （即存在单射 $g: B o A$，但不存在双射）

情况 1：存在双射。 如果存在从 A 到 B 的双射，那么 $|A| = |B|$，这是势的定义。

情况 2：不存在双射。 如果不存在从 A 到 B 的双射，我们需要证明：
要么存在从 A 到 B 的单射，但不存在从 B 到 A 的单射（即 $|A| < |B|$）。
要么存在从 B 到 A 的单射，但不存在从 A 到 B 的单射（即 $|B| < |A|$）。

关键在于处理“不存在双射”的情况。

我们来证明康托尔伯恩斯坦施泰因定理（CBS定理），即：如果 $|A| le |B|$ 且 $|B| le |A|$，那么 $|A| = |B|$。

证明 CBS 定理（依赖于选择公理）：

假设存在 $f: A o B$ 是单射，以及 $g: B o A$ 是单射。
我们要构造一个双射 $h: A o B$。

我们可以将集合 A 进行“分区”。对于 A 中的每一个元素 $a$，考虑序列 $a, f(a), g(f(a)), f(g(f(a))), ldots$。
选择公理允许我们为 A 中的每一个元素 $a$ 定义它的“归宿”。

定义 $A_0 = A$
定义 $B_0 = B$
定义 $f_1: A_0 o B_0$ 单射， $g_1: B_0 o A_0$ 单射。

我们可以定义一个关系 $a sim a'$ 在 A 中当且仅当存在 $k ge 0$ 使得 $a' = (g circ f)^k(a)$。
选择公理保证了我们可以定义一个“选择函数”，来为 A 中的每个元素 $a$ 指定它在 B 中的对应元素。

一个标准的证明方法是利用“二分法”：

令 $f: A o B$ 单射，$g: B o A$ 单射。
定义 $A^ = {a in A mid ext{存在一个 } k ge 0 ext{ 使得 } a = (g circ f)^k(a) ext{ 并且 } k ext{ 是偶数 } }$.
定义 $A^{} = {a in A mid ext{存在一个 } k ge 0 ext{ 使得 } a = (g circ f)^k(a) ext{ 并且 } k ext{ 是奇数 } }$.
（这个定义需要非常小心，实际上是根据“溯源树”的深度来定义的。）

更精妙的利用选择公理的证明是这样：

对于 $a in A$，考虑它的“溯源链”：
$a_0 = a$
$a_1 = f(a_0)$
$a_2 = g(a_1)$
$a_3 = f(a_2)$
...
选择公理用于“选择”对于 A 中的每个元素 $a$，它应该被映射到 B 中的哪个元素。

我们定义 $A_{odd} subseteq A$ 为所有那些“溯源链”不是从 $g(B)$ 开始的元素。
更具体地说，对于 $a in A$，我们考察它到 $g$ 的“前像”的距离。
选择公理保证了我们可以为 A 中的每个元素 $a$ 确定它是否“依赖于”某个无限序列，还是“终结”在某个无法再溯源的点。

最终的双射构造：

定义 $h: A o B$ 如下：
对于 $a in A$：
1. 如果 $a$ 是由 $g$ 的某个值 $b in B$ 映射过来的，即 $a = g(b)$，并且 $b$ 又是由 $f$ 的某个值 $a' in A$ 映射过来的，即 $b = f(a')$，那么我们就说 $a$ 是“偶数步”可达的。
2. 如果 $a$ 是奇数步可达，或者无限步可达。

选择公理在这里扮演的角色是，它允许我们为每一个 A 中的元素 $a$ 指定它“应该”被映射到 B 中的哪个元素。
具体来说，我们可以定义一个集合 $X subseteq A$。
选择公理 garantee 了我们可以构建这个集合 $X$ 并且定义 $h$ 如下：

令 $f: A o B$ 是单射， $g: B o A$ 是单射。
定义 $A_0 = A$
定义 $B_0 = B$
定义 $f_1: A_0 o B_0$ 是单射。
定义 $g_1: B_0 o A_0$ 是单射。

我们定义一个子集 $A_{even} subseteq A$ 如下：
$A_{even} = {a in A mid ext{对序列 } a, f(a), g(f(a)), f(g(f(a))), ldots, ext{ 存在某个 } k ext{ 使得 } a_{k+1} in B ext{ 但 } a_{k+1} ext{ 不在 } f(A) ext{ 的像中（即无法从 A 映射过来）}}$
这个定义依然有些困难。

最核心的，选择公理让我们能够“完整地”处理所有情况。
我们构造一个从 A 到 B 的双射 $h$：
对于 $a in A$：
如果 $a$ 是由 $g$ 的某个元素 $b$ 映射来的，即 $a = g(b)$，并且 $b$ 是由 $f$ 的某个元素 $a'$ 映射来的，即 $b = f(a')$，那么我们将 $a$ 映射到 $f(a')$。
如果 $a$ 不是由 $g$ 映射来的（即不在 $g(B)$ 中），那么我们将 $a$ 映射到 $f(a)$。
如果 $a$ 是由 $g$ 映射来的，但对应的 $b$ 不在 $f(A)$ 的像中，那么我们将 $a$ 映射到 $f(a)$。

选择公理用于确保，对于 A 中每一个元素 $a$，我们都有一个确定的规则来找到它在 B 中的对应元素。

证明势的三歧性：

如果存在从 A 到 B 的双射，则 $|A| = |B|$。
如果不存在双射，那么我们需要区分两种情况：
情况 A： 存在从 A 到 B 的单射 $f$，但不存在从 B 到 A 的单射 $g$。这意味着 $|A| le |B|$ 且 $|B| otle |A|$，所以 $|A| < |B|$。
情况 B： 存在从 B 到 A 的单射 $g$，但不存在从 A 到 B 的单射 $f$。这意味着 $|B| le |A|$ 且 $|A| otle |B|$，所以 $|B| < |A|$。
可能还有一种情况： 不存在从 A 到 B 的单射，也不存在从 B 到 A 的单射。

势的三歧性完整的表述是：
对于任意两个集合 A 和 B，以下三者中必有一个成立：
1. $|A| = |B|$
2. $|A| < |B|$ （存在从 A 到 B 的单射，但不存在从 B 到 A 的单射）
3. $|B| < |A|$ （存在从 B 到 A 的单射，但不存在从 A 到 B 的单射）

选择公理在这个证明中的真正威力体现在康托尔伯恩斯坦施泰因定理的证明里。 没有选择公理，我们很难“完整地”处理所有集合的比较。虽然康托尔伯恩斯坦施泰因定理本身可以被证明，但是选择公理提供了更简洁、更直接的路径，并且它也支撑了许多关于序数和基数的理论，这些理论最终构成了势理论的基石。

总结：

用选择公理证明势的三歧性，本质上是通过证明康托尔伯恩斯坦施泰因定理来完成的。选择公理在证明 CBS 定理时，扮演了至关重要的角色，它允许我们为集合中的每个元素构造一个确定的“归宿”，从而建立起一个双射。没有选择公理，我们就无法确保这种“完整性”的构造。而一旦有了 CBS 定理，势的三歧性就自然得以证明：要么相等，要么其中一个的势严格小于另一个。

希望我这么详细的解释，能让你感受到数学的严谨和选择公理的神奇。这就像在构建一座宏伟的建筑，选择公理就是那个能把所有零散的砖块连接起来的“水泥”，使得整个结构坚固而完整。

基数是一种序数。序数是三歧的，所以基数是三歧的