复合映射的符号f°g是怎么来的？
复合映射的符号 f°g：由来与解析
在数学的广袤天地里，映射（或称函数）扮演着至关重要的角色，它们描述了集合之间元素间的对应关系。当我们将一个集合的元素通过一个映射送到另一个集合，再将这个新集合的元素通过另一个映射送到第三个集合时，我们就创建了一个复合映射。而用于表示这种复合关系的符号——f°g，其背后有着清晰的逻辑和深刻的含义。
要理解 f°g 的由来，我们不妨从最直观的层面入手，思考“复合”这个词本身所蕴含的意义。复合，意味着“组合”或“叠加”。在映射的世界里，这意味着我们将一个映射的作用“叠加上”另一个映射的作用。
设想我们有两个映射：
映射 g： 它将集合 A 中的元素映射到集合 B 中。我们可以用 g: A → B 来表示。也就是说，对于 A 中的任意一个元素 x，g(x) 就会得到集合 B 中的一个唯一确定的元素。
映射 f： 它将集合 B 中的元素映射到集合 C 中。我们可以用 f: B → C 来表示。同样地，对于 B 中的任意一个元素 y，f(y) 就会得到集合 C 中的一个唯一确定的元素。
现在，我们想要创建一个新的映射，它直接将集合 A 中的元素映射到集合 C 中。这个新映射应该怎么做呢？它的工作方式是：先对 A 中的元素 x 应用映射 g，得到 B 中的一个元素 g(x)；然后，再对这个结果 g(x) 应用映射 f，得到 C 中的一个元素 f(g(x))。
这个直接从 A 到 C 的映射，我们称之为 f 和 g 的复合映射。
那么，如何简洁而清晰地表示这个“先用 g，再用 f”的过程呢？数学家们需要一个符号来承载这个意思。如果我们简单地写成 fg，可能会让人误解为两个映射的乘积，或者某种新的运算，而无法准确表达“先g后f”的顺序。
于是，一个富有表现力的符号应运而生：f°g。
这个符号 f°g 的设计，巧妙地借鉴了“复合”的直观感受。其中的 “°” 符号，通常被理解为一种“连接”或“贯通”的动作。它就像一个桥梁，将映射 g 的输出端连接到映射 f 的输入端，从而形成了一条从 A 到 C 的“通道”。
更具体地解析这个符号：
f 在左边，g 在右边。这传递了一个重要的信息：复合的顺序是先执行右边的映射（g），再执行左边的映射（f）。
“°” 这个圆圈符号，本身也带有“围绕”、“结合”的意象，非常契合复合的概念。
因此，当我们看到 f°g 时，我们的脑海中应该立刻浮现出这样的画面：
1. 取一个元素 x，属于集合 A。
2. 应用映射 g：得到 g(x)，这个元素属于集合 B。
3. 应用映射 f：将 g(x) 作为输入，得到 f(g(x))，这个元素属于集合 C。
所以，复合映射 f°g 可以被定义为：
(f°g)(x) = f(g(x))
这个定义清晰地表明了复合的含义：将 x 先通过 g，再将 g 的结果通过 f。
为何不写成 g°f 呢？
这是一个非常关键的问题，也正是符号 f°g 能够准确传达信息的原因。如果写成 g°f，那么根据我们之前建立的逻辑，其含义将是：
1. 取一个元素 x，属于集合 A。
2. 应用映射 f：得到 f(x)，这个元素属于集合 D（假设 f 的定义域是 A，但值域不是 B）。
3. 应用映射 g：将 f(x) 作为输入，得到 g(f(x))。
从这个例子可以看出，如果 f 和 g 的定义域和值域不兼容，g°f 可能根本无法定义，或者会得到一个完全不同的结果。
总结来说，复合映射符号 f°g 的由来，是数学家们为了精确、简洁地描述“将一个映射的作用叠加在另一个映射作用之上”这一概念而创造出来的。符号的顺序“f°g”明确地指示了运算的执行顺序：先执行右侧的映射（g），再执行左侧的映射（f）。这就像在进行一系列操作时，我们总是从最里面的括号或最先进行的步骤开始一样。
这种约定俗成的符号体系，使得数学交流高效而严谨。f°g 不仅仅是一个符号，它是一个浓缩了逻辑、顺序和数学思想的精炼表达。理解了这个符号的由来和含义，我们也就掌握了理解和运用复合映射的关键。
在数学的广袤天地里，映射（或称函数）扮演着至关重要的角色，它们描述了集合之间元素间的对应关系。当我们将一个集合的元素通过一个映射送到另一个集合，再将这个新集合的元素通过另一个映射送到第三个集合时，我们就创建了一个复合映射。而用于表示这种复合关系的符号——f°g，其背后有着清晰的逻辑和深刻的含义。
要理解 f°g 的由来，我们不妨从最直观的层面入手，思考“复合”这个词本身所蕴含的意义。复合，意味着“组合”或“叠加”。在映射的世界里，这意味着我们将一个映射的作用“叠加上”另一个映射的作用。
设想我们有两个映射：
映射 g： 它将集合 A 中的元素映射到集合 B 中。我们可以用 g: A → B 来表示。也就是说，对于 A 中的任意一个元素 x，g(x) 就会得到集合 B 中的一个唯一确定的元素。
映射 f： 它将集合 B 中的元素映射到集合 C 中。我们可以用 f: B → C 来表示。同样地，对于 B 中的任意一个元素 y，f(y) 就会得到集合 C 中的一个唯一确定的元素。
现在，我们想要创建一个新的映射，它直接将集合 A 中的元素映射到集合 C 中。这个新映射应该怎么做呢？它的工作方式是：先对 A 中的元素 x 应用映射 g，得到 B 中的一个元素 g(x)；然后，再对这个结果 g(x) 应用映射 f，得到 C 中的一个元素 f(g(x))。
这个直接从 A 到 C 的映射，我们称之为 f 和 g 的复合映射。
那么，如何简洁而清晰地表示这个“先用 g，再用 f”的过程呢？数学家们需要一个符号来承载这个意思。如果我们简单地写成 fg，可能会让人误解为两个映射的乘积，或者某种新的运算，而无法准确表达“先g后f”的顺序。
于是，一个富有表现力的符号应运而生：f°g。
这个符号 f°g 的设计，巧妙地借鉴了“复合”的直观感受。其中的 “°” 符号，通常被理解为一种“连接”或“贯通”的动作。它就像一个桥梁，将映射 g 的输出端连接到映射 f 的输入端，从而形成了一条从 A 到 C 的“通道”。
更具体地解析这个符号：
f 在左边，g 在右边。这传递了一个重要的信息：复合的顺序是先执行右边的映射（g），再执行左边的映射（f）。
“°” 这个圆圈符号，本身也带有“围绕”、“结合”的意象，非常契合复合的概念。
因此，当我们看到 f°g 时，我们的脑海中应该立刻浮现出这样的画面：
1. 取一个元素 x，属于集合 A。
2. 应用映射 g：得到 g(x)，这个元素属于集合 B。
3. 应用映射 f：将 g(x) 作为输入，得到 f(g(x))，这个元素属于集合 C。
所以，复合映射 f°g 可以被定义为：
(f°g)(x) = f(g(x))
这个定义清晰地表明了复合的含义：将 x 先通过 g，再将 g 的结果通过 f。
为何不写成 g°f 呢？
这是一个非常关键的问题，也正是符号 f°g 能够准确传达信息的原因。如果写成 g°f，那么根据我们之前建立的逻辑，其含义将是：
1. 取一个元素 x，属于集合 A。
2. 应用映射 f：得到 f(x)，这个元素属于集合 D（假设 f 的定义域是 A，但值域不是 B）。
3. 应用映射 g：将 f(x) 作为输入，得到 g(f(x))。
从这个例子可以看出，如果 f 和 g 的定义域和值域不兼容，g°f 可能根本无法定义，或者会得到一个完全不同的结果。
总结来说，复合映射符号 f°g 的由来，是数学家们为了精确、简洁地描述“将一个映射的作用叠加在另一个映射作用之上”这一概念而创造出来的。符号的顺序“f°g”明确地指示了运算的执行顺序：先执行右侧的映射（g），再执行左侧的映射（f）。这就像在进行一系列操作时，我们总是从最里面的括号或最先进行的步骤开始一样。
这种约定俗成的符号体系，使得数学交流高效而严谨。f°g 不仅仅是一个符号，它是一个浓缩了逻辑、顺序和数学思想的精炼表达。理解了这个符号的由来和含义，我们也就掌握了理解和运用复合映射的关键。
网友意见
我提供一下个人的理解，未必就是历史上先人的真实动机。
我们知道，给定个一个集合 ，考虑 上全体映射构成的集合:
定义 上的二元运算复合（我们暂时把复合符号记为 ，之后再解释为啥要把复合映射符号选成 ），满足
容易验证 构成一个群（通常是非交换群）。
一般来讲，我们会选择 来表示一个非交换群里的群运算符号。但是如果我们在这里选用 来表示函数的符号，可能会导致一些误解。具体的说，在很多有乘法的集合 上，我们容易把函数的复合与函数的相乘混淆。
因此，我们退而求其次，选择了另一个比较常用的群运算符号 来表示函数的复合。
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