复变函数如何进行映射？
复变函数映射是一个非常有趣且强大的概念，它描述了复平面上点集如何通过一个复变函数进行变换。理解复变函数映射是学习复变函数理论的关键。下面我将详细地阐述复变函数映射的原理、方法和一些重要的映射类型。
什么是复变函数映射？
简单来说，复变函数映射就是用一个复变函数将一个复平面（或其子集）上的点转换到另一个复平面（或其子集）上的点。
我们知道一个复变函数通常写作 $w = f(z)$，其中 $z$ 是自变量（也称为输入复数），$w$ 是因变量（也称为输出复数）。$z$ 和 $w$ 都属于复数集 $mathbb{C}$。
复平面 (zplane)：我们通常用水平轴表示实部（$x = ext{Re}(z)$），垂直轴表示虚部（$y = ext{Im}(z)$）。点 $z = x + iy$ 在这个平面上对应坐标 $(x, y)$。
复平面 (wplane)：同样地，我们用水平轴表示 $u = ext{Re}(w)$，垂直轴表示 $v = ext{Im}(w)$。点 $w = u + iv$ 在这个平面上对应坐标 $(u, v)$。
复变函数 $w = f(z)$ 建立了一个从 $z$plane 到 $w$plane 的对应关系。对于 $z$plane 中的每一个点 $z$，函数 $f$ 会计算出一个唯一的 $w$ 值，这个 $w$ 值就对应着 $w$plane 中的一个点。这个过程就是映射。
映射的核心思想是观察：
1. 点如何被移动？ $z$ 移动到 $w$ 的位置。
2. 形状如何被扭曲？ 直线可能变成曲线，圆形可能变成椭圆形等。
3. 区域如何被变换？ 一个区域（例如一个圆盘）在映射后会变成 $w$plane 中的另一个区域。
如何进行映射？
要理解复变函数如何进行映射，我们可以从以下几个角度入手：
1. 分离实部和虚部
这是最基本也是最重要的方法。设 $z = x + iy$ 且 $w = u + iv$。函数 $w = f(z)$ 可以写成 $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$。这意味着复变函数 $f$ 将复数 $z$ 的实部 $x$ 和虚部 $y$ 作为输入，输出一个复数 $w$，其新实部 $u$ 和新虚部 $v$ 都是 $x$ 和 $y$ 的函数。
映射的过程就是：
给定一个点 $z_0 = x_0 + iy_0$ 在 $z$plane。
计算 $w_0 = f(z_0) = u(x_0, y_0) + iv(x_0, y_0)$。
那么在 $w$plane 中，点 $z_0$ 被映射到了点 $w_0$。
例子：
考虑函数 $w = f(z) = z^2$。
设 $z = x + iy$。
$w = (x+iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy y^2 = (x^2 y^2) + i(2xy)$。
所以，我们有 $u(x,y) = x^2 y^2$ 和 $v(x,y) = 2xy$。
现在，我们可以在 $z$plane 和 $w$plane 中选择一些点或曲线来观察映射效果：
点 $(1, 0)$ (即 $z=1$)：$u(1,0) = 1^2 0^2 = 1$, $v(1,0) = 2(1)(0) = 0$。所以 $w = 1 + i0 = 1$。点 $(1,0)$ 在 $z$plane 被映射到 $w$plane 的点 $(1,0)$。
点 $(0, 1)$ (即 $z=i$)：$u(0,1) = 0^2 1^2 = 1$, $v(0,1) = 2(0)(1) = 0$。所以 $w = 1 + i0 = 1$。点 $(0,1)$ 在 $z$plane 被映射到 $w$plane 的点 $(1,0)$。
点 $(1, 1)$ (即 $z=1+i$)：$u(1,1) = 1^2 1^2 = 0$, $v(1,1) = 2(1)(1) = 2$。所以 $w = 0 + i2 = 2i$。点 $(1,1)$ 在 $z$plane 被映射到 $w$plane 的点 $(0,2)$。
2. 观察曲线的变换
研究特定曲线或区域在映射下的变化，可以帮助我们理解映射的全局特性。
坐标轴的变换：
$z$plane 中的实轴 ($y=0$)：$w = f(x+i0) = u(x,0) + iv(x,0)$。
$z$plane 中的虚轴 ($x=0$)：$w = f(0+iy) = u(0,y) + iv(0,y)$。
这些曲线在 $w$plane 中会变成新的曲线。
网格线的变换：
$z$plane 中的水平直线 $y=c$ (常数) 和垂直直线 $x=c$ (常数) 构成了正交的网格。观察这些网格线在 $w$plane 下的变换，可以揭示映射的局部几何性质，比如伸缩、旋转、剪切等。
例子（继续 $w = z^2$）：
实轴 ($y=0$) 的变换：$z = x$ (实数)。$w = x^2$。所以 $u = x^2$, $v = 0$。这意味着实轴被映射到 $w$plane 的实轴上，但方向和范围会改变（例如，正实轴 $x>0$ 被映射到正实轴 $u>0$，负实轴 $x<0$ 也被映射到正实轴 $u>0$）。
虚轴 ($x=0$) 的变换：$z = iy$。$w = (iy)^2 = y^2$。所以 $u = y^2$, $v = 0$。这意味着虚轴也被映射到 $w$plane 的实轴上（负方向）。
水平直线 $y=c$ 的变换：$z = x + ic$。$w = (x+ic)^2 = x^2 c^2 + i(2xc)$。
$u = x^2 c^2$
$v = 2xc$
从第二个方程可以得到 $x = v/(2c)$ (假设 $c eq 0$)。代入第一个方程：$u = (v/(2c))^2 c^2 = v^2/(4c^2) c^2$。
所以，$v^2 = 4c^2(u+c^2)$，或者 $u = frac{1}{4c^2}v^2 c^2$。这是一个抛物线在 $w$plane 中。
垂直直线 $x=c$ 的变换：$z = c + iy$。$w = (c+iy)^2 = c^2 y^2 + i(2cy)$。
$u = c^2 y^2$
$v = 2cy$
从第二个方程可以得到 $y = v/(2c)$ (假设 $c eq 0$)。代入第一个方程：$u = c^2 (v/(2c))^2 = c^2 v^2/(4c^2)$。
所以，$v^2 = 4c^2(c^2u)$，或者 $u = c^2 frac{1}{4c^2}v^2$。这也是一个抛物线在 $w$plane 中。
可以看到，$z=z^2$ 将 $z$plane 中的直线网格映射成了 $w$plane 中的抛物线网格。
3. 使用极坐标
对于涉及旋转或与角度有关的映射，使用极坐标会更方便。设 $z = r e^{i heta}$ 且 $w = ho e^{iphi}$。
如果 $f(z) = z^n$：
$w = (re^{i heta})^n = r^n e^{in heta}$。
这意味着：半径 $r$ 被映射到半径 $ ho = r^n$。
角度 $ heta$ 被映射到角度 $phi = n heta$。
这是一种非常直观的映射：将复平面的“径向”拉伸（或压缩）为原来的 $n$ 次方，并将“角度”放大 $n$ 倍。
例子：$w = z^2$ (极坐标视角)
$z = re^{i heta}$。
$w = (re^{i heta})^2 = r^2 e^{i2 heta}$。
半径 $r$ 被映射到半径 $ ho = r^2$。
角度 $ heta$ 被映射到角度 $phi = 2 heta$。
这意味着：
单位圆 $|z|=1$ (即 $r=1$) 被映射到单位圆 $|w|=1$ (即 $ ho=1^2=1$)。
半径为 2 的圆 $|z|=2$ 被映射到半径为 4 的圆 $|w|=4$。
$z$plane 中的一个 $30^circ$ 的扇形区域（例如 $0 le heta le pi/6$）被映射到 $w$plane 中的一个 $60^circ$ 的扇形区域（$0 le phi le pi/3$）。
4. 寻找不变量和特殊点
不动点 (Fixed Points)：满足 $f(z) = z$ 的点称为不动点。这些点在映射后位置不变。
临界点 (Critical Points)：满足 $f'(z) = 0$ 的点。在这些点附近，映射的几何性质（如角度保持性）会发生改变。
5. 利用几何变换的性质
许多复变函数都可以分解为基本几何变换的组合：
平移 (Translation)：$w = z + b$。将整个平面按照向量 $b$ 平移。
旋转 (Rotation)：$w = a z$ 且 $|a|=1$。将平面绕原点旋转一个角度，大小不变。
伸缩 (Scaling)：$w = a z$ 且 $a > 0$。将平面按照比例 $a$ 伸缩。
相似变换 (Similarity Transformation)：$w = az + b$，其中 $a$ 是非零复数，$b$ 是复数。这可以看作是先进行旋转和伸缩（由 $a$ 完成），然后进行平移（由 $b$ 完成）。
反演 (Inversion)：$w = 1/z$。
$z = re^{i heta}$，则 $w = frac{1}{r}e^{i heta}$。
半径 $r$ 被映射到半径 $1/r$。
角度 $ heta$ 被映射到角度 $ heta$ (即关于实轴的反射)。
反演将圆（不通过原点的）映射为圆，将直线（不通过原点的）映射为圆（通过原点的）。
6. 共形映射 (Conformal Mapping)
共形映射是最重要的一类复变函数映射，它具有一个非常重要的性质：保持角度（包括方向）。
形式上，如果 $f(z)$ 在某个点 $z_0$ 处可导且 $f'(z_0) eq 0$，那么函数 $f$ 在 $z_0$ 处的映射是共形的。这意味着：
在 $z_0$ 附近，映射是局部的相似变换：它会进行旋转和伸缩，但保持了相交曲线之间的角度和它们的方向。
如果一个函数在某个区域的每一点都是共形映射，那么它就能保持该区域内所有曲线的相对角度。
重要的映射类型及其映射特点
以下是一些常见的、在复变函数理论中非常重要的映射：
1. 线性函数 $w = az + b$ ($a eq 0$)
特点：这是最基本的映射，它是一种相似变换。
如果 $a$ 是实数，它只有伸缩和平移。
如果 $a$ 是纯虚数，它只有旋转和平移。
如果 $a$ 是复数，它同时包括旋转、伸缩和平移。
它保持角度不变，因此是共形映射。
直线被映射为直线，圆被映射为圆。
2. 幂函数 $w = z^n$ ($n$ 是正整数)
特点：
将复平面进行扭曲。
角度会被放大 $n$ 倍。
例如，$w=z^2$ 将平面上的一个四分之一圆（如第一象限的扇形）映射为一个半圆。
3. 反比例函数 $w = 1/z$
特点：
进行反演和关于实轴的反射。
将直线和圆映射为直线或圆。
例如，它将单位圆 $|z|=1$ 映射为单位圆 $|w|=1$。
它将实轴（$y=0$）映射为实轴。
它将虚轴（$x=0$）映射为虚轴。
它将上半平面（$y>0$）映射为下半平面（$v<0$）。
4. Mobius 变换 (或线性分数变换) $w = frac{az+b}{cz+d}$ ($adbc eq 0$)
特点：
非常重要的一类映射，它们保持交比不变。
它们将直线和圆映射为直线或圆（统称为广义圆）。
它们是共形映射。
它们是双射（一对一且一一对应）。
可以通过将直线映射为圆心，或者将圆映射为直线等来调整复平面的区域。
5. 指数函数 $w = e^z$
特点：
将 $z$plane 中的水平直线 $y=c$ 映射为 $w$plane 中的以原点为中心的半直线（射线）。
将 $z$plane 中的垂直直线 $x=c$ 映射为 $w$plane 中的同心圆。
将 $z$plane 中的矩形区域映射为扇形区域或特殊的“柱形”区域。
由于 $e^{z+2pi i} = e^z$，指数函数是周期函数，所以它是非单叶的（一个点在 $w$plane 中有多个对应的点）。
6. 对数函数 $w = ext{Log } z$
特点：
是指数函数的反函数。
将 $w$plane 中的射线映射为 $z$plane 中的直线。
将 $w$plane 中的圆映射为 $z$plane 中的直线。
由于是反函数，它将具有周期性的映射关系反过来。
如何可视化复变函数映射？
由于我们无法直接在三维空间中可视化四维（两个输入变量，两个输出变量）的映射，我们通常采用以下方法：
1. 双平面法：同时绘制 $z$plane 和 $w$plane，并在其中展示对应的点、曲线或区域。这是最直接的方法。
2. 着色法：根据函数的幅度和相角对复平面进行着色。例如，幅值可以用亮度表示，相角可以用色调表示。
3. 流线图：绘制函数在不同点附近的局部几何变换特性。
4. 特殊区域的变换：选择一些简单的区域（如单位圆、半平面、方格）来观察它们在映射下的变化，以了解函数的全局特性。
总结
复变函数映射是通过复变函数 $w = f(z)$ 将复平面上的点 $(x, y)$ 变换到另一个复平面上的点 $(u, v)$ 的过程。理解映射的核心在于：
分离实部和虚部：将 $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ 进行分析。
观察曲线和区域的变换：研究直线、圆、网格线等在映射下的变化。
利用极坐标：对于涉及角度和径向变化的函数，极坐标非常有用。
识别特殊映射：掌握线性函数、幂函数、反演、Mobius 变换、指数函数等基本映射的特点。
理解共形映射：认识到在 $f'(z) eq 0$ 的点，映射是角度保持的。
复变函数映射是一个极其丰富的领域，许多实际问题，如流体力学、电磁学、热传导中的势问题，都可以通过构造适当的共形映射来简化和解决。通过深入研究这些映射，我们可以更好地理解复变函数的性质和它们在科学与工程中的应用。
什么是复变函数映射？
简单来说，复变函数映射就是用一个复变函数将一个复平面（或其子集）上的点转换到另一个复平面（或其子集）上的点。
我们知道一个复变函数通常写作 $w = f(z)$，其中 $z$ 是自变量（也称为输入复数），$w$ 是因变量（也称为输出复数）。$z$ 和 $w$ 都属于复数集 $mathbb{C}$。
复平面 (zplane)：我们通常用水平轴表示实部（$x = ext{Re}(z)$），垂直轴表示虚部（$y = ext{Im}(z)$）。点 $z = x + iy$ 在这个平面上对应坐标 $(x, y)$。
复平面 (wplane)：同样地，我们用水平轴表示 $u = ext{Re}(w)$，垂直轴表示 $v = ext{Im}(w)$。点 $w = u + iv$ 在这个平面上对应坐标 $(u, v)$。
复变函数 $w = f(z)$ 建立了一个从 $z$plane 到 $w$plane 的对应关系。对于 $z$plane 中的每一个点 $z$，函数 $f$ 会计算出一个唯一的 $w$ 值，这个 $w$ 值就对应着 $w$plane 中的一个点。这个过程就是映射。
映射的核心思想是观察：
1. 点如何被移动？ $z$ 移动到 $w$ 的位置。
2. 形状如何被扭曲？ 直线可能变成曲线，圆形可能变成椭圆形等。
3. 区域如何被变换？ 一个区域（例如一个圆盘）在映射后会变成 $w$plane 中的另一个区域。
如何进行映射？
要理解复变函数如何进行映射，我们可以从以下几个角度入手：
1. 分离实部和虚部
这是最基本也是最重要的方法。设 $z = x + iy$ 且 $w = u + iv$。函数 $w = f(z)$ 可以写成 $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$。这意味着复变函数 $f$ 将复数 $z$ 的实部 $x$ 和虚部 $y$ 作为输入，输出一个复数 $w$，其新实部 $u$ 和新虚部 $v$ 都是 $x$ 和 $y$ 的函数。
映射的过程就是：
给定一个点 $z_0 = x_0 + iy_0$ 在 $z$plane。
计算 $w_0 = f(z_0) = u(x_0, y_0) + iv(x_0, y_0)$。
那么在 $w$plane 中，点 $z_0$ 被映射到了点 $w_0$。
例子：
考虑函数 $w = f(z) = z^2$。
设 $z = x + iy$。
$w = (x+iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy y^2 = (x^2 y^2) + i(2xy)$。
所以，我们有 $u(x,y) = x^2 y^2$ 和 $v(x,y) = 2xy$。
现在，我们可以在 $z$plane 和 $w$plane 中选择一些点或曲线来观察映射效果：
点 $(1, 0)$ (即 $z=1$)：$u(1,0) = 1^2 0^2 = 1$, $v(1,0) = 2(1)(0) = 0$。所以 $w = 1 + i0 = 1$。点 $(1,0)$ 在 $z$plane 被映射到 $w$plane 的点 $(1,0)$。
点 $(0, 1)$ (即 $z=i$)：$u(0,1) = 0^2 1^2 = 1$, $v(0,1) = 2(0)(1) = 0$。所以 $w = 1 + i0 = 1$。点 $(0,1)$ 在 $z$plane 被映射到 $w$plane 的点 $(1,0)$。
点 $(1, 1)$ (即 $z=1+i$)：$u(1,1) = 1^2 1^2 = 0$, $v(1,1) = 2(1)(1) = 2$。所以 $w = 0 + i2 = 2i$。点 $(1,1)$ 在 $z$plane 被映射到 $w$plane 的点 $(0,2)$。
2. 观察曲线的变换
研究特定曲线或区域在映射下的变化，可以帮助我们理解映射的全局特性。
坐标轴的变换：
$z$plane 中的实轴 ($y=0$)：$w = f(x+i0) = u(x,0) + iv(x,0)$。
$z$plane 中的虚轴 ($x=0$)：$w = f(0+iy) = u(0,y) + iv(0,y)$。
这些曲线在 $w$plane 中会变成新的曲线。
网格线的变换：
$z$plane 中的水平直线 $y=c$ (常数) 和垂直直线 $x=c$ (常数) 构成了正交的网格。观察这些网格线在 $w$plane 下的变换，可以揭示映射的局部几何性质，比如伸缩、旋转、剪切等。
例子（继续 $w = z^2$）：
实轴 ($y=0$) 的变换：$z = x$ (实数)。$w = x^2$。所以 $u = x^2$, $v = 0$。这意味着实轴被映射到 $w$plane 的实轴上，但方向和范围会改变（例如，正实轴 $x>0$ 被映射到正实轴 $u>0$，负实轴 $x<0$ 也被映射到正实轴 $u>0$）。
虚轴 ($x=0$) 的变换：$z = iy$。$w = (iy)^2 = y^2$。所以 $u = y^2$, $v = 0$。这意味着虚轴也被映射到 $w$plane 的实轴上（负方向）。
水平直线 $y=c$ 的变换：$z = x + ic$。$w = (x+ic)^2 = x^2 c^2 + i(2xc)$。
$u = x^2 c^2$
$v = 2xc$
从第二个方程可以得到 $x = v/(2c)$ (假设 $c eq 0$)。代入第一个方程：$u = (v/(2c))^2 c^2 = v^2/(4c^2) c^2$。
所以，$v^2 = 4c^2(u+c^2)$，或者 $u = frac{1}{4c^2}v^2 c^2$。这是一个抛物线在 $w$plane 中。
垂直直线 $x=c$ 的变换：$z = c + iy$。$w = (c+iy)^2 = c^2 y^2 + i(2cy)$。
$u = c^2 y^2$
$v = 2cy$
从第二个方程可以得到 $y = v/(2c)$ (假设 $c eq 0$)。代入第一个方程：$u = c^2 (v/(2c))^2 = c^2 v^2/(4c^2)$。
所以，$v^2 = 4c^2(c^2u)$，或者 $u = c^2 frac{1}{4c^2}v^2$。这也是一个抛物线在 $w$plane 中。
可以看到，$z=z^2$ 将 $z$plane 中的直线网格映射成了 $w$plane 中的抛物线网格。
3. 使用极坐标
对于涉及旋转或与角度有关的映射，使用极坐标会更方便。设 $z = r e^{i heta}$ 且 $w = ho e^{iphi}$。
如果 $f(z) = z^n$：
$w = (re^{i heta})^n = r^n e^{in heta}$。
这意味着：半径 $r$ 被映射到半径 $ ho = r^n$。
角度 $ heta$ 被映射到角度 $phi = n heta$。
这是一种非常直观的映射：将复平面的“径向”拉伸（或压缩）为原来的 $n$ 次方，并将“角度”放大 $n$ 倍。
例子：$w = z^2$ (极坐标视角)
$z = re^{i heta}$。
$w = (re^{i heta})^2 = r^2 e^{i2 heta}$。
半径 $r$ 被映射到半径 $ ho = r^2$。
角度 $ heta$ 被映射到角度 $phi = 2 heta$。
这意味着：
单位圆 $|z|=1$ (即 $r=1$) 被映射到单位圆 $|w|=1$ (即 $ ho=1^2=1$)。
半径为 2 的圆 $|z|=2$ 被映射到半径为 4 的圆 $|w|=4$。
$z$plane 中的一个 $30^circ$ 的扇形区域（例如 $0 le heta le pi/6$）被映射到 $w$plane 中的一个 $60^circ$ 的扇形区域（$0 le phi le pi/3$）。
4. 寻找不变量和特殊点
不动点 (Fixed Points)：满足 $f(z) = z$ 的点称为不动点。这些点在映射后位置不变。
临界点 (Critical Points)：满足 $f'(z) = 0$ 的点。在这些点附近，映射的几何性质（如角度保持性）会发生改变。
5. 利用几何变换的性质
许多复变函数都可以分解为基本几何变换的组合：
平移 (Translation)：$w = z + b$。将整个平面按照向量 $b$ 平移。
旋转 (Rotation)：$w = a z$ 且 $|a|=1$。将平面绕原点旋转一个角度，大小不变。
伸缩 (Scaling)：$w = a z$ 且 $a > 0$。将平面按照比例 $a$ 伸缩。
相似变换 (Similarity Transformation)：$w = az + b$，其中 $a$ 是非零复数，$b$ 是复数。这可以看作是先进行旋转和伸缩（由 $a$ 完成），然后进行平移（由 $b$ 完成）。
反演 (Inversion)：$w = 1/z$。
$z = re^{i heta}$，则 $w = frac{1}{r}e^{i heta}$。
半径 $r$ 被映射到半径 $1/r$。
角度 $ heta$ 被映射到角度 $ heta$ (即关于实轴的反射)。
反演将圆（不通过原点的）映射为圆，将直线（不通过原点的）映射为圆（通过原点的）。
6. 共形映射 (Conformal Mapping)
共形映射是最重要的一类复变函数映射，它具有一个非常重要的性质：保持角度（包括方向）。
形式上，如果 $f(z)$ 在某个点 $z_0$ 处可导且 $f'(z_0) eq 0$，那么函数 $f$ 在 $z_0$ 处的映射是共形的。这意味着：
在 $z_0$ 附近，映射是局部的相似变换：它会进行旋转和伸缩，但保持了相交曲线之间的角度和它们的方向。
如果一个函数在某个区域的每一点都是共形映射，那么它就能保持该区域内所有曲线的相对角度。
重要的映射类型及其映射特点
以下是一些常见的、在复变函数理论中非常重要的映射：
1. 线性函数 $w = az + b$ ($a eq 0$)
特点：这是最基本的映射，它是一种相似变换。
如果 $a$ 是实数，它只有伸缩和平移。
如果 $a$ 是纯虚数，它只有旋转和平移。
如果 $a$ 是复数，它同时包括旋转、伸缩和平移。
它保持角度不变，因此是共形映射。
直线被映射为直线，圆被映射为圆。
2. 幂函数 $w = z^n$ ($n$ 是正整数)
特点：
将复平面进行扭曲。
角度会被放大 $n$ 倍。
例如，$w=z^2$ 将平面上的一个四分之一圆（如第一象限的扇形）映射为一个半圆。
3. 反比例函数 $w = 1/z$
特点：
进行反演和关于实轴的反射。
将直线和圆映射为直线或圆。
例如，它将单位圆 $|z|=1$ 映射为单位圆 $|w|=1$。
它将实轴（$y=0$）映射为实轴。
它将虚轴（$x=0$）映射为虚轴。
它将上半平面（$y>0$）映射为下半平面（$v<0$）。
4. Mobius 变换 (或线性分数变换) $w = frac{az+b}{cz+d}$ ($adbc eq 0$)
特点：
非常重要的一类映射，它们保持交比不变。
它们将直线和圆映射为直线或圆（统称为广义圆）。
它们是共形映射。
它们是双射（一对一且一一对应）。
可以通过将直线映射为圆心，或者将圆映射为直线等来调整复平面的区域。
5. 指数函数 $w = e^z$
特点：
将 $z$plane 中的水平直线 $y=c$ 映射为 $w$plane 中的以原点为中心的半直线（射线）。
将 $z$plane 中的垂直直线 $x=c$ 映射为 $w$plane 中的同心圆。
将 $z$plane 中的矩形区域映射为扇形区域或特殊的“柱形”区域。
由于 $e^{z+2pi i} = e^z$，指数函数是周期函数，所以它是非单叶的（一个点在 $w$plane 中有多个对应的点）。
6. 对数函数 $w = ext{Log } z$
特点：
是指数函数的反函数。
将 $w$plane 中的射线映射为 $z$plane 中的直线。
将 $w$plane 中的圆映射为 $z$plane 中的直线。
由于是反函数，它将具有周期性的映射关系反过来。
如何可视化复变函数映射？
由于我们无法直接在三维空间中可视化四维（两个输入变量，两个输出变量）的映射，我们通常采用以下方法：
1. 双平面法：同时绘制 $z$plane 和 $w$plane，并在其中展示对应的点、曲线或区域。这是最直接的方法。
2. 着色法：根据函数的幅度和相角对复平面进行着色。例如，幅值可以用亮度表示，相角可以用色调表示。
3. 流线图：绘制函数在不同点附近的局部几何变换特性。
4. 特殊区域的变换：选择一些简单的区域（如单位圆、半平面、方格）来观察它们在映射下的变化，以了解函数的全局特性。
总结
复变函数映射是通过复变函数 $w = f(z)$ 将复平面上的点 $(x, y)$ 变换到另一个复平面上的点 $(u, v)$ 的过程。理解映射的核心在于：
分离实部和虚部：将 $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ 进行分析。
观察曲线和区域的变换：研究直线、圆、网格线等在映射下的变化。
利用极坐标：对于涉及角度和径向变化的函数，极坐标非常有用。
识别特殊映射：掌握线性函数、幂函数、反演、Mobius 变换、指数函数等基本映射的特点。
理解共形映射：认识到在 $f'(z) eq 0$ 的点，映射是角度保持的。
复变函数映射是一个极其丰富的领域，许多实际问题，如流体力学、电磁学、热传导中的势问题，都可以通过构造适当的共形映射来简化和解决。通过深入研究这些映射，我们可以更好地理解复变函数的性质和它们在科学与工程中的应用。
网友意见
复变平面有三大变换：
- 莫比乌斯变换
- 多项式变换
- 指数变换
其中莫比乌斯变换为
特别地，当 时，我们称之为关于单位圆的共轭反演。
反演有很明晰的几何意义，我们展开谈谈。见下图
如图， 、 、
由射影定理可得
此时我们称 与 为关于 互为反演点。特别地，当 半径为单位长度时，显然 与 互为倒数，这不得不让我们联想到共轭反演变换，不过还需一点加工。
由欧拉公式
那么
看得出，复数 经过共轭反演后，模长变为其倒数，幅角变为其相反数。也就是说，我们在复平面 上若想找到 的共轭反演点，可以按照上述的几何方法找到其反演点 ，然后再取共轭即可。这就是我们将倒数变换命名为共轭反演的原因。
综上，一个莫比乌斯变换可以机械地分解为若干个简单的变换的复合，他们分别是：旋转、伸缩、平移、共轭反演。这从表达式中可以清楚地看出，
莫比乌斯变换最重要的性质就是保圆性，旋转、伸缩、平移、共轭的保圆性不多用说，所以最关键是说明反演的保圆性。
题主所问的是上面的特例， 经共轭反演后为
需要特别说明的，凡经过反演中心的圆，会被映射为直线，但是我们认为直线是半径无穷大的圆。
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