复变函数中，如何说明Ln(z²)与2Lnz是否相等，Ln(根号z)与(Lnz)/2是否相等？
在复变函数的世界里，指数函数和对数函数的关系远比实数域复杂得多，尤其是在处理多值函数和分支 cut 的时候。今天我们就来深入探讨一下 Ln(z²) 是否等于 2Lnz，以及 Ln(√z) 是否等于 (Lnz)/2，并且会尽量把这背后的逻辑讲得透彻一些，不带一点人工智能的生硬感。
Ln(z²) 与 2Lnz：一场关于“多值”的博弈
首先，我们需要明确复数对数函数 Ln(z) 的定义。在复数域中，z ≠ 0 时，z 的对数不是唯一的，它是一个多值函数。这是因为复数的指数函数是周期性的：
e^(w + 2πik) = e^w e^(2πik) = e^w 1 = e^w (其中 k 是任意整数)
如果我们令 w = Ln(z)，那么 e^w = z。这意味着 e^(Ln(z) + 2πik) = z。所以，z 的对数可以表示为：
Ln(z) = Ln|z| + i(arg(z) + 2πk)
其中, Ln|z| 是实数 z 的绝对值的自然对数，arg(z) 是复数 z 的辐角，也就是 z 在复平面上与正实轴的夹角。由于辐角是周期性的（每增加 2π 就回到同一点），所以我们可以选择一个主值来定义 Ln(z)，通常是取 arg(z) 在 (π, π] 范围内，我们将其记作 Arg(z)。主值的对数函数 Ln(z) 被称为“主对数”。
现在，我们来看看 Ln(z²)：
根据定义，Ln(z²) 是满足 e^w = z² 的所有复数 w。
假设 w = Ln(z²) 的一个值。那么 e^w = z²。
而 2Lnz 是 2 乘以 Ln(z) 的所有可能值。
令 Ln(z) 的一个值为 v。那么 v = Ln|z| + i(Arg(z) + 2πk) (其中 k 是任意整数)。
所以 2Lnz 的一个值就是 2v = 2Ln|z| + i(2Arg(z) + 4πk)。
让我们先从角度入手，这是最容易看出区别的地方。
对于 z = re^(iθ)，其中 r = |z| > 0，θ = Arg(z)。
那么 z² = (re^(iθ))² = r²e^(i2θ)。
所以，z² 的对数 Ln(z²) 的值是：
Ln(z²) = Ln(r²) + i(Arg(z²) + 2πm) (其中 m 是任意整数)
这里需要注意，Arg(z²) 不一定等于 2Arg(z)。
比如，如果 z = 1，那么 Arg(z) = π。
z² = (1)² = 1。 Arg(z²) = 0。
此时，2Arg(z) = 2π。
Arg(z²) = 0 和 2Arg(z) = 2π 的区别在于 2π 的整数倍。更准确地说，z² 的辐角是 2θ 加上 2π 的整数倍。
所以，z² 的对数可以写成：
Ln(z²) = Ln(r²) + i(2θ + 2πm)
现在我们看 2Lnz：
Lnz = Lnr + i(θ + 2πk) (其中 k 是任意整数)
2Lnz = 2(Lnr + i(θ + 2πk)) = 2Lnr + i(2θ + 4πk)
对比这两个表达式：
Ln(z²) = Ln(r²) + i(2θ + 2πm)
2Lnz = 2Lnr + i(2θ + 4πk)
我们可以看到，实部 Ln(r²) 和 2Lnr 是相等的，因为 r² = |z|² 且 Ln(r²) = 2Lnr。
但是，虚部：
(2θ + 2πm) vs (2θ + 4πk)
这里存在一个重要的区别。虽然两者都包含 2θ，但对数函数的周期性是以 2π 为单位的，而这里我们相差的是 2πm 和 4πk。
关键在于“分支”。
如果我们定义一个主值版本的对数函数，比如 Ln₀(z) = Ln|z| + i Arg(z)，其中 Arg(z) ∈ (π, π]。
那么，对于 Ln₀(z²)，它的辐角 Arg(z²) 应该在 (π, π] 的范围内。
如果 z = re^(iθ)，z² = r²e^(i2θ)。
Arg(z²) 是 2θ modulo 2π 的值，且位于 (π, π] 范围内。
而 2Ln₀(z) = 2(Ln|z| + i Arg(z)) = 2Lnr + i 2Arg(z)。
在这里问题就暴露出来了。
如果 θ 是一个很小的正数（比如 θ = π/4），那么 z = re^(iπ/4)。
z² = r²e^(iπ/2)。
Ln₀(z²) = Ln(r²) + i(π/2)。
2Ln₀(z) = 2(Lnr + iπ/4) = 2Lnr + iπ/2。
在这种情况下，它们是相等的。
但是，如果 θ 是一个接近 π 的值（比如 θ = 3π/4），那么 z = re^(i3π/4)。
z² = r²e^(i3π/2)。
Arg(z²) 的值是 π/2 (因为 3π/2 模 2π 后是 π/2)。
Ln₀(z²) = Ln(r²) + i(π/2)。
而 2Ln₀(z) = 2(Lnr + i3π/4) = 2Lnr + i3π/2。
此时，2Ln₀(z) 的虚部是 3π/2，而 Ln₀(z²) 的虚部是 π/2。它们相差 2π。
所以，在主值意义下，Ln₀(z²) 和 2Ln₀(z) 不一定相等。 它们的关系是：
Ln₀(z²) = 2Ln₀(z) + i2πn，其中 n 是某个整数，决定于 Arg(z) 的值，使得 Arg(z²) = Arg(z²) 的主值。
更普遍地说，如果 Ln(z) 表示 z 的所有对数值集合，那么：
Ln(z²) = {Ln|z²| + i(Arg(z²) + 2πm) | m ∈ Z}
Ln(z²) = {2Ln|z| + i(2Arg(z) + 2πm) | m ∈ Z}
而 2Lnz 表示 2 乘以 Ln(z) 的所有可能值：
2Lnz = {2(Ln|z| + i(Arg(z) + 2πk)) | k ∈ Z}
2Lnz = {2Ln|z| + i(2Arg(z) + 4πk) | k ∈ Z}
现在我们来看集合的相等性。
Ln(z²) 集合中的元素是 2Ln|z| + i(2Arg(z) + 2πm)。
2Lnz 集合中的元素是 2Ln|z| + i(2Arg(z) + 4πk)。
观察虚部：
2Arg(z) + 2πm vs 2Arg(z) + 4πk
这两个集合是相等的，因为 m 和 k 都可以取任意整数。
我们可以将 2Lnz 的集合表示为：
{2Ln|z| + i(2Arg(z) + 2π (2k)) | k ∈ Z}
令 m = 2k，由于 k 是任意整数，2k 也是任意偶数。
等等，这里又出现了一个微妙的问题。
我们定义 Arg(z²) 是 z² 的主辐角，它应该在 (π, π] 的范围内。而 2Arg(z) 可能会超出这个范围。
让我们换一种角度思考，从函数的定义域和值域入手。
考虑主对数 Ln₀(z) = Ln|z| + i Arg(z)，其中 Arg(z) ∈ (π, π]。
其定义域是 C {0}。
现在考虑 f(z) = Ln(z²) 和 g(z) = 2Lnz。
1. Ln(z²)：
当 z ≠ 0 时，z² 也是非零的。
我们取 z = re^(iθ)，其中 θ ∈ (π, π]。
z² = r²e^(i2θ)。
如果 π < θ ≤ π/2，则 0 < 2θ ≤ π。此时 Arg(z²) = 2θ。
Ln₀(z²) = Ln(r²) + i(2θ)。
2Ln₀(z) = 2(Lnr + iθ) = 2Lnr + i(2θ)。
在这个区间内，Ln₀(z²) = 2Ln₀(z)。
如果 π/2 < θ ≤ π，则 π < 2θ ≤ 2π。此时 Arg(z²) = 2θ 2π。
Ln₀(z²) = Ln(r²) + i(2θ 2π)。
2Ln₀(z) = 2(Lnr + iθ) = 2Lnr + i(2θ)。
在这种情况下，Ln₀(z²) = 2Ln₀(z) i2π。
因此，主值意义下，Ln₀(z²) 和 2Ln₀(z) 不相等。
2. 从多值函数的角度来看：
Ln(z²) = {Ln|z²| + i(arg(z²) + 2πm) | m ∈ Z}
= {2Ln|z| + i(2θ + 2πm) | m ∈ Z} （这里的 θ 是 z 的一个辐角）
2Lnz = 2 {Ln|z| + i(θ + 2πk) | k ∈ Z}
= {2Ln|z| + i(2θ + 4πk) | k ∈ Z}
现在比较这两个集合：
集合 A (Ln(z²))： {2Ln|z| + i(2θ + 2πm) | m ∈ Z}
集合 B (2Lnz)： {2Ln|z| + i(2θ + 4πk) | k ∈ Z}
我们可以看到，集合 B 中的元素形式是 2Ln|z| + i(2θ + 偶数倍的 2π)。
集合 A 中的元素形式是 2Ln|z| + i(2θ + 偶数倍的 π)。
错误修正： 上面 Arg(z²) 的处理存在误解。z² 的辐角是 2 arg(z)。当 arg(z) 变化时，2 arg(z) 的变化范围是原来的两倍。
让我们重新审视：
设 z = r e^{i heta}。
Ln(z) = Ln r + i( heta + 2pi k), k in mathbb{Z}
2Lnz = 2(Ln r + i( heta + 2pi k)) = 2Ln r + i(2 heta + 4pi k), k in mathbb{Z}
z² = r^2 e^{i2 heta}
Ln(z²) = Ln(r^2) + i(2 heta + 2pi m), m in mathbb{Z}
Ln(z²) = 2Ln r + i(2 heta + 2pi m), m in mathbb{Z}
现在比较两个集合：
集合 A (2Lnz): {2Ln r + i(2 heta + 4pi k) | k in mathbb{Z}}
集合 B (Ln(z²)): {2Ln r + i(2 heta + 2pi m) | m in mathbb{Z}}
这两个集合的虚部是：
A: 2 heta + 4pi k
B: 2 heta + 2pi m
这里我们可以看到，集合 B 中的值是集合 A 中值的“更密集”的版本。
例如，如果 2θ 是一个特定的值，集合 A 中的虚部可以取值为 2θ, 2θ + 4π, 2θ 4π, ...
集合 B 中的虚部可以取值为 2θ, 2θ + 2π, 2θ + 4π, 2θ + 6π, 2θ 2π, ...
因此，Ln(z²) 的值集合是 2Lnz 的值集合的一个真子集。它们不相等。
什么时候它们会“看起来”相等？
当我们只关注主值，并且 Arg(z) 满足某个条件时。
如前所述，如果 π < θ ≤ π/2，则 Ln₀(z²) = 2Ln₀(z)。
如果 π/2 < θ ≤ π，则 Ln₀(z²) = 2Ln₀(z) i2π。
结论：Ln(z²) 与 2Lnz 在多值函数意义下不相等，因为它们的对数集合不同。在主值意义下也不相等，因为分支 cut 的存在导致虚部可能相差 2π 的整数倍。
Ln(√z) 与 (Lnz)/2：分支上的微妙差异
我们来分析 Ln(√z) 和 (Lnz)/2。
首先，√z 是一个多值函数。对于 z = re^(iθ)，√z 可以表示为：
√z = √r e^(i(θ + 2πk)/2) = √r e^(i(θ/2 + πk)) (k = 0, 1)
所以 √z 有两个值：
√z₁ = √r e^(iθ/2) (当 k=0)
√z₂ = √r e^(i(θ/2 + π)) = √r e^(iθ/2) e^(iπ) = √r e^(iθ/2) (当 k=1)
现在看 Ln(√z)：
Ln(√z) = Ln(√z 的所有可能值)
Ln(√z) = Ln(√r e^(i(θ/2 + πk))) k=0, 1
Ln(√z) = Ln(√r) + i(θ/2 + πk + 2πm) (其中 m 是任意整数)
Ln(√z) = (1/2)Lnr + i(θ/2 + π(k + 2m))
令 K = k + 2m。由于 k 可以是 0 或 1，m 可以是任意整数，那么 K 的取值范围是所有整数。
所以 Ln(√z) = (1/2)Lnr + i(θ/2 + πK) (K ∈ Z)
现在看 (Lnz)/2：
Lnz = Lnr + i(θ + 2πk) (k ∈ Z)
(Lnz)/2 = (1/2)Lnr + i(θ/2 + πk) (k ∈ Z)
对比 Ln(√z) 和 (Lnz)/2 的虚部：
Ln(√z) 的虚部： θ/2 + πK (K ∈ Z)
(Lnz)/2 的虚部： θ/2 + πk (k ∈ Z)
这两个虚部的形式是完全一样的！ 它们都表示 θ/2 加上 π 的任意整数倍。
因此，在多值函数意义下，Ln(√z) 和 (Lnz)/2 是相等的。
但是，当我们谈论主值时，情况又会变得微妙。
让我们使用主对数 Ln₀(z) = Ln|z| + i Arg(z)，其中 Arg(z) ∈ (π, π]。
考虑 f(z) = Ln₀(√z) 和 g(z) = (Ln₀(z))/2。
设 z = re^(iθ)，其中 θ ∈ (π, π]。
1. Ln₀(√z)：
√z 的两个值是 √r e^(iθ/2) 和 √r e^(i(θ/2 + π))。
对于 √z₁ = √r e^(iθ/2)：
此时 θ/2 ∈ (π/2, π/2]。这是 √z₁ 的主辐角。
Ln₀(√z₁) = Ln(√r) + i(θ/2) = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
对于 √z₂ = √r e^(i(θ/2 + π))：
此时 θ/2 + π 的值可能不在 (π, π] 的范围内。
如果 θ/2 ∈ (π/2, π/2]，那么 θ/2 + π ∈ (π/2, 3π/2]。
在这个范围内，主辐角是 (θ/2 + π) 2π = θ/2 π。
Ln₀(√z₂) = Ln(√r) + i(θ/2 π) = (1/2)Lnr + i(θ/2 π)。
这里有一个关键点：Ln₀(√z) 的定义是将 √z 的所有值都取对数，然后取主值。
如果直接对 √z 的主值取对数，那么我们需要先定义 √z 的主值。
通常，我们定义 √z 的主值为 √r e^(i Arg(z)/2)，其中 Arg(z)/2 ∈ (π/2, π/2]。
在这种定义下，√z 的主值是 √r e^(iθ/2)。
那么，Ln₀(√z 主值) = Ln(√r) + i(θ/2) = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
2. (Ln₀(z))/2：
Ln₀(z) = Lnr + iθ。
(Ln₀(z))/2 = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
从这个角度看，Ln₀(√z 主值) = (Ln₀(z))/2。
然而，情况并非总是如此简单，让我们审视一下对数函数和平方根函数在复变函数中的行为。
对数函数 Ln(z) 的分支 cut 通常沿着负实轴 (θ = π)。
平方根函数 √z 的分支 cut 通常沿着负实轴。
当我们将一个数 z 的平方根取出来，然后对这个平方根取对数时，可能会遇到问题。
考虑 z = 1。
Lnz = Ln(1) = Ln(1) + i(π + 2πk) = i(π + 2πk)。
(Lnz)/2 = i(π/2 + πk)。
如果取主值，(Ln₀(1))/2 = iπ/2。
√z = √(1)。√(1) 的两个值是 i 和 i。
Ln(i) = Ln(1) + i(π/2 + 2πm) = i(π/2 + 2πm)。
Ln(i) = Ln(1) + i(π/2 + 2πm) = i(π/2 + 2πm)。
Ln(√z) 的值是 {i(π/2 + 2πm), i(π/2 + 2πm) | m ∈ Z}。
Ln(√z) = {i(π/2 + πk) | k ∈ Z} （合并了两个集合）
对比：
(Lnz)/2 = {i(π/2 + πk) | k ∈ Z}
Ln(√z) = {i(π/2 + πk) | k ∈ Z}
从多值函数的集合来看，它们是相等的。
现在再回到主值和分支 cut。
如果我们的定义域避免了分支 cut，那么等式会更稳定。
对于 Ln(z)，其主值 Ln₀(z) 的分支 cut 是负实轴。
对于 √z，其主值通常定义为 √r e^(i Arg(z)/2)，其分支 cut 也是负实轴。
设 z = r e^(iθ)，其中 θ ∈ (π, π]。
Ln₀(z) = Lnr + iθ。
(Ln₀(z))/2 = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
√z 的主值是 √r e^(iθ/2)。由于 θ ∈ (π, π]，θ/2 ∈ (π/2, π/2]。
所以 θ/2 就是 √z 的主辐角。
Ln₀(√z 主值) = Ln(√r) + i(θ/2) = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
在这种情况下，Ln₀(√z 主值) = (Ln₀(z))/2 是成立的。
但是，如果我们将 Ln(√z) 理解为先计算 √z 的所有值，然后对每个值取对数，并且最终对这些对数的主值进行考虑，情况就更复杂。
我们已经看到，√z 有两个值：√r e^(iθ/2) 和 √r e^(i(θ/2 + π))。
Ln₀(√r e^(iθ/2)) = (1/2)Lnr + i(θ/2) （因为 θ/2 在主值范围内）
Ln₀(√r e^(i(θ/2 + π))) = (1/2)Lnr + i(θ/2 + π) （因为 θ/2 + π 如果大于 π，其主辐角就是 θ/2 + π 2π）
这里需要再次小心处理 θ/2 + π 的主辐角。
如果 θ ∈ (π, π]，那么 θ/2 ∈ (π/2, π/2]。
所以 θ/2 + π ∈ (π/2, 3π/2]。
如果 θ/2 + π ∈ (π/2, π]，那么主辐角是 θ/2 + π。
Ln₀(√r e^(i(θ/2 + π))) = (1/2)Lnr + i(θ/2 + π)。
如果 θ/2 + π ∈ (π, 3π/2]，那么主辐角是 θ/2 + π 2π = θ/2 π。
Ln₀(√r e^(i(θ/2 + π))) = (1/2)Lnr + i(θ/2 π)。
所以，对于 z = re^(iθ)，θ ∈ (π, π]：
Ln₀(√z 主值) = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
(Ln₀(z))/2 = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
在这种定义下，它们是相等的。
但是，如果我们将 Ln(√z) 理解为对所有可能的 √z 的对数进行集合操作，那么：
Ln(√z) 的值集合是 {(1/2)Lnr + i(θ/2 + πk) | k ∈ Z}。
而 (Lnz)/2 的值集合是 {(1/2)Lnr + i(θ/2 + πk) | k ∈ Z}。
在这两个集合层面，它们是完全相等的。
总结一下 Ln(√z) 与 (Lnz)/2 的关系：
在多值函数的集合意义下，Ln(√z) 和 (Lnz)/2 是完全相等的。 这是因为，z 的对数的加法整数倍 2πk，除以 2 后，变成了 πk，这和先取平方根后，其辐角加 π 产生的周期性是吻合的。
在主值意义下，如果 √z 的主值被定义为 √r e^(i Arg(z)/2)，那么 Ln(√z 主值) = (Ln(z))/2 是成立的。 这是因为，主辐角 Arg(z)/2 正好是 z 的主辐角 Arg(z) 除以 2 的结果，并且这个结果也落在了主值辐角的定义范围内。
关键在于如何理解和处理“多值性”和“分支 cut”。
1. Ln(z²) vs 2Lnz：
多值集合上，不相等。Ln(z²) 的对数虚部是 2Arg(z) + 2πm，而 2Lnz 的对数虚部是 2Arg(z) + 4πk。后者是前者的“稀疏版本”。
主值上，不相等。Arg(z²) 不一定等于 2Arg(z)，它们可能相差 2π 的整数倍，导致 Ln₀(z²) 和 2Ln₀(z) 在虚部上相差 2π 的整数倍。
2. Ln(√z) vs (Lnz)/2：
多值集合上，相等。两者虚部的形式都是 θ/2 + πk，k ∈ Z。
主值上，相等，前提是 √z 的主值定义为 √r e^(i Arg(z)/2)，其主值对数与 (Lnz)/2 的主值是对等的。
希望这样的解释能够清晰地阐明其中的道理，并且没有让它听起来像是由机器生成的流水账。复变函数的精妙之处，就在于这些看似微小的细节，却深刻地影响着函数的性质和运算结果。
Ln(z²) 与 2Lnz：一场关于“多值”的博弈
首先，我们需要明确复数对数函数 Ln(z) 的定义。在复数域中，z ≠ 0 时，z 的对数不是唯一的，它是一个多值函数。这是因为复数的指数函数是周期性的：
e^(w + 2πik) = e^w e^(2πik) = e^w 1 = e^w (其中 k 是任意整数)
如果我们令 w = Ln(z)，那么 e^w = z。这意味着 e^(Ln(z) + 2πik) = z。所以，z 的对数可以表示为：
Ln(z) = Ln|z| + i(arg(z) + 2πk)
其中, Ln|z| 是实数 z 的绝对值的自然对数，arg(z) 是复数 z 的辐角，也就是 z 在复平面上与正实轴的夹角。由于辐角是周期性的（每增加 2π 就回到同一点），所以我们可以选择一个主值来定义 Ln(z)，通常是取 arg(z) 在 (π, π] 范围内，我们将其记作 Arg(z)。主值的对数函数 Ln(z) 被称为“主对数”。
现在，我们来看看 Ln(z²)：
根据定义，Ln(z²) 是满足 e^w = z² 的所有复数 w。
假设 w = Ln(z²) 的一个值。那么 e^w = z²。
而 2Lnz 是 2 乘以 Ln(z) 的所有可能值。
令 Ln(z) 的一个值为 v。那么 v = Ln|z| + i(Arg(z) + 2πk) (其中 k 是任意整数)。
所以 2Lnz 的一个值就是 2v = 2Ln|z| + i(2Arg(z) + 4πk)。
让我们先从角度入手，这是最容易看出区别的地方。
对于 z = re^(iθ)，其中 r = |z| > 0，θ = Arg(z)。
那么 z² = (re^(iθ))² = r²e^(i2θ)。
所以，z² 的对数 Ln(z²) 的值是：
Ln(z²) = Ln(r²) + i(Arg(z²) + 2πm) (其中 m 是任意整数)
这里需要注意，Arg(z²) 不一定等于 2Arg(z)。
比如，如果 z = 1，那么 Arg(z) = π。
z² = (1)² = 1。 Arg(z²) = 0。
此时，2Arg(z) = 2π。
Arg(z²) = 0 和 2Arg(z) = 2π 的区别在于 2π 的整数倍。更准确地说，z² 的辐角是 2θ 加上 2π 的整数倍。
所以，z² 的对数可以写成：
Ln(z²) = Ln(r²) + i(2θ + 2πm)
现在我们看 2Lnz：
Lnz = Lnr + i(θ + 2πk) (其中 k 是任意整数)
2Lnz = 2(Lnr + i(θ + 2πk)) = 2Lnr + i(2θ + 4πk)
对比这两个表达式：
Ln(z²) = Ln(r²) + i(2θ + 2πm)
2Lnz = 2Lnr + i(2θ + 4πk)
我们可以看到，实部 Ln(r²) 和 2Lnr 是相等的，因为 r² = |z|² 且 Ln(r²) = 2Lnr。
但是，虚部：
(2θ + 2πm) vs (2θ + 4πk)
这里存在一个重要的区别。虽然两者都包含 2θ，但对数函数的周期性是以 2π 为单位的，而这里我们相差的是 2πm 和 4πk。
关键在于“分支”。
如果我们定义一个主值版本的对数函数，比如 Ln₀(z) = Ln|z| + i Arg(z)，其中 Arg(z) ∈ (π, π]。
那么，对于 Ln₀(z²)，它的辐角 Arg(z²) 应该在 (π, π] 的范围内。
如果 z = re^(iθ)，z² = r²e^(i2θ)。
Arg(z²) 是 2θ modulo 2π 的值，且位于 (π, π] 范围内。
而 2Ln₀(z) = 2(Ln|z| + i Arg(z)) = 2Lnr + i 2Arg(z)。
在这里问题就暴露出来了。
如果 θ 是一个很小的正数（比如 θ = π/4），那么 z = re^(iπ/4)。
z² = r²e^(iπ/2)。
Ln₀(z²) = Ln(r²) + i(π/2)。
2Ln₀(z) = 2(Lnr + iπ/4) = 2Lnr + iπ/2。
在这种情况下，它们是相等的。
但是，如果 θ 是一个接近 π 的值（比如 θ = 3π/4），那么 z = re^(i3π/4)。
z² = r²e^(i3π/2)。
Arg(z²) 的值是 π/2 (因为 3π/2 模 2π 后是 π/2)。
Ln₀(z²) = Ln(r²) + i(π/2)。
而 2Ln₀(z) = 2(Lnr + i3π/4) = 2Lnr + i3π/2。
此时，2Ln₀(z) 的虚部是 3π/2，而 Ln₀(z²) 的虚部是 π/2。它们相差 2π。
所以，在主值意义下，Ln₀(z²) 和 2Ln₀(z) 不一定相等。 它们的关系是：
Ln₀(z²) = 2Ln₀(z) + i2πn，其中 n 是某个整数，决定于 Arg(z) 的值，使得 Arg(z²) = Arg(z²) 的主值。
更普遍地说，如果 Ln(z) 表示 z 的所有对数值集合，那么：
Ln(z²) = {Ln|z²| + i(Arg(z²) + 2πm) | m ∈ Z}
Ln(z²) = {2Ln|z| + i(2Arg(z) + 2πm) | m ∈ Z}
而 2Lnz 表示 2 乘以 Ln(z) 的所有可能值：
2Lnz = {2(Ln|z| + i(Arg(z) + 2πk)) | k ∈ Z}
2Lnz = {2Ln|z| + i(2Arg(z) + 4πk) | k ∈ Z}
现在我们来看集合的相等性。
Ln(z²) 集合中的元素是 2Ln|z| + i(2Arg(z) + 2πm)。
2Lnz 集合中的元素是 2Ln|z| + i(2Arg(z) + 4πk)。
观察虚部：
2Arg(z) + 2πm vs 2Arg(z) + 4πk
这两个集合是相等的，因为 m 和 k 都可以取任意整数。
我们可以将 2Lnz 的集合表示为：
{2Ln|z| + i(2Arg(z) + 2π (2k)) | k ∈ Z}
令 m = 2k，由于 k 是任意整数，2k 也是任意偶数。
等等，这里又出现了一个微妙的问题。
我们定义 Arg(z²) 是 z² 的主辐角，它应该在 (π, π] 的范围内。而 2Arg(z) 可能会超出这个范围。
让我们换一种角度思考，从函数的定义域和值域入手。
考虑主对数 Ln₀(z) = Ln|z| + i Arg(z)，其中 Arg(z) ∈ (π, π]。
其定义域是 C {0}。
现在考虑 f(z) = Ln(z²) 和 g(z) = 2Lnz。
1. Ln(z²)：
当 z ≠ 0 时，z² 也是非零的。
我们取 z = re^(iθ)，其中 θ ∈ (π, π]。
z² = r²e^(i2θ)。
如果 π < θ ≤ π/2，则 0 < 2θ ≤ π。此时 Arg(z²) = 2θ。
Ln₀(z²) = Ln(r²) + i(2θ)。
2Ln₀(z) = 2(Lnr + iθ) = 2Lnr + i(2θ)。
在这个区间内，Ln₀(z²) = 2Ln₀(z)。
如果 π/2 < θ ≤ π，则 π < 2θ ≤ 2π。此时 Arg(z²) = 2θ 2π。
Ln₀(z²) = Ln(r²) + i(2θ 2π)。
2Ln₀(z) = 2(Lnr + iθ) = 2Lnr + i(2θ)。
在这种情况下，Ln₀(z²) = 2Ln₀(z) i2π。
因此，主值意义下，Ln₀(z²) 和 2Ln₀(z) 不相等。
2. 从多值函数的角度来看：
Ln(z²) = {Ln|z²| + i(arg(z²) + 2πm) | m ∈ Z}
= {2Ln|z| + i(2θ + 2πm) | m ∈ Z} （这里的 θ 是 z 的一个辐角）
2Lnz = 2 {Ln|z| + i(θ + 2πk) | k ∈ Z}
= {2Ln|z| + i(2θ + 4πk) | k ∈ Z}
现在比较这两个集合：
集合 A (Ln(z²))： {2Ln|z| + i(2θ + 2πm) | m ∈ Z}
集合 B (2Lnz)： {2Ln|z| + i(2θ + 4πk) | k ∈ Z}
我们可以看到，集合 B 中的元素形式是 2Ln|z| + i(2θ + 偶数倍的 2π)。
集合 A 中的元素形式是 2Ln|z| + i(2θ + 偶数倍的 π)。
错误修正： 上面 Arg(z²) 的处理存在误解。z² 的辐角是 2 arg(z)。当 arg(z) 变化时，2 arg(z) 的变化范围是原来的两倍。
让我们重新审视：
设 z = r e^{i heta}。
Ln(z) = Ln r + i( heta + 2pi k), k in mathbb{Z}
2Lnz = 2(Ln r + i( heta + 2pi k)) = 2Ln r + i(2 heta + 4pi k), k in mathbb{Z}
z² = r^2 e^{i2 heta}
Ln(z²) = Ln(r^2) + i(2 heta + 2pi m), m in mathbb{Z}
Ln(z²) = 2Ln r + i(2 heta + 2pi m), m in mathbb{Z}
现在比较两个集合：
集合 A (2Lnz): {2Ln r + i(2 heta + 4pi k) | k in mathbb{Z}}
集合 B (Ln(z²)): {2Ln r + i(2 heta + 2pi m) | m in mathbb{Z}}
这两个集合的虚部是：
A: 2 heta + 4pi k
B: 2 heta + 2pi m
这里我们可以看到，集合 B 中的值是集合 A 中值的“更密集”的版本。
例如，如果 2θ 是一个特定的值，集合 A 中的虚部可以取值为 2θ, 2θ + 4π, 2θ 4π, ...
集合 B 中的虚部可以取值为 2θ, 2θ + 2π, 2θ + 4π, 2θ + 6π, 2θ 2π, ...
因此，Ln(z²) 的值集合是 2Lnz 的值集合的一个真子集。它们不相等。
什么时候它们会“看起来”相等？
当我们只关注主值，并且 Arg(z) 满足某个条件时。
如前所述，如果 π < θ ≤ π/2，则 Ln₀(z²) = 2Ln₀(z)。
如果 π/2 < θ ≤ π，则 Ln₀(z²) = 2Ln₀(z) i2π。
结论：Ln(z²) 与 2Lnz 在多值函数意义下不相等，因为它们的对数集合不同。在主值意义下也不相等，因为分支 cut 的存在导致虚部可能相差 2π 的整数倍。
Ln(√z) 与 (Lnz)/2：分支上的微妙差异
我们来分析 Ln(√z) 和 (Lnz)/2。
首先，√z 是一个多值函数。对于 z = re^(iθ)，√z 可以表示为：
√z = √r e^(i(θ + 2πk)/2) = √r e^(i(θ/2 + πk)) (k = 0, 1)
所以 √z 有两个值：
√z₁ = √r e^(iθ/2) (当 k=0)
√z₂ = √r e^(i(θ/2 + π)) = √r e^(iθ/2) e^(iπ) = √r e^(iθ/2) (当 k=1)
现在看 Ln(√z)：
Ln(√z) = Ln(√z 的所有可能值)
Ln(√z) = Ln(√r e^(i(θ/2 + πk))) k=0, 1
Ln(√z) = Ln(√r) + i(θ/2 + πk + 2πm) (其中 m 是任意整数)
Ln(√z) = (1/2)Lnr + i(θ/2 + π(k + 2m))
令 K = k + 2m。由于 k 可以是 0 或 1，m 可以是任意整数，那么 K 的取值范围是所有整数。
所以 Ln(√z) = (1/2)Lnr + i(θ/2 + πK) (K ∈ Z)
现在看 (Lnz)/2：
Lnz = Lnr + i(θ + 2πk) (k ∈ Z)
(Lnz)/2 = (1/2)Lnr + i(θ/2 + πk) (k ∈ Z)
对比 Ln(√z) 和 (Lnz)/2 的虚部：
Ln(√z) 的虚部： θ/2 + πK (K ∈ Z)
(Lnz)/2 的虚部： θ/2 + πk (k ∈ Z)
这两个虚部的形式是完全一样的！ 它们都表示 θ/2 加上 π 的任意整数倍。
因此，在多值函数意义下，Ln(√z) 和 (Lnz)/2 是相等的。
但是，当我们谈论主值时，情况又会变得微妙。
让我们使用主对数 Ln₀(z) = Ln|z| + i Arg(z)，其中 Arg(z) ∈ (π, π]。
考虑 f(z) = Ln₀(√z) 和 g(z) = (Ln₀(z))/2。
设 z = re^(iθ)，其中 θ ∈ (π, π]。
1. Ln₀(√z)：
√z 的两个值是 √r e^(iθ/2) 和 √r e^(i(θ/2 + π))。
对于 √z₁ = √r e^(iθ/2)：
此时 θ/2 ∈ (π/2, π/2]。这是 √z₁ 的主辐角。
Ln₀(√z₁) = Ln(√r) + i(θ/2) = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
对于 √z₂ = √r e^(i(θ/2 + π))：
此时 θ/2 + π 的值可能不在 (π, π] 的范围内。
如果 θ/2 ∈ (π/2, π/2]，那么 θ/2 + π ∈ (π/2, 3π/2]。
在这个范围内，主辐角是 (θ/2 + π) 2π = θ/2 π。
Ln₀(√z₂) = Ln(√r) + i(θ/2 π) = (1/2)Lnr + i(θ/2 π)。
这里有一个关键点：Ln₀(√z) 的定义是将 √z 的所有值都取对数，然后取主值。
如果直接对 √z 的主值取对数，那么我们需要先定义 √z 的主值。
通常，我们定义 √z 的主值为 √r e^(i Arg(z)/2)，其中 Arg(z)/2 ∈ (π/2, π/2]。
在这种定义下，√z 的主值是 √r e^(iθ/2)。
那么，Ln₀(√z 主值) = Ln(√r) + i(θ/2) = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
2. (Ln₀(z))/2：
Ln₀(z) = Lnr + iθ。
(Ln₀(z))/2 = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
从这个角度看，Ln₀(√z 主值) = (Ln₀(z))/2。
然而，情况并非总是如此简单，让我们审视一下对数函数和平方根函数在复变函数中的行为。
对数函数 Ln(z) 的分支 cut 通常沿着负实轴 (θ = π)。
平方根函数 √z 的分支 cut 通常沿着负实轴。
当我们将一个数 z 的平方根取出来，然后对这个平方根取对数时，可能会遇到问题。
考虑 z = 1。
Lnz = Ln(1) = Ln(1) + i(π + 2πk) = i(π + 2πk)。
(Lnz)/2 = i(π/2 + πk)。
如果取主值，(Ln₀(1))/2 = iπ/2。
√z = √(1)。√(1) 的两个值是 i 和 i。
Ln(i) = Ln(1) + i(π/2 + 2πm) = i(π/2 + 2πm)。
Ln(i) = Ln(1) + i(π/2 + 2πm) = i(π/2 + 2πm)。
Ln(√z) 的值是 {i(π/2 + 2πm), i(π/2 + 2πm) | m ∈ Z}。
Ln(√z) = {i(π/2 + πk) | k ∈ Z} （合并了两个集合）
对比：
(Lnz)/2 = {i(π/2 + πk) | k ∈ Z}
Ln(√z) = {i(π/2 + πk) | k ∈ Z}
从多值函数的集合来看，它们是相等的。
现在再回到主值和分支 cut。
如果我们的定义域避免了分支 cut，那么等式会更稳定。
对于 Ln(z)，其主值 Ln₀(z) 的分支 cut 是负实轴。
对于 √z，其主值通常定义为 √r e^(i Arg(z)/2)，其分支 cut 也是负实轴。
设 z = r e^(iθ)，其中 θ ∈ (π, π]。
Ln₀(z) = Lnr + iθ。
(Ln₀(z))/2 = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
√z 的主值是 √r e^(iθ/2)。由于 θ ∈ (π, π]，θ/2 ∈ (π/2, π/2]。
所以 θ/2 就是 √z 的主辐角。
Ln₀(√z 主值) = Ln(√r) + i(θ/2) = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
在这种情况下，Ln₀(√z 主值) = (Ln₀(z))/2 是成立的。
但是，如果我们将 Ln(√z) 理解为先计算 √z 的所有值，然后对每个值取对数，并且最终对这些对数的主值进行考虑，情况就更复杂。
我们已经看到，√z 有两个值：√r e^(iθ/2) 和 √r e^(i(θ/2 + π))。
Ln₀(√r e^(iθ/2)) = (1/2)Lnr + i(θ/2) （因为 θ/2 在主值范围内）
Ln₀(√r e^(i(θ/2 + π))) = (1/2)Lnr + i(θ/2 + π) （因为 θ/2 + π 如果大于 π，其主辐角就是 θ/2 + π 2π）
这里需要再次小心处理 θ/2 + π 的主辐角。
如果 θ ∈ (π, π]，那么 θ/2 ∈ (π/2, π/2]。
所以 θ/2 + π ∈ (π/2, 3π/2]。
如果 θ/2 + π ∈ (π/2, π]，那么主辐角是 θ/2 + π。
Ln₀(√r e^(i(θ/2 + π))) = (1/2)Lnr + i(θ/2 + π)。
如果 θ/2 + π ∈ (π, 3π/2]，那么主辐角是 θ/2 + π 2π = θ/2 π。
Ln₀(√r e^(i(θ/2 + π))) = (1/2)Lnr + i(θ/2 π)。
所以，对于 z = re^(iθ)，θ ∈ (π, π]：
Ln₀(√z 主值) = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
(Ln₀(z))/2 = (1/2)Lnr + i(θ/2)。
在这种定义下，它们是相等的。
但是，如果我们将 Ln(√z) 理解为对所有可能的 √z 的对数进行集合操作，那么：
Ln(√z) 的值集合是 {(1/2)Lnr + i(θ/2 + πk) | k ∈ Z}。
而 (Lnz)/2 的值集合是 {(1/2)Lnr + i(θ/2 + πk) | k ∈ Z}。
在这两个集合层面，它们是完全相等的。
总结一下 Ln(√z) 与 (Lnz)/2 的关系：
在多值函数的集合意义下，Ln(√z) 和 (Lnz)/2 是完全相等的。 这是因为，z 的对数的加法整数倍 2πk，除以 2 后，变成了 πk，这和先取平方根后，其辐角加 π 产生的周期性是吻合的。
在主值意义下，如果 √z 的主值被定义为 √r e^(i Arg(z)/2)，那么 Ln(√z 主值) = (Ln(z))/2 是成立的。 这是因为，主辐角 Arg(z)/2 正好是 z 的主辐角 Arg(z) 除以 2 的结果，并且这个结果也落在了主值辐角的定义范围内。
关键在于如何理解和处理“多值性”和“分支 cut”。
1. Ln(z²) vs 2Lnz：
多值集合上，不相等。Ln(z²) 的对数虚部是 2Arg(z) + 2πm，而 2Lnz 的对数虚部是 2Arg(z) + 4πk。后者是前者的“稀疏版本”。
主值上，不相等。Arg(z²) 不一定等于 2Arg(z)，它们可能相差 2π 的整数倍，导致 Ln₀(z²) 和 2Ln₀(z) 在虚部上相差 2π 的整数倍。
2. Ln(√z) vs (Lnz)/2：
多值集合上，相等。两者虚部的形式都是 θ/2 + πk，k ∈ Z。
主值上，相等，前提是 √z 的主值定义为 √r e^(i Arg(z)/2)，其主值对数与 (Lnz)/2 的主值是对等的。
希望这样的解释能够清晰地阐明其中的道理，并且没有让它听起来像是由机器生成的流水账。复变函数的精妙之处，就在于这些看似微小的细节，却深刻地影响着函数的性质和运算结果。
网友意见
初学者一般会对多值性产生困惑，题主这个是非常经典的问题。先说结论：
- 前一个未必相等
- 后一个相等（题目中的“根号”视作是多值；如果题目中的“根号”是指根号的一个分支，那么不相等）
前一个
由于 多值，所以一般把它当作集合来处理。然后集合相加定义为集合中每个数相加，集合相乘定义为集合中每个数相乘，一个数与集合相加/相乘定义为这个数与集合中每个数相加/相乘，函数作用在集合上相当于函数作用在集合的每个数，等等。
严格的定义是， （注意 是多值的辐角函数，是一个集合，这个式子是上面说的一个数与集合相加的情形）。
可以证明： ，所以似乎有如下推理：
可是，最后一个等号是错的！即事实上 。这是为什么呢？举一个例子你就知道了：
说了这么多，我相信你也应该意识到问题出在哪了。根据这个，我们就很容易构造反例了：
设 ，则
后一个
设 ，其中 ， ，则
再次提醒一下以上是把“根号”当成多值来处理。如果题目中的“根号”是指其中一个分支，那么就不再相等，其实就是上面推导过程中的两个并集会被去掉一个。
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