学随机分析需要把实分析和泛函学的很深吗?
写这玩意儿前，我先跟你唠唠嗑，咱们就当是聊天。你要是想学随机分析，那实分析和泛函分析这两块儿，得多下点功夫。不是说你得成为这些领域的“大师”，但至少得有个扎实的基础，不然学起来就像盖楼没打地基，容易塌。
为什么实分析这么重要？
你学随机分析，离不开“测度论”这个东西。测度论的核心思想是什么？就是给一些“集合”赋予“大小”或者“量”。在随机分析里，这个“大小”往往跟“概率”挂钩。你想想，概率本身不就是一个介于0到1之间的数嘛，这不就是一种“度量”？
实分析里头的几个核心概念，比如：
可测集合和可测函数： 这是测度论的基础。在随机分析里，我们处理的往往是随机变量，而随机变量本质上就是定义在样本空间上的可测函数。样本空间里的一些“事件”（比如“硬币正面朝上”）需要能够被“测量”，也就是构成可测集合。如果你对这些概念模模糊糊，那后面定义随机变量、期望值什么的，你就抓不住本质。
积分（勒贝格积分）： 你要知道，随机分析里头的“期望”很大程度上就是通过积分来定义的。而且，它用的是勒贝格积分，这比咱们小学初中学的黎曼积分要强大得多，能够处理更多更复杂的情况，尤其是在处理极限和随机过程的时候。勒贝格积分的理论基础，比如收敛定理（单调收敛定理、控制收敛定理），在随机分析里简直是吃饭的家伙，没有它们，很多证明都没法进行。
收敛性（依概率收敛、几乎处处收敛、依分布收敛等）： 随机分析研究的是随机过程的性质，这些过程会随着时间或其他参数变化。所以，理解不同类型的收敛性至关重要。这些概念都来源于实分析，你得知道它们各自的含义以及相互之间的关系。比如，大数定律讲的就是样本均值依概率收敛于期望值，中心极限定理讲的是标准化后的样本均值依分布收敛于正态分布。
泛函分析呢？它又是怎么回事儿？
泛函分析是研究“函数空间”的学科。听起来有点抽象，但它在随机分析里扮演着非常重要的角色，尤其是在研究随机过程的“性质”和“表示”时。
向量空间和赋范线性空间： 很多随机分析里的对象，比如随机变量的集合，或者随机过程的实现，都可以看作是向量空间里的元素。有时候我们还需要给这些元素赋予一个“范数”，衡量它们的“大小”或者“距离”，这就变成了赋范线性空间。
完备性（巴拿赫空间）和内积空间（希尔伯特空间）： 这是泛函分析的核心概念。许多重要的随机过程（比如布朗运动）可以被看作是希尔伯特空间里的元素，或者与希尔伯特空间里的对象有密切联系。比如，平方可积随机变量的集合构成一个希尔伯特空间，而且很多随机分析的工具，比如投影定理，都是在希尔伯特空间里建立起来的。
线性算子和有界线性算子： 在随机分析中，我们经常要处理对随机变量进行操作的“算子”，比如期望算子、移位算子等。这些算子的性质研究，很多都依赖于泛函分析的工具。
收敛性（在泛函空间中的收敛）： 在泛函分析中，我们不仅关心函数本身的收敛，还关心函数序列在特定范数下的收敛。这在随机分析中用来衡量随机过程的“逼近”或者“稳定性”。
为什么说“越深越好”？
当然，我说的“深”不是让你去钻研非常高深的、专门的泛函分析理论。而是说，你得把那些在随机分析里会用到的核心概念和定理弄明白，并且能够灵活运用。
理解的深度： 有了扎实的实分析和泛函分析基础，你在学随机分析的时候，很多地方会觉得“哦，原来是这样”，而不是“这是什么鬼东西”。比如，当老师讲到伊藤公式（Ito's Lemma）的时候，如果你理解了勒贝格积分的性质、以及某些函数空间的结构，你会更容易理解为什么伊藤公式的形式是这样的，以及它背后的一些数学直觉。
证明的严谨性： 随机分析里有很多严谨的证明，这些证明的步骤往往会涉及到实分析和泛函分析的定理和技巧。如果你对这些基础知识不熟悉，光看证明会感觉云里雾里，难以把握。
解决问题的能力： 遇到新的、稍微复杂一点的问题时，扎实的基础能让你知道从哪里入手，用哪些工具去分析。比如，你想研究某个随机过程的二阶矩，你就需要用到期望的定义和积分的性质；你想分析一个随机微分方程的解的性质，你可能就需要用到函数空间的范数和收敛性。
给你的建议：
1. 从基础教材入手： 先把你学校里推荐的实分析和泛函分析的教材看一遍，或者找一些经典的入门教材，比如Royden的《Real Analysis》或者Kolmogorov & Fomin的《Introductory Real Analysis》来打基础。泛函分析的话，可以看看Kreyszig的《Introductory Functional Analysis with Applications》之类的。
2. 重点关注： 在学实分析时，重点理解测度论、勒贝格积分及其收敛定理。学泛函分析时，重点理解赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间及其基本性质。
3. 同步学习和实践： 在开始学随机分析的教材之前，如果你觉得基础不牢固，可以把相关的实分析和泛函分析章节再复习一下。然后在学习随机分析的过程中，如果遇到不熟悉的数学工具，及时回过头去查阅和理解。多做练习题，用实际例子来加深对概念的理解。
4. 目标明确： 你不是要去成为实分析或泛函分析的专家，你的目标是学好随机分析。所以，在复习基础知识的时候，要有针对性，把最核心、最常用的部分吃透。
总而言之，学随机分析就像盖一座更宏伟的建筑，实分析和泛函分析就是那地基和承重墙。没有它们，再漂亮的屋顶和装饰也站不住脚。所以，别怕花时间在基础上面，这绝对是值得的。祝你学习顺利！
为什么实分析这么重要？
你学随机分析，离不开“测度论”这个东西。测度论的核心思想是什么？就是给一些“集合”赋予“大小”或者“量”。在随机分析里，这个“大小”往往跟“概率”挂钩。你想想，概率本身不就是一个介于0到1之间的数嘛，这不就是一种“度量”？
实分析里头的几个核心概念，比如：
可测集合和可测函数： 这是测度论的基础。在随机分析里，我们处理的往往是随机变量，而随机变量本质上就是定义在样本空间上的可测函数。样本空间里的一些“事件”（比如“硬币正面朝上”）需要能够被“测量”，也就是构成可测集合。如果你对这些概念模模糊糊，那后面定义随机变量、期望值什么的，你就抓不住本质。
积分（勒贝格积分）： 你要知道，随机分析里头的“期望”很大程度上就是通过积分来定义的。而且，它用的是勒贝格积分，这比咱们小学初中学的黎曼积分要强大得多，能够处理更多更复杂的情况，尤其是在处理极限和随机过程的时候。勒贝格积分的理论基础，比如收敛定理（单调收敛定理、控制收敛定理），在随机分析里简直是吃饭的家伙，没有它们，很多证明都没法进行。
收敛性（依概率收敛、几乎处处收敛、依分布收敛等）： 随机分析研究的是随机过程的性质，这些过程会随着时间或其他参数变化。所以，理解不同类型的收敛性至关重要。这些概念都来源于实分析，你得知道它们各自的含义以及相互之间的关系。比如，大数定律讲的就是样本均值依概率收敛于期望值，中心极限定理讲的是标准化后的样本均值依分布收敛于正态分布。
泛函分析呢？它又是怎么回事儿？
泛函分析是研究“函数空间”的学科。听起来有点抽象，但它在随机分析里扮演着非常重要的角色，尤其是在研究随机过程的“性质”和“表示”时。
向量空间和赋范线性空间： 很多随机分析里的对象，比如随机变量的集合，或者随机过程的实现，都可以看作是向量空间里的元素。有时候我们还需要给这些元素赋予一个“范数”，衡量它们的“大小”或者“距离”，这就变成了赋范线性空间。
完备性（巴拿赫空间）和内积空间（希尔伯特空间）： 这是泛函分析的核心概念。许多重要的随机过程（比如布朗运动）可以被看作是希尔伯特空间里的元素，或者与希尔伯特空间里的对象有密切联系。比如，平方可积随机变量的集合构成一个希尔伯特空间，而且很多随机分析的工具，比如投影定理，都是在希尔伯特空间里建立起来的。
线性算子和有界线性算子： 在随机分析中，我们经常要处理对随机变量进行操作的“算子”，比如期望算子、移位算子等。这些算子的性质研究，很多都依赖于泛函分析的工具。
收敛性（在泛函空间中的收敛）： 在泛函分析中，我们不仅关心函数本身的收敛，还关心函数序列在特定范数下的收敛。这在随机分析中用来衡量随机过程的“逼近”或者“稳定性”。
为什么说“越深越好”？
当然，我说的“深”不是让你去钻研非常高深的、专门的泛函分析理论。而是说，你得把那些在随机分析里会用到的核心概念和定理弄明白，并且能够灵活运用。
理解的深度： 有了扎实的实分析和泛函分析基础，你在学随机分析的时候，很多地方会觉得“哦，原来是这样”，而不是“这是什么鬼东西”。比如，当老师讲到伊藤公式（Ito's Lemma）的时候，如果你理解了勒贝格积分的性质、以及某些函数空间的结构，你会更容易理解为什么伊藤公式的形式是这样的，以及它背后的一些数学直觉。
证明的严谨性： 随机分析里有很多严谨的证明，这些证明的步骤往往会涉及到实分析和泛函分析的定理和技巧。如果你对这些基础知识不熟悉，光看证明会感觉云里雾里，难以把握。
解决问题的能力： 遇到新的、稍微复杂一点的问题时，扎实的基础能让你知道从哪里入手，用哪些工具去分析。比如，你想研究某个随机过程的二阶矩，你就需要用到期望的定义和积分的性质；你想分析一个随机微分方程的解的性质，你可能就需要用到函数空间的范数和收敛性。
给你的建议：
1. 从基础教材入手： 先把你学校里推荐的实分析和泛函分析的教材看一遍，或者找一些经典的入门教材，比如Royden的《Real Analysis》或者Kolmogorov & Fomin的《Introductory Real Analysis》来打基础。泛函分析的话，可以看看Kreyszig的《Introductory Functional Analysis with Applications》之类的。
2. 重点关注： 在学实分析时，重点理解测度论、勒贝格积分及其收敛定理。学泛函分析时，重点理解赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间及其基本性质。
3. 同步学习和实践： 在开始学随机分析的教材之前，如果你觉得基础不牢固，可以把相关的实分析和泛函分析章节再复习一下。然后在学习随机分析的过程中，如果遇到不熟悉的数学工具，及时回过头去查阅和理解。多做练习题，用实际例子来加深对概念的理解。
4. 目标明确： 你不是要去成为实分析或泛函分析的专家，你的目标是学好随机分析。所以，在复习基础知识的时候，要有针对性，把最核心、最常用的部分吃透。
总而言之，学随机分析就像盖一座更宏伟的建筑，实分析和泛函分析就是那地基和承重墙。没有它们，再漂亮的屋顶和装饰也站不住脚。所以，别怕花时间在基础上面，这绝对是值得的。祝你学习顺利！
网友意见
实分析其实最好过一遍测度论，甚至你看了严加安的测度论就没有必要看实分析了，测度是现代分析和概率的基础，必须学深了，严加安那本书除了拓扑空间上的radon测度外，其他都过一遍就差不多够了。(radon测度主要是后面dirichlet型理论需要在一般拓扑空间上构造右过程和hunt过程)另外，测度论里面的条件期望什么的必须滚瓜烂熟了，鞅的定义就是基于这个。然后还有一点，l–s测度最好也要比较清楚(严加安那本书也会讲，实际上就是R上的radon测度，这个可以结合实分析来看，因为l–s测度跟有界变差函数，增函数有着密切的关系)，随机分析里面要求被积函数平方关于右连续过程对应的l–s测度的积分有限，这一点会涉及到。它是R上概率测度和勒贝格测度的推广。所以测度论是非常基础重要的。如果实在懒，过一遍北师大的测度与概率也差不多了，该讲的里面也都会讲。
然后泛函分析其实把张恭庆泛函分析上册过一遍其实够了(如果实在懒，就学完第一部分，至少知道度量空间，banach空间和hilbert空间吧)，不学这些直接学随机分析的话，有点像不学测度论直接学概率论，有种便秘的感觉。学了泛函分析你更好理解ito积分本质上是L^2空间到L^2空间的保范线性映射，你知道保范自然就记住ito积分平方的期望是多少了。而且布朗运动的构造其实跟泛函分析里面的弱收敛很像，它用的是概率论里面的弱收敛，构造了wiener测度，很多随机微分方程理论(如鞅问题)需要用到这个特殊的构造。
其实随机分析最好过一遍shreve的布朗运动和随机计算那本书，那个虽然有点难，但你如果用oksendal的话学完只会计算，但很快就忘了这个体系，以及很多东西那本书是讲不清楚的，比如一个过程关于布朗运动的ito积分它可能不是L^2鞅，而是局部鞅，但oksendal只定义了鞅和关于布朗运动的积分，它里面的ito过程其实是半鞅，就像明明一个三维的东西，用一维来解释，当然说不清楚了。
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