问题

学随机分析需要把实分析和泛函学的很深吗?

回答
写这玩意儿前,我先跟你唠唠嗑,咱们就当是聊天。你要是想学随机分析,那实分析和泛函分析这两块儿,得多下点功夫。不是说你得成为这些领域的“大师”,但至少得有个扎实的基础,不然学起来就像盖楼没打地基,容易塌。

为什么实分析这么重要?

你学随机分析,离不开“测度论”这个东西。测度论的核心思想是什么?就是给一些“集合”赋予“大小”或者“量”。在随机分析里,这个“大小”往往跟“概率”挂钩。你想想,概率本身不就是一个介于0到1之间的数嘛,这不就是一种“度量”?

实分析里头的几个核心概念,比如:

可测集合和可测函数: 这是测度论的基础。在随机分析里,我们处理的往往是随机变量,而随机变量本质上就是定义在样本空间上的可测函数。样本空间里的一些“事件”(比如“硬币正面朝上”)需要能够被“测量”,也就是构成可测集合。如果你对这些概念模模糊糊,那后面定义随机变量、期望值什么的,你就抓不住本质。
积分(勒贝格积分): 你要知道,随机分析里头的“期望”很大程度上就是通过积分来定义的。而且,它用的是勒贝格积分,这比咱们小学初中学的黎曼积分要强大得多,能够处理更多更复杂的情况,尤其是在处理极限和随机过程的时候。勒贝格积分的理论基础,比如收敛定理(单调收敛定理、控制收敛定理),在随机分析里简直是吃饭的家伙,没有它们,很多证明都没法进行。
收敛性(依概率收敛、几乎处处收敛、依分布收敛等): 随机分析研究的是随机过程的性质,这些过程会随着时间或其他参数变化。所以,理解不同类型的收敛性至关重要。这些概念都来源于实分析,你得知道它们各自的含义以及相互之间的关系。比如,大数定律讲的就是样本均值依概率收敛于期望值,中心极限定理讲的是标准化后的样本均值依分布收敛于正态分布。

泛函分析呢?它又是怎么回事儿?

泛函分析是研究“函数空间”的学科。听起来有点抽象,但它在随机分析里扮演着非常重要的角色,尤其是在研究随机过程的“性质”和“表示”时。

向量空间和赋范线性空间: 很多随机分析里的对象,比如随机变量的集合,或者随机过程的实现,都可以看作是向量空间里的元素。有时候我们还需要给这些元素赋予一个“范数”,衡量它们的“大小”或者“距离”,这就变成了赋范线性空间。
完备性(巴拿赫空间)和内积空间(希尔伯特空间): 这是泛函分析的核心概念。许多重要的随机过程(比如布朗运动)可以被看作是希尔伯特空间里的元素,或者与希尔伯特空间里的对象有密切联系。比如,平方可积随机变量的集合构成一个希尔伯特空间,而且很多随机分析的工具,比如投影定理,都是在希尔伯特空间里建立起来的。
线性算子和有界线性算子: 在随机分析中,我们经常要处理对随机变量进行操作的“算子”,比如期望算子、移位算子等。这些算子的性质研究,很多都依赖于泛函分析的工具。
收敛性(在泛函空间中的收敛): 在泛函分析中,我们不仅关心函数本身的收敛,还关心函数序列在特定范数下的收敛。这在随机分析中用来衡量随机过程的“逼近”或者“稳定性”。

为什么说“越深越好”?

当然,我说的“深”不是让你去钻研非常高深的、专门的泛函分析理论。而是说,你得把那些在随机分析里会用到的核心概念和定理弄明白,并且能够灵活运用。

理解的深度: 有了扎实的实分析和泛函分析基础,你在学随机分析的时候,很多地方会觉得“哦,原来是这样”,而不是“这是什么鬼东西”。比如,当老师讲到伊藤公式(Ito's Lemma)的时候,如果你理解了勒贝格积分的性质、以及某些函数空间的结构,你会更容易理解为什么伊藤公式的形式是这样的,以及它背后的一些数学直觉。
证明的严谨性: 随机分析里有很多严谨的证明,这些证明的步骤往往会涉及到实分析和泛函分析的定理和技巧。如果你对这些基础知识不熟悉,光看证明会感觉云里雾里,难以把握。
解决问题的能力: 遇到新的、稍微复杂一点的问题时,扎实的基础能让你知道从哪里入手,用哪些工具去分析。比如,你想研究某个随机过程的二阶矩,你就需要用到期望的定义和积分的性质;你想分析一个随机微分方程的解的性质,你可能就需要用到函数空间的范数和收敛性。

给你的建议:

1. 从基础教材入手: 先把你学校里推荐的实分析和泛函分析的教材看一遍,或者找一些经典的入门教材,比如Royden的《Real Analysis》或者Kolmogorov & Fomin的《Introductory Real Analysis》来打基础。泛函分析的话,可以看看Kreyszig的《Introductory Functional Analysis with Applications》之类的。
2. 重点关注: 在学实分析时,重点理解测度论、勒贝格积分及其收敛定理。学泛函分析时,重点理解赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间及其基本性质。
3. 同步学习和实践: 在开始学随机分析的教材之前,如果你觉得基础不牢固,可以把相关的实分析和泛函分析章节再复习一下。然后在学习随机分析的过程中,如果遇到不熟悉的数学工具,及时回过头去查阅和理解。多做练习题,用实际例子来加深对概念的理解。
4. 目标明确: 你不是要去成为实分析或泛函分析的专家,你的目标是学好随机分析。所以,在复习基础知识的时候,要有针对性,把最核心、最常用的部分吃透。

总而言之,学随机分析就像盖一座更宏伟的建筑,实分析和泛函分析就是那地基和承重墙。没有它们,再漂亮的屋顶和装饰也站不住脚。所以,别怕花时间在基础上面,这绝对是值得的。祝你学习顺利!

网友意见

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实分析其实最好过一遍测度论,甚至你看了严加安的测度论就没有必要看实分析了,测度是现代分析和概率的基础,必须学深了,严加安那本书除了拓扑空间上的radon测度外,其他都过一遍就差不多够了。(radon测度主要是后面dirichlet型理论需要在一般拓扑空间上构造右过程和hunt过程)另外,测度论里面的条件期望什么的必须滚瓜烂熟了,鞅的定义就是基于这个。然后还有一点,l–s测度最好也要比较清楚(严加安那本书也会讲,实际上就是R上的radon测度,这个可以结合实分析来看,因为l–s测度跟有界变差函数,增函数有着密切的关系),随机分析里面要求被积函数平方关于右连续过程对应的l–s测度的积分有限,这一点会涉及到。它是R上概率测度和勒贝格测度的推广。所以测度论是非常基础重要的。如果实在懒,过一遍北师大的测度与概率也差不多了,该讲的里面也都会讲。

然后泛函分析其实把张恭庆泛函分析上册过一遍其实够了(如果实在懒,就学完第一部分,至少知道度量空间,banach空间和hilbert空间吧),不学这些直接学随机分析的话,有点像不学测度论直接学概率论,有种便秘的感觉。学了泛函分析你更好理解ito积分本质上是L^2空间到L^2空间的保范线性映射,你知道保范自然就记住ito积分平方的期望是多少了。而且布朗运动的构造其实跟泛函分析里面的弱收敛很像,它用的是概率论里面的弱收敛,构造了wiener测度,很多随机微分方程理论(如鞅问题)需要用到这个特殊的构造。

其实随机分析最好过一遍shreve的布朗运动和随机计算那本书,那个虽然有点难,但你如果用oksendal的话学完只会计算,但很快就忘了这个体系,以及很多东西那本书是讲不清楚的,比如一个过程关于布朗运动的ito积分它可能不是L^2鞅,而是局部鞅,但oksendal只定义了鞅和关于布朗运动的积分,它里面的ito过程其实是半鞅,就像明明一个三维的东西,用一维来解释,当然说不清楚了。



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