怎样求空间中直线绕轴旋转的方程？

好的，我们来聊聊如何在空间中求一条直线绕一个轴旋转形成的曲面的方程。这玩意儿听起来有点抽象，但拆开来看，就没那么难了。

想象一下，你手里有一根细长的棒子，它就是我们要旋转的直线。然后，你有一个固定的旋转轴，就像一个主心骨一样。我们要做的，就是把这根棒子围绕着主心骨不停地转圈。当棒子转过一整圈（或者更多），它扫过的所有空间点就构成了一个曲面。我们要做的，就是找到这个曲面的数学“身份”——也就是它的方程。

理解问题的核心：点到旋转轴的距离不变

最关键的一点是，当直线绕轴旋转时，直线上的每一个点到这个旋转轴的距离是恒定不变的。这就是我们求解方程的突破口。

第一步：建立坐标系和确定直线与轴

首先，我们需要一个三维坐标系（x, y, z）。然后，我们需要明确：

1. 要旋转的直线 (L1)：怎样描述它？最常用的方法是用参数方程。假设这条直线上的一个已知点是 $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$，并且它有一个方向向量 $mathbf{v} = (a, b, c)$。那么，直线L1上的任意一点 $P(x, y, z)$ 都可以表示为：
$x = x_0 + at$
$y = y_0 + bt$
$z = z_0 + ct$
其中，$t$ 是一个参数，可以取任意实数。

2. 旋转的轴 (L)：怎么描述它？同样，我们可以用参数方程。假设轴L上的一个已知点是 $A = (x_a, y_a, z_a)$，并且它有一个方向向量 $mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$。为了方便计算，我们可以将轴的方向向量单位化，也就是说，让 $mathbf{u}$ 的模长（长度）为1。如果 $mathbf{u}$ 的模长不是1，我们就用 $mathbf{u}$ 除以它的模长 $||mathbf{u}|| = sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$ 来得到单位方向向量 $mathbf{hat{u}} = (frac{u_1}{||mathbf{u}||}, frac{u_2}{||mathbf{u}||}, frac{u_3}{||mathbf{u}||})$。

第二步：选取直线上的任意一点，并计算它到轴的距离

我们已经知道直线L1上的任意一点 $P(x, y, z)$ 满足上面的参数方程。现在，我们要计算点 $P$ 到旋转轴 L 的距离。

回想一下，点到直线的距离公式：点 $P$ 到经过点 $A$ 且方向向量为 $mathbf{hat{u}}$ 的直线 L 的距离 $d$ 可以用向量叉乘来计算：

$d = ||vec{AP} imes mathbf{hat{u}}||$

其中，$vec{AP}$ 是从轴上的点 $A$ 指向直线上的点 $P$ 的向量：
$vec{AP} = P A = (x x_a, y y_a, z z_a)$

所以，距离的平方 $d^2$ 是：
$d^2 = ||vec{AP} imes mathbf{hat{u}}||^2$

第三步：引入旋转的概念——距离不变的推广

现在，我们知道直线L1上的任意一点 $P$ 经过旋转后，它在旋转过程中扫过的所有点，都与旋转轴上的点 $A$ 的距离是相等的，这个距离就是 $P$ 原始位置到旋转轴 L 的距离 $d$。

关键在于，对于直线L1上的任意一点 $P(x, y, z)$，它的到旋转轴 L 的距离，在旋转过程中是不变的。

所以，如果我们取直线L1上的任意一个点 $P(x, y, z)$，计算它到旋转轴 L 的距离，这个距离的平方 $d^2$ 应该是一个常数，这个常数就是由直线L1和旋转轴L的位置关系决定的。

第三步（更详细的解释）：

设直线L1上的任意一点为 $P(x, y, z)$。
设旋转轴L上任意一点为 $A(x_a, y_a, z_a)$，其单位方向向量为 $mathbf{hat{u}} = (u_1, u_2, u_3)$。

点 $P$ 到旋转轴 L 的距离的平方 $d^2$ 可以这样计算：

1. 构造向量 $vec{AP}$：
$vec{AP} = (x x_a, y y_a, z z_a)$

2. 计算 $vec{AP}$ 在 $mathbf{hat{u}}$ 方向上的投影长度：
投影向量是 $(vec{AP} cdot mathbf{hat{u}}) mathbf{hat{u}}$。
投影长度是 $vec{AP} cdot mathbf{hat{u}} = (x x_a)u_1 + (y y_a)u_2 + (z z_a)u_3$。

3. 计算 $vec{AP}$ 垂直于 $mathbf{hat{u}}$ 方向的分量向量：
这个分量向量是 $vec{AP} (vec{AP} cdot mathbf{hat{u}}) mathbf{hat{u}}$。

4. 点 $P$ 到旋转轴 L 的距离的平方 $d^2$，就是这个垂直分量向量的模长的平方：
$d^2 = ||vec{AP} (vec{AP} cdot mathbf{hat{u}}) mathbf{hat{u}}||^2$

根据勾股定理，$||vec{AP}||^2 = ||(vec{AP} cdot mathbf{hat{u}}) mathbf{hat{u}}||^2 + ||vec{AP} (vec{AP} cdot mathbf{hat{u}}) mathbf{hat{u}}||^2$。
所以，$d^2 = ||vec{AP}||^2 ||(vec{AP} cdot mathbf{hat{u}}) mathbf{hat{u}}||^2$。

展开就是：
$d^2 = (x x_a)^2 + (y y_a)^2 + (z z_a)^2 [ (x x_a)u_1 + (y y_a)u_2 + (z z_a)u_3 ]^2$

这就是点 $P(x, y, z)$ 到旋转轴 L 的距离的平方。

第四步：建立曲面方程

旋转形成的曲面方程，就是所有满足“点 $P(x, y, z)$ 到旋转轴 L 的距离的平方等于某个常数 $R^2$”的点 $P$ 的集合。

这个常数 $R^2$ 是怎么来的呢？
我们只需要取直线 L1 上的一个已知点（比如 $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$），计算它到旋转轴 L 的距离的平方。这个距离的平方就是 $R^2$。

假设 $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ 是直线 L1 上的一个已知点。
我们计算 $P_0$ 到旋转轴 L 的距离的平方，令其为 $R^2$。
$R^2 = (x_0 x_a)^2 + (y_0 y_a)^2 + (z_0 z_a)^2 [ (x_0 x_a)u_1 + (y_0 y_a)u_2 + (z_0 z_a)u_3 ]^2$

那么，旋转形成的曲面方程就是：
$(x x_a)^2 + (y y_a)^2 + (z z_a)^2 [ (x x_a)u_1 + (y y_a)u_2 + (z z_a)u_3 ]^2 = R^2$

这个方程的意义：

这个方程描述的就是一个圆锥面（或者在特殊情况下是圆柱面）。

如果旋转轴 L 与直线 L1 相交： 那么直线 L1 上的所有点，当它们旋转时，会形成一个圆锥面。圆锥的顶点就在直线 L1 和 L 的交点上。$R^2$ 的值就是这个交点到直线 L1 上另一个点 $P_0$ 的距离的平方。
如果旋转轴 L 与直线 L1 平行： 那么直线 L1 上的所有点，当它们旋转时，会形成一个圆柱面。圆柱面的轴就是旋转轴 L。$R^2$ 的值就是直线 L1 到旋转轴 L 的垂直距离的平方。

举个例子，让它更清楚：

问题： 求直线 $L_1: x=1+t, y=t, z=2t$ 绕 $z$ 轴旋转形成的曲面方程。

1. 确定直线 $L_1$：
直线上的一个已知点 $P_0 = (1, 0, 0)$ （当 $t=0$ 时）。
方向向量 $mathbf{v} = (1, 1, 2)$。

2. 确定旋转轴 $L$：
旋转轴是 $z$ 轴。
$z$ 轴上的一个已知点 $A = (0, 0, 0)$ （原点）。
$z$ 轴的方向向量是 $mathbf{k} = (0, 0, 1)$。
$mathbf{k}$ 已经是单位向量了，所以 $mathbf{hat{u}} = (0, 0, 1)$。

3. 计算已知点 $P_0$ 到旋转轴 L 的距离的平方 $R^2$：
点 $P_0 = (1, 0, 0)$。
轴上的点 $A = (0, 0, 0)$。
轴的方向向量 $mathbf{hat{u}} = (0, 0, 1)$。

$vec{AP_0} = P_0 A = (1 0, 0 0, 0 0) = (1, 0, 0)$。

$vec{AP_0} cdot mathbf{hat{u}} = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$。

$R^2 = ||vec{AP_0}||^2 (vec{AP_0} cdot mathbf{hat{u}})^2$
$R^2 = (1^2 + 0^2 + 0^2) (0)^2 = 1$。

或者直接用点到直线的距离公式：点 $(x_0, y_0, z_0)$ 到 $z$ 轴（经过 $(0,0,0)$，方向 $(0,0,1)$）的距离平方是 $x_0^2 + y_0^2$。
所以，对于 $P_0=(1,0,0)$，距离平方是 $1^2 + 0^2 = 1$。

4. 建立曲面方程：
现在，我们用这个距离平方 $R^2=1$ 来代入通用公式。
对于旋转轴是 $z$ 轴（经过 $(0,0,0)$，方向 $(0,0,1)$）的情况，通用公式简化为：
$d^2 = x^2 + y^2$ （点 $P(x,y,z)$ 到 $z$ 轴的距离平方）。

所以，曲面方程就是：
$x^2 + y^2 = R^2$
$x^2 + y^2 = 1$

这个方程描述的是一个以 $z$ 轴为轴、半径为 1 的圆柱面。

等等，我们再检查一下，是不是哪里不对？
直线 $x=1+t, y=t, z=2t$ 并不是平行于 $z$ 轴的。它的方向向量是 $(1, 1, 2)$，和 $z$ 轴方向 $(0, 0, 1)$ 并不平行。
实际上，这条直线是不垂直于 $z$ 轴的，它和 $z$ 轴有一个夹角。

让我们回到通用公式，仔细计算：
点 $P(x, y, z)$ 是直线 $L_1$ 上的任意一点，所以 $x=1+t, y=t, z=2t$。
旋转轴 $L$ 是 $z$ 轴，轴上点 $A=(0,0,0)$，单位方向向量 $mathbf{hat{u}}=(0,0,1)$。

$vec{AP} = P A = (x, y, z) = (1+t, t, 2t)$。

$vec{AP} cdot mathbf{hat{u}} = (1+t)(0) + (t)(0) + (2t)(1) = 2t$。

$d^2 = ||vec{AP}||^2 (vec{AP} cdot mathbf{hat{u}})^2$
$d^2 = [(1+t)^2 + t^2 + (2t)^2] (2t)^2$
$d^2 = (1+t)^2 + t^2 + 4t^2 4t^2$
$d^2 = (1+t)^2 + t^2$
$d^2 = 1 + 2t + t^2 + t^2$
$d^2 = 2t^2 + 2t + 1$

这个 $d^2$ 是点 P 到旋转轴的距离的平方。
但是，我们之前算的是直线L1上的一个固定点 $P_0$ 到旋转轴的距离的平方。

关键点再次明确： 旋转形成的曲面上的任意一点 $P(x,y,z)$，它到旋转轴的距离 $d$ 是不变的，这个距离 $d$ 等于原直线 L1 上的任何一点到旋转轴的距离。

所以，我们应该用 $P(x,y,z)$ 来代表旋转过程中任意一个可能的点。而 $x, y, z$ 需要满足的条件是：它们到旋转轴的距离，等于直线 $L_1$ 上的某个特定点（比如 $P_0$）到旋转轴的距离。

让我们换一个角度来描述，这样可能更容易理解：

一个点 $P(x, y, z)$ 在旋转形成的曲面上，当且仅当它到旋转轴 L 的距离 $d$ 等于直线 L1 上的某个点 $P_t$ 到旋转轴 L 的距离 $d_t$。
而直线 L1 上的点 $P_t$ 可以用参数 $t$ 表示：$P_t = (1+t, t, 2t)$。
它到旋转轴 L（$z$ 轴）的距离的平方是：
$d_t^2 = (1+t)^2 + t^2$

现在，对于曲面上的任意一点 $P(x, y, z)$，它到旋转轴 L（$z$ 轴）的距离的平方是 $x^2 + y^2$。
所以，我们要找的曲面方程就是：
$x^2 + y^2 = d_t^2$
$x^2 + y^2 = (1+t)^2 + t^2$

但是，这里有个问题： $t$ 是直线 $L_1$ 的参数，它会变化。而曲面方程的 $x, y, z$ 是独立的变量，不应该直接依赖于 $t$。

正确的思路是：
曲面上的点 $P(x,y,z)$ 满足条件：它到旋转轴 L 的距离，等于固定的直线 $L_1$ 所有点到旋转轴 L 的距离中的某个值。
最简单的理解是：如果 $L_1$ 和 $L$ 相交，那么 $L_1$ 上的所有点到 $L$ 的距离是不同的（除非 $L_1$ 本身是 $L$）。
旋转形成的曲面，是 $L_1$ 上的所有点分别绕 $L$ 旋转所形成的所有轨迹的并集。

最根本的原理：
对于旋转曲面上的任意一点 $P(x,y,z)$，它到旋转轴 L 的距离 $d$ 是恒定的，这个距离 $d$ 就等于原直线 L1 上的任何一个点（例如 $P_0$）到旋转轴 L 的距离。

回到上面的例子：
直线 $L_1: x=1+t, y=t, z=2t$
旋转轴 $L$: $z$ 轴 (过 $A=(0,0,0)$，方向 $mathbf{hat{u}}=(0,0,1)$)

我们需要计算直线 L1 上的任意一个点到旋转轴 L 的距离。
我们可以选择 $t=0$ 时的点 $P_0 = (1, 0, 0)$。
$P_0$ 到 $z$ 轴的距离是 $sqrt{1^2 + 0^2} = 1$。
所以，$R=1$。

现在，对于旋转曲面上的任何一点 $P(x,y,z)$，它到旋转轴 $z$ 轴的距离是 $sqrt{x^2+y^2}$。
根据“点到轴距离不变”的原理，这个距离必须等于 $R$。
所以，$sqrt{x^2+y^2} = 1$，即 $x^2+y^2=1$。

这个例子是不是有点特殊？ 这里的直线 $L_1$ 和 $z$ 轴不相交，也不平行，但它和 $z$ 轴的“最近距离”是多少呢？
实际上，当直线 $L_1$ 绕 $z$ 轴旋转时，它形成的是一个圆锥面。
圆锥面的顶点在哪里？

让我们重新思考：
旋转形成的曲面，是集合 ${ ext{Rotate}(P_t, heta) mid t in mathbb{R}, heta in [0, 2pi) }$ 的所有点 $(x,y,z)$ 的集合。
其中 $P_t = (1+t, t, 2t)$ 是直线 $L_1$ 上的点，$ ext{Rotate}(P_t, heta)$ 是将 $P_t$ 绕 $z$ 轴旋转 $ heta$ 角得到的点。

对于任意一个 $P_t$，它到旋转轴 $z$ 轴的距离是 $d_t = sqrt{(1+t)^2 + t^2}$。
当 $P_t$ 绕 $z$ 轴旋转时，它扫过的轨迹是一个以 $z$ 轴为轴、半径为 $d_t$ 的圆。
这个圆的方程是 $x^2 + y^2 = d_t^2$。

所以，整个曲面就是所有这些圆的集合。
这意味着，曲面上的任何一点 $(x,y,z)$ 都满足：
$x^2 + y^2 = (1+t)^2 + t^2$ 对于某个 $t$ 成立。

化简一下：
$x^2 + y^2 = 1 + 2t + t^2 + t^2 = 2t^2 + 2t + 1$

现在，我们要做的是把 $t$ 消掉。
我们需要找到一个方程，它能包含所有可能的 $t$ 值所对应的 $x, y$ 关系。

方法是：
1. 将参数方程变形，用 $t$ 表示 $x$ 和 $y$ 的关系。
2. 找到 $x^2+y^2$ 和 $t$ 的关系。
3. 如果我们还有 $z$ 的关系，可以用来代换 $t$。

在这个例子中，直线 $L_1$ 的参数方程是：
$x = 1+t$
$y = t$
$z = 2t$

从 $y=t$ 和 $z=2t$，我们可以得到 $z=2y$。
从 $x=1+t$ 和 $y=t$，我们可以得到 $x = 1+y$ 或者 $t = x1$。

将 $t = y$ 代入 $x^2 + y^2 = 2t^2 + 2t + 1$：
$x^2 + y^2 = 2(y^2) + 2(y) + 1$
$x^2 + y^2 = 2y^2 + 2y + 1$
$x^2 y^2 2y 1 = 0$

再检查一下这个结果是不是对的。
如果旋转轴是 $z$ 轴，直线 $L_1$ 的方向向量是 $(1,1,2)$。
直线上的点是 $(1,0,0)$ (当 $t=0$)。
这条直线和 $z$ 轴不平行，也不相交。

这里，我们需要回到“点到轴的距离不变”这个最核心的思想。

对于旋转形成的曲面上的任意一点 $P(x,y,z)$，它到旋转轴 L 的距离，等于直线 $L_1$ 上的某个点 $P'$ 到旋转轴 L 的距离。

关键在于： 那个“某个点 $P'$”的距离，是不是唯一的？

如果直线 L1 和旋转轴 L 相交：
假设交点是 $O$。那么，对于直线 $L_1$ 上的任意一点 $P$，它到 $O$ 的距离是 $||vec{OP}||$。
当 $P$ 绕轴旋转时，它到轴的距离就是 $||vec{OP}||$。
所以，旋转曲面上的任何一点 $P(x,y,z)$ 到旋转轴 L 的距离，都应该等于直线 $L_1$ 上的所有点到旋转轴 L 的距离中的某一个特定值。

更直观的理解：
设直线 $L_1$ 上的一个点是 $P_0$，方向向量是 $mathbf{v}$。
旋转轴是 $A$ 点，方向向量是 $mathbf{hat{u}}$。

旋转曲面上的任何一点 $P(x,y,z)$，它到旋转轴 L 的距离 $d$ 是恒定的。
这个恒定的距离 $d$ 是由直线 $L_1$ 和旋转轴 L 的相对位置决定的。
具体来说，就是直线 $L_1$ 上面所有的点到旋转轴 L 的距离。

如果 $L_1$ 和 $L$ 是相交的：
相交点是 $O$。那么 $L_1$ 上的所有点 $P$ 到 $L$ 的距离就是 $||vec{OP}||$（其中 $P$ 在 $L_1$ 上，$O$ 是交点）。
所以，旋转曲面上的任何一点 $P(x,y,z)$ 到旋转轴 L 的距离 $d$，都应该等于 $L_1$ 上任何一个点到 $L$ 的距离。

如果 $L_1$ 和 $L$ 是平行的：
那么 $L_1$ 上的所有点到 $L$ 的距离都是相同的，这个距离就是 $L_1$ 到 $L$ 的垂直距离。

所以，通用的方法是：

1. 确定直线 L1： 一个点 $P_0=(x_0, y_0, z_0)$，方向向量 $mathbf{v}=(a,b,c)$。
2. 确定旋转轴 L： 一个点 $A=(x_a, y_a, z_a)$，单位方向向量 $mathbf{hat{u}}=(u_1, u_2, u_3)$。
3. 计算直线 L1 上的点 $P_0$ 到旋转轴 L 的距离的平方 $R^2$。
$R^2 = ||vec{AP_0} imes mathbf{hat{u}}||^2 = ||vec{AP_0}||^2 (vec{AP_0} cdot mathbf{hat{u}})^2$
其中 $vec{AP_0} = P_0 A = (x_0x_a, y_0y_a, z_0z_a)$。
4. 曲面方程： 任何一点 $P(x,y,z)$ 到旋转轴 L 的距离的平方等于 $R^2$。
$||vec{AP} imes mathbf{hat{u}}||^2 = R^2$
$(x x_a)^2 + (y y_a)^2 + (z z_a)^2 [ (x x_a)u_1 + (y y_a)u_2 + (z z_a)u_3 ]^2 = R^2$

为什么这个公式能涵盖所有情况？
这个公式本质上表达的就是：点 $P(x,y,z)$ 到旋转轴 L 的距离的平方等于一个常数 $R^2$。
而这个常数 $R^2$ 就是由原始直线 $L_1$ 的任意一个点到旋转轴 L 的距离决定的。

让我们回到之前的例子：
直线 $L_1: x=1+t, y=t, z=2t$
旋转轴 $L$: $z$ 轴 (过 $A=(0,0,0)$，方向 $mathbf{hat{u}}=(0,0,1)$)

1. $P_0 = (1, 0, 0)$ (当 $t=0$)
2. $A = (0, 0, 0)$, $mathbf{hat{u}} = (0, 0, 1)$
3. $vec{AP_0} = (1, 0, 0)$
$R^2 = ||(1,0,0)||^2 ((1,0,0) cdot (0,0,1))^2 = 1^2 0^2 = 1$

4. 曲面方程：
$(x 0)^2 + (y 0)^2 + (z 0)^2 [ (x 0)(0) + (y 0)(0) + (z 0)(1) ]^2 = 1$
$x^2 + y^2 + z^2 [ z ]^2 = 1$
$x^2 + y^2 + z^2 z^2 = 1$
$x^2 + y^2 = 1$

这个结果又是圆柱面！
这说明，如果直线 $L_1$ 上的所有点到旋转轴 L 的距离是相同的，那么形成的曲面就是圆柱面。
直线 $L_1: x=1+t, y=t, z=2t$ 上的任意一点 $P_t=(1+t, t, 2t)$ 到 $z$ 轴的距离的平方是 $(1+t)^2 + t^2$。
这个距离是随 $t$ 变化的！
所以，它不应该形成圆柱面。

问题出在哪里？
我们用 $P_0$ 的距离来代表了所有点到轴的距离，这是错误的，除非 $L_1$ 和 $L$ 是平行的。

正确的思路应该是：
旋转曲面上的任意一点 $P(x,y,z)$，它到旋转轴 L 的距离 $d$ 是恒定的。
这个距离 $d$ 等于 原始直线 $L_1$ 上的某一点 $P_t$ 到旋转轴 L 的距离 $d_t$。

这意味着，对于曲面上的任意一点 $P(x,y,z)$，我们能够找到一个 $t$ 值，使得 $P$ 到旋转轴 L 的距离 $d(P, L)$ 等于 $P_t$ 到旋转轴 L 的距离 $d(P_t, L)$。

方法改进：
1. 直线 $L_1$ 上的任意一点 $P_t = P_0 + tmathbf{v} = (x_0+at, y_0+bt, z_0+ct)$。
2. 旋转轴 L，点 $A=(x_a, y_a, z_a)$，单位方向向量 $mathbf{hat{u}}=(u_1, u_2, u_3)$。
3. 点 $P_t$ 到旋转轴 L 的距离的平方 $d_t^2 = ||vec{AP_t}||^2 (vec{AP_t} cdot mathbf{hat{u}})^2$。
其中 $vec{AP_t} = P_t A = (x_0+atx_a, y_0+bty_a, z_0+ctz_a)$。
4. 曲面上的任意一点 $P(x,y,z)$ 到旋转轴 L 的距离的平方是 $d^2 = ||vec{AP}||^2 (vec{AP} cdot mathbf{hat{u}})^2$。
5. 曲面方程就是：存在一个 $t$，使得 $d^2 = d_t^2$。

继续上面的例子：
$L_1: P_t = (1+t, t, 2t)$
$L$: $A=(0,0,0)$, $mathbf{hat{u}}=(0,0,1)$

$P_t = (1+t, t, 2t)$
$vec{AP_t} = (1+t, t, 2t)$
$vec{AP_t} cdot mathbf{hat{u}} = (1+t)(0) + t(0) + 2t(1) = 2t$
$||vec{AP_t}||^2 = (1+t)^2 + t^2 + (2t)^2 = 1 + 2t + t^2 + t^2 + 4t^2 = 6t^2 + 2t + 1$
$d_t^2 = (6t^2 + 2t + 1) (2t)^2 = 6t^2 + 2t + 1 4t^2 = 2t^2 + 2t + 1$

现在，对于曲面上的任意一点 $P(x,y,z)$，它到 $z$ 轴的距离的平方是 $d^2 = x^2 + y^2$。

所以，曲面方程就是：
$x^2 + y^2 = 2t^2 + 2t + 1$
但是，这个方程还有 $t$！

这里就是问题的关键：
我们知道 $P_t$ 是 $L_1$ 上的点，所以 $x_t = 1+t, y_t = t, z_t = 2t$。
我们想要的是一个不含 $t$ 的关于 $x,y,z$ 的方程。

怎么消掉 $t$？
我们可以利用 $x, y, z$ 的关系来消掉 $t$。

从 $P_t=(1+t, t, 2t)$ 来看：
$t = y$
$z = 2t = 2y$

将 $t=y$ 代入 $x^2 + y^2 = 2t^2 + 2t + 1$：
$x^2 + y^2 = 2(y^2) + 2(y) + 1$
$x^2 + y^2 = 2y^2 + 2y + 1$
$x^2 y^2 2y 1 = 0$

这个方程才是正确的！
它表示的是一个双曲面（或者其一部分）。
它确实是一个圆锥面（在这个例子中是双曲抛物面），因为直线 $L_1$ 和 $z$ 轴是斜交的，旋转起来会扫出一个类圆锥的形状。

总结一下这个过程：

1. 明确直线 $L_1$ 和旋转轴 L 的参数方程（点和方向向量）。
2. 设 $P_t$ 是直线 $L_1$ 上的任意一点，用参数 $t$ 表示 $P_t$ 的坐标。
3. 计算 $P_t$ 到旋转轴 L 的距离的平方 $d_t^2$。这个结果会是一个关于 $t$ 的多项式。
4. 设 $P(x,y,z)$ 是旋转曲面上的任意一点。计算 $P$ 到旋转轴 L 的距离的平方 $d^2$。这个结果会是一个关于 $x,y,z$ 的表达式。
5. 曲面方程就是 $d^2 = d_t^2$，但这是一个含有 $t$ 的方程。
6. 利用直线 $L_1$ 的参数方程，找到 $x,y,z$ 和 $t$ 之间的关系，然后将 $t$ 消掉。 最终得到一个只含有 $x,y,z$ 的方程，这就是曲面的方程。

最后，再次强调核心思想：
空间中直线绕轴旋转形成的曲面，其上任意一点到旋转轴的距离，等于原始直线上某一个点到旋转轴的距离。通过计算这个距离的平方，然后消去参数，就能得到曲面的方程。

希望这个详细的解释能够帮助你理解！

就当是复习复习《解析几何》了~

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PART(Ⅰ)

定义1：在空间，一条曲线 绕着定直线 旋转一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回旋曲面. 曲线 叫做旋转曲面的母线，定直线 叫做旋转曲面的旋转轴，简称轴.

旋转曲面 的母线上的任意一点 在旋转时形成一个圆，这个圆也就是通过点 且垂直于轴 的平面与旋转曲面的交线，我们把它叫做纬圆或称纬线. 在旋转轴 的平面上，以 为界的每个半平面都与曲面交成一条曲线，这些曲线在旋转中都可以彼此重合，这曲线叫做旋转面的经线.

PART(Ⅱ)

现在我们来求旋转曲面的方程：

在空间直角坐标系中，设旋转曲面的母线为：

旋转轴为直线 ，该直线经过定点 ,直线的方向向量为 .

设 为母线上的任意一点，那么过 的纬圆可以看成是过 且垂直于旋转轴 的平面与以 为圆心， 为半径的球的交线，所以过 的纬圆方程为：

当 遍历整个母线 时，就能得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.

又因为 在母线上，所以又有：

从 四个等式消去参数 最后可以得到一个三元方程：

这就是所求的旋转曲面的方程.

PART(Ⅲ)

至于题主问到的“如何求空间中直线绕轴旋转的方程”，即：将 PART(Ⅱ) 中母线 改写为直线方程即可，是一种更特殊的情况，就酱.