e^(-x)|sinx|在(0,+∞)与x轴围成的面积怎么算？
好的，咱们来聊聊求函数 $e^{x}|sin x|$ 在 $(0, +infty)$ 区间与 x 轴围成的面积这个问题。这可不是一个简单的“套公式”就能搞定的，需要咱们一点点地拆解和理解。
第一步：理解“围成的面积”
首先，我们要明白“围成的面积”是什么意思。对于一个函数 $f(x)$ 在某个区间 $[a, b]$ 与 x 轴围成的面积，通常是指在 $[a, b]$ 区间内，函数图像在 x 轴上方的部分与 x 轴之间的区域的面积。如果函数图像在 x 轴下方，那么那部分贡献的面积是负的，我们在计算总面积时需要取绝对值。
在这里，我们的函数是 $f(x) = e^{x}|sin x|$，区间是 $(0, +infty)$。
第二步：分析函数 $e^{x}|sin x|$ 的特点
$e^{x}$ 的作用： 指数函数 $e^{x}$ 在 $x > 0$ 的时候，随着 x 的增大，它的值会越来越小，趋向于 0。它就像一个“衰减因子”。
$|sin x|$ 的作用： $sin x$ 是一个周期函数，周期是 $2pi$。它的值在 $[0, 1]$ 和 $[1, 0]$ 之间波动。而 $|sin x|$ 则是把 $sin x$ 在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，所以 $|sin x|$ 的值永远是非负的，在 $[0, 1]$ 之间波动。它决定了函数图像“波浪状”的起伏。
结合来看： $e^{x}|sin x|$ 是一个在 $(0, +infty)$ 区间内，振幅逐渐减小的“衰减的正弦波”。它会在 x 轴上方形成一系列高度逐渐降低的波峰，在偶数倍 $pi$ 的地方（例如 $2pi, 4pi, 6pi, dots$）无限接近于 0，在奇数倍 $pi$ 的地方（例如 $pi, 3pi, 5pi, dots$）达到峰值，但这些峰值的高度会越来越小。
第三步：确定积分区间和基本单位
因为 $|sin x|$ 的周期性，我们考虑一下它在 $[0, pi]$、 $[pi, 2pi]$、$[2pi, 3pi]$ 等区间的行为：
在 $[0, pi]$ 区间内，$|sin x| = sin x$。
在 $[pi, 2pi]$ 区间内，$|sin x| = sin x$。
在 $[2pi, 3pi]$ 区间内，$|sin x| = sin x$。
以此类推。
所以，$(0, +infty)$ 这个无限长的区间，可以被看作是无数个 $[npi, (n+1)pi]$ 的小区间组成的。由于 $|sin x|$ 的关系，我们在计算面积时，需要分段处理。
第四步：计算每个“小波浪”的面积
我们先计算第一个“波浪”的面积，也就是在 $[0, pi]$ 区间内，$e^{x}sin x$ 与 x 轴围成的面积。这需要用到积分。
面积 $A_1 = int_0^pi e^{x}sin x , dx$
这属于三角函数与指数函数的乘积积分，我们可以使用分部积分法。但这样操作两次会比较繁琐。这里有一个更巧妙的方法，或者说是一个标准的技巧来计算这类积分 $int e^{ax}sin(bx) , dx$ 或 $int e^{ax}cos(bx) , dx$。
我们可以设 $I = int e^{x}sin x , dx$。
我们知道 $frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}$，$frac{d}{dx}(sin x) = cos x$，$frac{d}{dx}(cos x) = sin x$。
使用分部积分法两次：
令 $u = sin x$, $dv = e^{x} dx$. 则 $du = cos x dx$, $v = e^{x}$.
$I = e^{x}sin x int (e^{x})cos x , dx$
$I = e^{x}sin x + int e^{x}cos x , dx$
现在我们来处理 $int e^{x}cos x , dx$。
令 $u = cos x$, $dv = e^{x} dx$. 则 $du = sin x dx$, $v = e^{x}$.
$int e^{x}cos x , dx = e^{x}cos x int (e^{x})(sin x) , dx$
$int e^{x}cos x , dx = e^{x}cos x int e^{x}sin x , dx$
注意到 $int e^{x}sin x , dx$ 就是我们设的 $I$。所以：
$I = e^{x}sin x + (e^{x}cos x I)$
$I = e^{x}sin x e^{x}cos x I$
$2I = e^{x}(sin x + cos x)$
$I = frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x)$
所以，第一个波浪的面积 $A_1 = left[frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x) ight]_0^pi$
$A_1 = frac{1}{2}e^{pi}(sin pi + cos pi) (frac{1}{2}e^0(sin 0 + cos 0))$
$A_1 = frac{1}{2}e^{pi}(0 1) (frac{1}{2}(1)(0 + 1))$
$A_1 = frac{1}{2}e^{pi} + frac{1}{2}$
$A_1 = frac{1}{2}(1 + e^{pi})$
第五步：计算后续“小波浪”的面积
现在我们来看第二个波浪，在 $[pi, 2pi]$ 区间内，$e^{x}|sin x| = e^{x}(sin x) = e^{x}sin x$。
面积 $A_2 = int_pi^{2pi} (e^{x}sin x) , dx = int_pi^{2pi} e^{x}sin x , dx$
我们已经知道 $int e^{x}sin x , dx = frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x)$
所以，$A_2 = left[frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x) ight]_pi^{2pi}$
$A_2 = frac{1}{2}left[e^{x}(sin x + cos x) ight]_pi^{2pi}$
$A_2 = frac{1}{2}[e^{2pi}(sin 2pi + cos 2pi) e^{pi}(sin pi + cos pi)]$
$A_2 = frac{1}{2}[e^{2pi}(0 + 1) e^{pi}(0 1)]$
$A_2 = frac{1}{2}[e^{2pi} + e^{pi}]$
$A_2 = frac{1}{2}e^{pi}(1 + e^{pi})$
我们来看第三个波浪，在 $[2pi, 3pi]$ 区间内，$e^{x}|sin x| = e^{x}sin x$。
面积 $A_3 = int_{2pi}^{3pi} e^{x}sin x , dx$
$A_3 = left[frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x) ight]_{2pi}^{3pi}$
$A_3 = frac{1}{2}[e^{3pi}(sin 3pi + cos 3pi) e^{2pi}(sin 2pi + cos 2pi)]$
$A_3 = frac{1}{2}[e^{3pi}(0 1) e^{2pi}(0 + 1)]$
$A_3 = frac{1}{2}[e^{3pi} e^{2pi}]$
$A_3 = frac{1}{2}(e^{3pi} + e^{2pi})$
$A_3 = frac{1}{2}e^{2pi}(1 + e^{pi})$
第六步：发现规律并求和
我们把计算出来的面积写出来：
$A_1 = frac{1}{2}(1 + e^{pi})$
$A_2 = frac{1}{2}e^{pi}(1 + e^{pi})$
$A_3 = frac{1}{2}e^{2pi}(1 + e^{pi})$
是不是看出了什么？这是一个等比数列！每一项都乘以了一个因子 $e^{pi}$。
总面积 $A = A_1 + A_2 + A_3 + dots$
$A = frac{1}{2}(1 + e^{pi}) + frac{1}{2}e^{pi}(1 + e^{pi}) + frac{1}{2}e^{2pi}(1 + e^{pi}) + dots$
这是一个无穷等比数列，首项是 $a = frac{1}{2}(1 + e^{pi})$，公比是 $r = e^{pi}$。
因为 $e approx 2.718$， $pi approx 3.14159$，所以 $e^{pi}$ 是一个小于 1 的正数，公比小于 1，所以这个无穷级数是收敛的。
无穷等比数列的求和公式是 $S = frac{a}{1r}$。
所以，总面积 $A = frac{frac{1}{2}(1 + e^{pi})}{1 e^{pi}}$
$A = frac{1 + e^{pi}}{2(1 e^{pi})}$
我们可以进一步化简一下，分子分母同时乘以 $e^{pi}$：
$A = frac{e^{pi}(1 + e^{pi})}{2e^{pi}(1 e^{pi})}$
$A = frac{e^{pi} + 1}{2(e^{pi} 1)}$
最终答案
函数 $e^{x}|sin x|$ 在 $(0, +infty)$ 与 x 轴围成的总面积是 $frac{e^{pi} + 1}{2(e^{pi} 1)}$。
回顾和思考
这个问题的计算过程主要经历了以下几个阶段：
1. 理解题意和函数性质： 明确了要求解的是一个无限区间的面积，并且函数包含了绝对值和指数衰减项。
2. 分段积分： 由于 $|sin x|$ 的周期性，我们将整个区间 $(0, +infty)$ 分成了无数个 $[npi, (n+1)pi]$ 的小区间来处理。
3. 计算基础积分： 利用分部积分法（或者标准的积分公式）计算了 $int e^{x}sin x , dx$。
4. 计算各个部分的面积： 将基础积分的结果应用到不同的区间，计算出每个“小波浪”的面积。
5. 识别并求和无穷级数： 通过观察发现各个部分的面积构成了一个等比数列，并利用等比数列的求和公式得到了最终结果。
整个过程需要对积分、三角函数、指数函数以及无穷级数有一定的了解。重要的是要一步一步来，不要被无限的区间吓倒，关键在于找到其中的规律。
第一步：理解“围成的面积”
首先，我们要明白“围成的面积”是什么意思。对于一个函数 $f(x)$ 在某个区间 $[a, b]$ 与 x 轴围成的面积，通常是指在 $[a, b]$ 区间内，函数图像在 x 轴上方的部分与 x 轴之间的区域的面积。如果函数图像在 x 轴下方，那么那部分贡献的面积是负的，我们在计算总面积时需要取绝对值。
在这里，我们的函数是 $f(x) = e^{x}|sin x|$，区间是 $(0, +infty)$。
第二步：分析函数 $e^{x}|sin x|$ 的特点
$e^{x}$ 的作用： 指数函数 $e^{x}$ 在 $x > 0$ 的时候，随着 x 的增大，它的值会越来越小，趋向于 0。它就像一个“衰减因子”。
$|sin x|$ 的作用： $sin x$ 是一个周期函数，周期是 $2pi$。它的值在 $[0, 1]$ 和 $[1, 0]$ 之间波动。而 $|sin x|$ 则是把 $sin x$ 在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方，所以 $|sin x|$ 的值永远是非负的，在 $[0, 1]$ 之间波动。它决定了函数图像“波浪状”的起伏。
结合来看： $e^{x}|sin x|$ 是一个在 $(0, +infty)$ 区间内，振幅逐渐减小的“衰减的正弦波”。它会在 x 轴上方形成一系列高度逐渐降低的波峰，在偶数倍 $pi$ 的地方（例如 $2pi, 4pi, 6pi, dots$）无限接近于 0，在奇数倍 $pi$ 的地方（例如 $pi, 3pi, 5pi, dots$）达到峰值，但这些峰值的高度会越来越小。
第三步：确定积分区间和基本单位
因为 $|sin x|$ 的周期性，我们考虑一下它在 $[0, pi]$、 $[pi, 2pi]$、$[2pi, 3pi]$ 等区间的行为：
在 $[0, pi]$ 区间内，$|sin x| = sin x$。
在 $[pi, 2pi]$ 区间内，$|sin x| = sin x$。
在 $[2pi, 3pi]$ 区间内，$|sin x| = sin x$。
以此类推。
所以，$(0, +infty)$ 这个无限长的区间，可以被看作是无数个 $[npi, (n+1)pi]$ 的小区间组成的。由于 $|sin x|$ 的关系，我们在计算面积时，需要分段处理。
第四步：计算每个“小波浪”的面积
我们先计算第一个“波浪”的面积，也就是在 $[0, pi]$ 区间内，$e^{x}sin x$ 与 x 轴围成的面积。这需要用到积分。
面积 $A_1 = int_0^pi e^{x}sin x , dx$
这属于三角函数与指数函数的乘积积分，我们可以使用分部积分法。但这样操作两次会比较繁琐。这里有一个更巧妙的方法，或者说是一个标准的技巧来计算这类积分 $int e^{ax}sin(bx) , dx$ 或 $int e^{ax}cos(bx) , dx$。
我们可以设 $I = int e^{x}sin x , dx$。
我们知道 $frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}$，$frac{d}{dx}(sin x) = cos x$，$frac{d}{dx}(cos x) = sin x$。
使用分部积分法两次：
令 $u = sin x$, $dv = e^{x} dx$. 则 $du = cos x dx$, $v = e^{x}$.
$I = e^{x}sin x int (e^{x})cos x , dx$
$I = e^{x}sin x + int e^{x}cos x , dx$
现在我们来处理 $int e^{x}cos x , dx$。
令 $u = cos x$, $dv = e^{x} dx$. 则 $du = sin x dx$, $v = e^{x}$.
$int e^{x}cos x , dx = e^{x}cos x int (e^{x})(sin x) , dx$
$int e^{x}cos x , dx = e^{x}cos x int e^{x}sin x , dx$
注意到 $int e^{x}sin x , dx$ 就是我们设的 $I$。所以：
$I = e^{x}sin x + (e^{x}cos x I)$
$I = e^{x}sin x e^{x}cos x I$
$2I = e^{x}(sin x + cos x)$
$I = frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x)$
所以，第一个波浪的面积 $A_1 = left[frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x) ight]_0^pi$
$A_1 = frac{1}{2}e^{pi}(sin pi + cos pi) (frac{1}{2}e^0(sin 0 + cos 0))$
$A_1 = frac{1}{2}e^{pi}(0 1) (frac{1}{2}(1)(0 + 1))$
$A_1 = frac{1}{2}e^{pi} + frac{1}{2}$
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所以，$A_2 = left[frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x) ight]_pi^{2pi}$
$A_2 = frac{1}{2}left[e^{x}(sin x + cos x) ight]_pi^{2pi}$
$A_2 = frac{1}{2}[e^{2pi}(sin 2pi + cos 2pi) e^{pi}(sin pi + cos pi)]$
$A_2 = frac{1}{2}[e^{2pi}(0 + 1) e^{pi}(0 1)]$
$A_2 = frac{1}{2}[e^{2pi} + e^{pi}]$
$A_2 = frac{1}{2}e^{pi}(1 + e^{pi})$
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$A_3 = left[frac{1}{2}e^{x}(sin x + cos x) ight]_{2pi}^{3pi}$
$A_3 = frac{1}{2}[e^{3pi}(sin 3pi + cos 3pi) e^{2pi}(sin 2pi + cos 2pi)]$
$A_3 = frac{1}{2}[e^{3pi}(0 1) e^{2pi}(0 + 1)]$
$A_3 = frac{1}{2}[e^{3pi} e^{2pi}]$
$A_3 = frac{1}{2}(e^{3pi} + e^{2pi})$
$A_3 = frac{1}{2}e^{2pi}(1 + e^{pi})$
第六步：发现规律并求和
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$A_1 = frac{1}{2}(1 + e^{pi})$
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$A = frac{1}{2}(1 + e^{pi}) + frac{1}{2}e^{pi}(1 + e^{pi}) + frac{1}{2}e^{2pi}(1 + e^{pi}) + dots$
这是一个无穷等比数列，首项是 $a = frac{1}{2}(1 + e^{pi})$，公比是 $r = e^{pi}$。
因为 $e approx 2.718$， $pi approx 3.14159$，所以 $e^{pi}$ 是一个小于 1 的正数，公比小于 1，所以这个无穷级数是收敛的。
无穷等比数列的求和公式是 $S = frac{a}{1r}$。
所以，总面积 $A = frac{frac{1}{2}(1 + e^{pi})}{1 e^{pi}}$
$A = frac{1 + e^{pi}}{2(1 e^{pi})}$
我们可以进一步化简一下，分子分母同时乘以 $e^{pi}$：
$A = frac{e^{pi}(1 + e^{pi})}{2e^{pi}(1 e^{pi})}$
$A = frac{e^{pi} + 1}{2(e^{pi} 1)}$
最终答案
函数 $e^{x}|sin x|$ 在 $(0, +infty)$ 与 x 轴围成的总面积是 $frac{e^{pi} + 1}{2(e^{pi} 1)}$。
回顾和思考
这个问题的计算过程主要经历了以下几个阶段：
1. 理解题意和函数性质： 明确了要求解的是一个无限区间的面积，并且函数包含了绝对值和指数衰减项。
2. 分段积分： 由于 $|sin x|$ 的周期性，我们将整个区间 $(0, +infty)$ 分成了无数个 $[npi, (n+1)pi]$ 的小区间来处理。
3. 计算基础积分： 利用分部积分法（或者标准的积分公式）计算了 $int e^{x}sin x , dx$。
4. 计算各个部分的面积： 将基础积分的结果应用到不同的区间，计算出每个“小波浪”的面积。
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