为什么对于任意的α，∫(1,+∞)x^α*e^-xdx都收敛？
我们来聊聊为什么当 $alpha$ 是任意实数时，积分 $int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 总是收敛的。这其实涉及到我们如何判断一个瑕积分是否收敛，以及一些关键的函数性质。
首先，我们要明确，我们讨论的是一个瑕积分，因为积分的上限是无穷大。判断一个瑕积分是否收敛，通常我们会将其与一个我们已经知道收敛的积分进行比较。在这个问题中，核心的挑战是如何处理 $x^alpha$ 和 $e^{x}$ 这两个函数的乘积在 $x o +infty$ 时的行为。
让我们仔细审视一下被积函数 $f(x) = x^alpha e^{x}$ 在区间 $[1, +infty)$ 上的行为。
关键在于 $e^{x}$ 的“指数级衰减”
指数函数 $e^{x}$ 的一个非常重要的性质是它以比任何多项式函数更快的速度趋向于零。也就是说，无论 $alpha$ 是什么，只要 $x$ 足够大，$e^{x}$ 的衰减速度会远远超过 $x^alpha$ 的增长速度（如果 $alpha$ 是正数的话）。这才是保证积分收敛的根本原因。
如何进行严格的证明？
我们可以使用极限比较判别法或者直接比较判别法来证明。
方法一：直接比较判别法
为了使用直接比较判别法，我们需要找到一个函数 $g(x)$，使得对于所有 $x geq 1$，我们有 $0 leq f(x) leq g(x)$，并且我们知道 $int_1^{+infty} g(x) dx$ 是收敛的。
我们知道，对于任何正整数 $n$，以下的不等式是成立的：
$$ e^x > frac{x^n}{n!} $$
利用这个不等式，我们可以得到：
$$ e^{x} < frac{n!}{x^n} $$
因此，我们的被积函数 $f(x) = x^alpha e^{x}$ 可以写成：
$$ x^alpha e^{x} < x^alpha frac{n!}{x^n} = n! x^{alphan} $$
现在，我们的目标是选择一个合适的整数 $n$，使得 $x^{alphan}$ 在积分 $int_1^{+infty} x^{alphan} dx$ 上是收敛的。我们知道，积分 $int_1^{+infty} x^p dx$ 在 $p < 1$ 时是收敛的。
所以，我们需要 $alpha n < 1$。我们可以选择一个足够大的正整数 $n$ 来满足这个条件。具体来说，如果我们选择 $n > alpha + 1$，那么 $alpha n < 1$ 就成立了。
例如，我们可以选择 $n = lfloor |alpha| floor + 2$（如果 $alpha geq 0$，则为 $lfloor alpha floor + 2$），或者更简单地，我们可以选择一个固定的整数 $n$（比如 $n=2$ 或 $n=3$），然后根据 $alpha$ 的值来调整比较。
让我们来举个例子：选择 $n=2$。
那么我们有 $x^alpha e^{x} < 2! x^{alpha2}$。
如果 $alpha 2 < 1$，即 $alpha < 1$，那么 $int_1^{+infty} x^{alpha2} dx$ 是收敛的，因此 $x^alpha e^{x}$ 在 $[1, +infty)$ 上也是收敛的。
但是，我们不能就这样直接结束，因为 $alpha$ 可以大于等于 $1$。
关键在于选取合适的 $n$ 来“压制” $x^alpha$
对于任意的 $alpha$，我们总可以选择一个整数 $n$ 使得 $alpha n < 1$。例如，我们可以选择 $n = max(1, lfloor |alpha| floor + 2)$（如果我们考虑 $alpha$ 是负数的情况，可以更简单地选择一个大于 $|alpha|+1$ 的整数 $n$）。
这样一来，我们就有：
$$ x^alpha e^{x} < n! x^{alphan} $$
因为 $alpha n < 1$，所以积分 $int_1^{+infty} x^{alphan} dx$ 是收敛的。
根据直接比较判别法，既然 $x^alpha e^{x}$ 小于一个在 $[1, +infty)$ 上积分收敛的函数（乘以一个常数 $n!$），那么 $int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 也是收敛的。
方法二：极限比较判别法
这个方法通常更方便，因为它不需要我们找到一个精确的上界函数，只需要关注函数的“渐近行为”。
我们选择一个我们已知的收敛的积分的被积函数作为比较对象。考虑函数 $g(x) = e^{x/2}$。我们知道 $int_1^{+infty} e^{x/2} dx$ 是收敛的（这是一个指数函数的积分，而且指数是负的）。
现在，我们计算极限：
$$ L = lim_{x o +infty} frac{x^alpha e^{x}}{e^{x/2}} = lim_{x o +infty} x^alpha e^{x + x/2} = lim_{x o +infty} x^alpha e^{x/2} $$
让我们来分析这个极限：
当 $alpha leq 0$ 时：
如果 $alpha leq 0$，那么 $x^alpha$ 在 $x o +infty$ 时趋于一个常数或者趋于 $0$。而 $e^{x/2}$ 是指数级趋于 $0$ 的。因此，它们的乘积 $x^alpha e^{x/2}$ 趋于 $0$。
所以，$L = 0$。
当 $alpha > 0$ 时：
在这种情况下，我们实际上是在计算一个指数函数（$e^{x/2}$）除以一个多项式函数的“反面”或者说指数函数衰减速度与多项式增长速度的比较。指数函数 $e^{x/2}$ 衰减的速度总是比任何多项式函数 $x^alpha$ 增长的速度快。
为了更严谨地说明这一点，我们可以再次使用洛必达法则。但更直观的是，我们可以考虑 $x^alpha e^{x/2} = frac{x^alpha}{e^{x/2}}$。当 $x o +infty$ 时，这个极限为 $0$，因为 $e^{x/2}$ 的增长速度远远快于 $x^alpha$ 的增长速度。
所以，$L = 0$。
结论：
在所有情况下，无论是 $alpha leq 0$ 还是 $alpha > 0$，我们都有 $L = lim_{x o +infty} frac{x^alpha e^{x}}{e^{x/2}} = 0$。
根据极限比较判别法，如果 $lim_{x o +infty} frac{f(x)}{g(x)} = L$，并且 $L$ 是一个有限的非负数，那么 $int_a^{+infty} f(x) dx$ 和 $int_a^{+infty} g(x) dx$ 要么都收敛，要么都发散。
在本例中，我们选择的 $g(x) = e^{x/2}$ 使得 $int_1^{+infty} e^{x/2} dx$ 是收敛的。
并且我们算出的极限 $L=0$。当 $L=0$ 且 $int_1^{+infty} g(x) dx$ 收敛时，根据极限比较判别法的延伸（或者可以理解为：因为 $f(x)$ 比 $g(x)$ 衰减得更快，如果 $g(x)$ 还能积出来，那么 $f(x)$ 肯定也能积出来），我们得出结论：
$int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 是收敛的。
总结一下为什么总是收敛：
积分 $int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 的收敛性主要依赖于被积函数在 $x o +infty$ 时的行为。虽然 $x^alpha$ 可以增长（当 $alpha>0$ 时），但 $e^{x}$ 的指数级衰减能力远远超过了 $x^alpha$ 的增长能力。
无论是通过选择一个适当的整数 $n$ 来构建一个收敛的比较函数 $n! x^{alphan}$ (其中 $alphan < 1$)，还是通过极限比较法与 $e^{x/2}$ 这样的收敛函数进行比较，我们都证明了 $x^alpha e^{x}$ 的衰减速度足够快，以至于其在无穷区间的积分是有限的。
这个积分在数学中非常重要，它与伽马函数有关。伽马函数 $Gamma(z) = int_0^{+infty} t^{z1} e^{t} dt$ 就是一个更广义的形式。你所问的积分 $int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 可以看作是伽马函数的一部分，或者与其密切相关。正是因为 $e^{x}$ 的指数衰减，即使前面有任何多项式因子 $x^alpha$，整个积分在正无穷处最终都会收敛。
首先，我们要明确，我们讨论的是一个瑕积分，因为积分的上限是无穷大。判断一个瑕积分是否收敛，通常我们会将其与一个我们已经知道收敛的积分进行比较。在这个问题中，核心的挑战是如何处理 $x^alpha$ 和 $e^{x}$ 这两个函数的乘积在 $x o +infty$ 时的行为。
让我们仔细审视一下被积函数 $f(x) = x^alpha e^{x}$ 在区间 $[1, +infty)$ 上的行为。
关键在于 $e^{x}$ 的“指数级衰减”
指数函数 $e^{x}$ 的一个非常重要的性质是它以比任何多项式函数更快的速度趋向于零。也就是说，无论 $alpha$ 是什么，只要 $x$ 足够大，$e^{x}$ 的衰减速度会远远超过 $x^alpha$ 的增长速度（如果 $alpha$ 是正数的话）。这才是保证积分收敛的根本原因。
如何进行严格的证明？
我们可以使用极限比较判别法或者直接比较判别法来证明。
方法一：直接比较判别法
为了使用直接比较判别法，我们需要找到一个函数 $g(x)$，使得对于所有 $x geq 1$，我们有 $0 leq f(x) leq g(x)$，并且我们知道 $int_1^{+infty} g(x) dx$ 是收敛的。
我们知道，对于任何正整数 $n$，以下的不等式是成立的：
$$ e^x > frac{x^n}{n!} $$
利用这个不等式，我们可以得到：
$$ e^{x} < frac{n!}{x^n} $$
因此，我们的被积函数 $f(x) = x^alpha e^{x}$ 可以写成：
$$ x^alpha e^{x} < x^alpha frac{n!}{x^n} = n! x^{alphan} $$
现在，我们的目标是选择一个合适的整数 $n$，使得 $x^{alphan}$ 在积分 $int_1^{+infty} x^{alphan} dx$ 上是收敛的。我们知道，积分 $int_1^{+infty} x^p dx$ 在 $p < 1$ 时是收敛的。
所以，我们需要 $alpha n < 1$。我们可以选择一个足够大的正整数 $n$ 来满足这个条件。具体来说，如果我们选择 $n > alpha + 1$，那么 $alpha n < 1$ 就成立了。
例如，我们可以选择 $n = lfloor |alpha| floor + 2$（如果 $alpha geq 0$，则为 $lfloor alpha floor + 2$），或者更简单地，我们可以选择一个固定的整数 $n$（比如 $n=2$ 或 $n=3$），然后根据 $alpha$ 的值来调整比较。
让我们来举个例子：选择 $n=2$。
那么我们有 $x^alpha e^{x} < 2! x^{alpha2}$。
如果 $alpha 2 < 1$，即 $alpha < 1$，那么 $int_1^{+infty} x^{alpha2} dx$ 是收敛的，因此 $x^alpha e^{x}$ 在 $[1, +infty)$ 上也是收敛的。
但是，我们不能就这样直接结束，因为 $alpha$ 可以大于等于 $1$。
关键在于选取合适的 $n$ 来“压制” $x^alpha$
对于任意的 $alpha$，我们总可以选择一个整数 $n$ 使得 $alpha n < 1$。例如，我们可以选择 $n = max(1, lfloor |alpha| floor + 2)$（如果我们考虑 $alpha$ 是负数的情况，可以更简单地选择一个大于 $|alpha|+1$ 的整数 $n$）。
这样一来，我们就有：
$$ x^alpha e^{x} < n! x^{alphan} $$
因为 $alpha n < 1$，所以积分 $int_1^{+infty} x^{alphan} dx$ 是收敛的。
根据直接比较判别法，既然 $x^alpha e^{x}$ 小于一个在 $[1, +infty)$ 上积分收敛的函数（乘以一个常数 $n!$），那么 $int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 也是收敛的。
方法二：极限比较判别法
这个方法通常更方便，因为它不需要我们找到一个精确的上界函数，只需要关注函数的“渐近行为”。
我们选择一个我们已知的收敛的积分的被积函数作为比较对象。考虑函数 $g(x) = e^{x/2}$。我们知道 $int_1^{+infty} e^{x/2} dx$ 是收敛的（这是一个指数函数的积分，而且指数是负的）。
现在，我们计算极限：
$$ L = lim_{x o +infty} frac{x^alpha e^{x}}{e^{x/2}} = lim_{x o +infty} x^alpha e^{x + x/2} = lim_{x o +infty} x^alpha e^{x/2} $$
让我们来分析这个极限：
当 $alpha leq 0$ 时：
如果 $alpha leq 0$，那么 $x^alpha$ 在 $x o +infty$ 时趋于一个常数或者趋于 $0$。而 $e^{x/2}$ 是指数级趋于 $0$ 的。因此，它们的乘积 $x^alpha e^{x/2}$ 趋于 $0$。
所以，$L = 0$。
当 $alpha > 0$ 时：
在这种情况下，我们实际上是在计算一个指数函数（$e^{x/2}$）除以一个多项式函数的“反面”或者说指数函数衰减速度与多项式增长速度的比较。指数函数 $e^{x/2}$ 衰减的速度总是比任何多项式函数 $x^alpha$ 增长的速度快。
为了更严谨地说明这一点，我们可以再次使用洛必达法则。但更直观的是，我们可以考虑 $x^alpha e^{x/2} = frac{x^alpha}{e^{x/2}}$。当 $x o +infty$ 时，这个极限为 $0$，因为 $e^{x/2}$ 的增长速度远远快于 $x^alpha$ 的增长速度。
所以，$L = 0$。
结论：
在所有情况下，无论是 $alpha leq 0$ 还是 $alpha > 0$，我们都有 $L = lim_{x o +infty} frac{x^alpha e^{x}}{e^{x/2}} = 0$。
根据极限比较判别法，如果 $lim_{x o +infty} frac{f(x)}{g(x)} = L$，并且 $L$ 是一个有限的非负数，那么 $int_a^{+infty} f(x) dx$ 和 $int_a^{+infty} g(x) dx$ 要么都收敛，要么都发散。
在本例中，我们选择的 $g(x) = e^{x/2}$ 使得 $int_1^{+infty} e^{x/2} dx$ 是收敛的。
并且我们算出的极限 $L=0$。当 $L=0$ 且 $int_1^{+infty} g(x) dx$ 收敛时，根据极限比较判别法的延伸（或者可以理解为：因为 $f(x)$ 比 $g(x)$ 衰减得更快，如果 $g(x)$ 还能积出来，那么 $f(x)$ 肯定也能积出来），我们得出结论：
$int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 是收敛的。
总结一下为什么总是收敛：
积分 $int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 的收敛性主要依赖于被积函数在 $x o +infty$ 时的行为。虽然 $x^alpha$ 可以增长（当 $alpha>0$ 时），但 $e^{x}$ 的指数级衰减能力远远超过了 $x^alpha$ 的增长能力。
无论是通过选择一个适当的整数 $n$ 来构建一个收敛的比较函数 $n! x^{alphan}$ (其中 $alphan < 1$)，还是通过极限比较法与 $e^{x/2}$ 这样的收敛函数进行比较，我们都证明了 $x^alpha e^{x}$ 的衰减速度足够快，以至于其在无穷区间的积分是有限的。
这个积分在数学中非常重要，它与伽马函数有关。伽马函数 $Gamma(z) = int_0^{+infty} t^{z1} e^{t} dt$ 就是一个更广义的形式。你所问的积分 $int_1^{+infty} x^alpha e^{x} dx$ 可以看作是伽马函数的一部分，或者与其密切相关。正是因为 $e^{x}$ 的指数衰减，即使前面有任何多项式因子 $x^alpha$，整个积分在正无穷处最终都会收敛。
网友意见
积分 的敛散性与级数 的敛散性一致
这里我使用比值审敛法判别级数的敛散性
由于
所以级数 是收敛的，因此该积分是收敛的
故原命题成立。
水平有限，如有错误，还请指出！
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