如何求 R^n 上 |x|^2 * e^(-|x|^2) 的积分？
好的，我们来聊聊如何在 R^n 上计算这个积分：$int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx$。这个积分在很多领域，比如统计物理、量子力学以及概率论中都非常常见。
首先，让我们先分解一下被积函数 $|x|^2 e^{|x|^2}$。
$|x|^2$: 在 R^n 中，如果 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，那么 $|x|^2 = x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2$。
$e^{|x|^2}$: 这是一个高斯函数的形式，它在原点处达到最大值，并随着 $|x|$ 的增大而迅速衰减。
这个积分的计算，最直接也最有效的方法是利用 高斯积分 的知识以及 球坐标系 的思想。
核心思路：将多维积分转化为一维积分
R^n 上的积分直接计算会很困难，特别是当被积函数涉及到 $|x|$（距离原点的距离）时。这时候，我们往往会尝试使用高维的球坐标系来简化计算。
第一步：引入一个辅助的、独立的 R^n 高斯积分
考虑一个非常著名的积分：
$$I_n = int_{mathbb{R}^n} e^{|x|^2} dx$$
这个积分是高斯函数在 R^n 上的积分。我们可以通过将它写成 n 个独立的一维高斯积分的乘积来计算：
$$I_n = int_{mathbb{R}^n} e^{(x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2)} dx_1 dx_2 dots dx_n$$
$$I_n = left(int_{infty}^{infty} e^{x_1^2} dx_1 ight) left(int_{infty}^{infty} e^{x_2^2} dx_2 ight) dots left(int_{infty}^{infty} e^{x_n^2} dx_n ight)$$
我们知道一维高斯积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$。
所以，
$$I_n = (sqrt{pi})^n = pi^{n/2}$$
这个结果非常重要，我们将会在后面的计算中用到它。
第二步：对被积函数进行操作，引入 $|x|^2$
我们的目标积分是 $J_n = int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx$。
如何引入 $|x|^2$ 呢？我们可以利用导数性质。考虑对 $I_n$ 做一些“微调”。
一种巧妙的方法是考虑这样一个量：
$$int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx$$
其中 $a$ 是一个正的常数。通过类似的推导（将 $x_i^2$ 替换为 $ax_i^2$），我们得到：
$$int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx = left(int_{infty}^{infty} e^{ax^2} dx ight)^n$$
对于一维积分 $int_{infty}^{infty} e^{ax^2} dx$，我们可以做变量替换 $y = sqrt{a}x$，则 $dy = sqrt{a} dx$，$dx = frac{1}{sqrt{a}} dy$。
$$int_{infty}^{infty} e^{ax^2} dx = int_{infty}^{infty} e^{y^2} frac{1}{sqrt{a}} dy = frac{1}{sqrt{a}} int_{infty}^{infty} e^{y^2} dy = frac{sqrt{pi}}{sqrt{a}}$$
所以，
$$int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx = left(frac{sqrt{pi}}{sqrt{a}} ight)^n = frac{pi^{n/2}}{a^{n/2}}$$
现在，我们来看如何利用导数来引入 $|x|^2$。
考虑对关于参数 $a$ 的函数 $f(a) = int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx$ 进行求导。
$$f'(a) = frac{d}{da} int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx$$
我们通常可以在积分号下求导（假设收敛性满足条件，这里是满足的）：
$$f'(a) = int_{mathbb{R}^n} frac{partial}{partial a} (e^{a|x|^2}) dx$$
$$f'(a) = int_{mathbb{R}^n} (|x|^2) e^{a|x|^2} dx$$
$$f'(a) = int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{a|x|^2} dx$$
另一方面，我们已经知道 $f(a) = frac{pi^{n/2}}{a^{n/2}} = pi^{n/2} a^{n/2}$。
对 $f(a)$ 关于 $a$ 求导：
$$f'(a) = pi^{n/2} left(frac{n}{2} ight) a^{n/2 1}$$
$$f'(a) = frac{n}{2} pi^{n/2} a^{(n+2)/2}$$
现在，我们令 $a=1$（因为我们的目标积分是 $e^{|x|^2}$，相当于 $a=1$ 的情况）。
从 $f'(a) = int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{a|x|^2} dx$ 来看，当 $a=1$ 时：
$$f'(1) = int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx$$
从 $f'(a) = frac{n}{2} pi^{n/2} a^{(n+2)/2}$ 来看，当 $a=1$ 时：
$$f'(1) = frac{n}{2} pi^{n/2} (1)^{(n+2)/2} = frac{n}{2} pi^{n/2}$$
将两者联立，我们就得到了：
$$int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx = frac{n}{2} pi^{n/2}$$
因此，
$$int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx = frac{n}{2} pi^{n/2}$$
这个方法非常简洁高效。
第二种方法：利用球坐标系和期望值
这种方法可能更加直观一些，因为它直接利用了 R^n 的球对称性。
第一步：利用 R^n 的球坐标系
R^n 的球坐标系可以将一个点 $x$ 表示为 $(r, Omega)$，其中 $r = |x|$ 是径向距离，而 $Omega$ 是位于单位球面 $S^{n1}$ 上的角度坐标。
在 R^n 中，体积元 $dx$ 可以写成：
$$dx = r^{n1} dr dOmega$$
其中 $dOmega$ 是单位球面 $S^{n1}$ 上的面积元。
被积函数 $|x|^2 e^{|x|^2}$ 在球坐标系下变成 $r^2 e^{r^2}$。
所以，积分变为：
$$int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx = int_0^infty int_{S^{n1}} r^2 e^{r^2} r^{n1} dr dOmega$$
$$= int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr int_{S^{n1}} dOmega$$
第二步：计算单位球面的面积
$int_{S^{n1}} dOmega$ 是单位球面 $S^{n1}$ 的总面积。单位球面的面积公式是：
$$A_{n1} = frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$$
其中 $Gamma(z)$ 是伽马函数。我们知道 $Gamma(1/2) = sqrt{pi}$ 和 $Gamma(1) = 1$。
当 n 为偶数，比如 $n=2k$，则 $n/2 = k$，$Gamma(k) = (k1)!$。所以 $A_{2k1} = frac{2pi^k}{k!} imes (2k1)!$ （这里的记号有点乱，更准确的是球面 $S^{n1}$ 的面积）
更常见的单位球面 $S^{n1}$ 的面积是：
$$A_{n1} = frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$$
所以积分是：
$$J_n = left(int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr ight) left(frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)} ight)$$
第三步：计算径向积分
我们需要计算 $int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr$。
我们可以做变量替换 $u = r^2$。那么 $du = 2r dr$。
$r = sqrt{u}$，$r^{n+1} = (sqrt{u})^{n+1} = u^{(n+1)/2}$。
$dr = frac{1}{2sqrt{u}} du = frac{1}{2} u^{1/2} du$。
代入积分：
$$int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr = int_0^infty u^{(n+1)/2} e^{u} left(frac{1}{2} u^{1/2} du ight)$$
$$= frac{1}{2} int_0^infty u^{(n+1)/2 1/2} e^{u} du$$
$$= frac{1}{2} int_0^infty u^{n/2} e^{u} du$$
这个积分的形式正是伽马函数的定义：$Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$。
所以，我们的积分是 $frac{1}{2} Gamma(n/2 + 1)$。
第四步：将结果组合起来
现在我们将径向积分和球面面积结合起来：
$$J_n = left(frac{1}{2} Gamma(n/2 + 1) ight) left(frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)} ight)$$
我们知道伽马函数的一个重要性质是 $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$。
所以 $Gamma(n/2 + 1) = frac{n}{2} Gamma(n/2)$。
代入上式：
$$J_n = left(frac{1}{2} cdot frac{n}{2} Gamma(n/2) ight) left(frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)} ight)$$
$$J_n = frac{n}{4} Gamma(n/2) cdot frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$$
消去 $Gamma(n/2)$：
$$J_n = frac{n}{4} cdot 2pi^{n/2}$$
$$J_n = frac{n}{2} pi^{n/2}$$
两种方法都得到了相同的结果，$frac{n}{2} pi^{n/2}$。第一种方法利用了对参数求导的技巧，非常巧妙；第二种方法则更加依赖于对 R^n 球坐标系和伽马函数的熟悉程度。
举个例子：n=3 的情况
让我们来验证一下 n=3 的结果。
目标是计算 $int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{|x|^2} dx$。
根据公式，结果应该是 $frac{3}{2} pi^{3/2}$。
我们来用方法一验证一下：
考虑 $I_3(a) = int_{mathbb{R}^3} e^{a|x|^2} dx = frac{pi^{3/2}}{a^{3/2}}$。
$I_3'(a) = frac{d}{da} left(pi^{3/2} a^{3/2} ight) = pi^{3/2} left(frac{3}{2} ight) a^{5/2}$。
同时，$I_3'(a) = int_{mathbb{R}^3} (|x|^2) e^{a|x|^2} dx = int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{a|x|^2} dx$。
令 $a=1$:
$int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{|x|^2} dx = pi^{3/2} left(frac{3}{2} ight) (1)^{5/2} = frac{3}{2} pi^{3/2}$。
所以 $int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{|x|^2} dx = frac{3}{2} pi^{3/2}$。结果一致。
用方法二验证一下：
$int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{|x|^2} dx = int_0^infty r^2 e^{r^2} r^{31} dr int_{S^2} dOmega$
$S^2$ 的面积是 $4pi$。
径向积分是 $int_0^infty r^2 e^{r^2} r^2 dr = int_0^infty r^4 e^{r^2} dr$。
令 $u = r^2$, $du = 2r dr$, $dr = frac{1}{2sqrt{u}} du$。
$int_0^infty u^2 e^{u} frac{1}{2} u^{1/2} du = frac{1}{2} int_0^infty u^{3/2} e^{u} du = frac{1}{2} Gamma(5/2)$。
$Gamma(5/2) = frac{3}{2} Gamma(3/2) = frac{3}{2} cdot frac{1}{2} Gamma(1/2) = frac{3}{4} sqrt{pi}$。
所以径向积分是 $frac{1}{2} cdot frac{3}{4} sqrt{pi} = frac{3}{8} sqrt{pi}$。
总积分是 $frac{3}{8} sqrt{pi} cdot 4pi = frac{3}{2} pi^{3/2}$。结果也一致。
总结一下计算步骤：
1. 识别积分形式: 积分包含 $|x|^2$ 和指数项 $e^{|x|^2}$，这提示使用高斯积分和球坐标系。
2. 方法一 (参数求导):
考虑更一般的积分 $int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx = pi^{n/2} a^{n/2}$。
对关于 $a$ 求导，得到 $int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{a|x|^2} dx = frac{n}{2} pi^{n/2} a^{(n+2)/2}$。
令 $a=1$，直接得到结果 $int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx = frac{n}{2} pi^{n/2}$。
3. 方法二 (球坐标与伽马函数):
将积分转化为球坐标下的形式：$int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr int_{S^{n1}} dOmega$。
计算单位球面的面积 $A_{n1} = frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$。
计算径向积分 $int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr$，通过变量替换得到 $frac{1}{2} Gamma(n/2 + 1)$。
利用 $Gamma(z+1) = zGamma(z)$ 将结果组合，得到 $frac{n}{2} pi^{n/2}$。
这两种方法都非常强大，而且在处理这类积分时经常会用到。希望这个详细的解释能帮助你理解这个计算过程！
首先，让我们先分解一下被积函数 $|x|^2 e^{|x|^2}$。
$|x|^2$: 在 R^n 中，如果 $x = (x_1, x_2, dots, x_n)$，那么 $|x|^2 = x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2$。
$e^{|x|^2}$: 这是一个高斯函数的形式，它在原点处达到最大值，并随着 $|x|$ 的增大而迅速衰减。
这个积分的计算，最直接也最有效的方法是利用 高斯积分 的知识以及 球坐标系 的思想。
核心思路：将多维积分转化为一维积分
R^n 上的积分直接计算会很困难，特别是当被积函数涉及到 $|x|$（距离原点的距离）时。这时候，我们往往会尝试使用高维的球坐标系来简化计算。
第一步：引入一个辅助的、独立的 R^n 高斯积分
考虑一个非常著名的积分：
$$I_n = int_{mathbb{R}^n} e^{|x|^2} dx$$
这个积分是高斯函数在 R^n 上的积分。我们可以通过将它写成 n 个独立的一维高斯积分的乘积来计算：
$$I_n = int_{mathbb{R}^n} e^{(x_1^2 + x_2^2 + dots + x_n^2)} dx_1 dx_2 dots dx_n$$
$$I_n = left(int_{infty}^{infty} e^{x_1^2} dx_1 ight) left(int_{infty}^{infty} e^{x_2^2} dx_2 ight) dots left(int_{infty}^{infty} e^{x_n^2} dx_n ight)$$
我们知道一维高斯积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$。
所以，
$$I_n = (sqrt{pi})^n = pi^{n/2}$$
这个结果非常重要，我们将会在后面的计算中用到它。
第二步：对被积函数进行操作，引入 $|x|^2$
我们的目标积分是 $J_n = int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx$。
如何引入 $|x|^2$ 呢？我们可以利用导数性质。考虑对 $I_n$ 做一些“微调”。
一种巧妙的方法是考虑这样一个量：
$$int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx$$
其中 $a$ 是一个正的常数。通过类似的推导（将 $x_i^2$ 替换为 $ax_i^2$），我们得到：
$$int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx = left(int_{infty}^{infty} e^{ax^2} dx ight)^n$$
对于一维积分 $int_{infty}^{infty} e^{ax^2} dx$，我们可以做变量替换 $y = sqrt{a}x$，则 $dy = sqrt{a} dx$，$dx = frac{1}{sqrt{a}} dy$。
$$int_{infty}^{infty} e^{ax^2} dx = int_{infty}^{infty} e^{y^2} frac{1}{sqrt{a}} dy = frac{1}{sqrt{a}} int_{infty}^{infty} e^{y^2} dy = frac{sqrt{pi}}{sqrt{a}}$$
所以，
$$int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx = left(frac{sqrt{pi}}{sqrt{a}} ight)^n = frac{pi^{n/2}}{a^{n/2}}$$
现在，我们来看如何利用导数来引入 $|x|^2$。
考虑对关于参数 $a$ 的函数 $f(a) = int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx$ 进行求导。
$$f'(a) = frac{d}{da} int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx$$
我们通常可以在积分号下求导（假设收敛性满足条件，这里是满足的）：
$$f'(a) = int_{mathbb{R}^n} frac{partial}{partial a} (e^{a|x|^2}) dx$$
$$f'(a) = int_{mathbb{R}^n} (|x|^2) e^{a|x|^2} dx$$
$$f'(a) = int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{a|x|^2} dx$$
另一方面，我们已经知道 $f(a) = frac{pi^{n/2}}{a^{n/2}} = pi^{n/2} a^{n/2}$。
对 $f(a)$ 关于 $a$ 求导：
$$f'(a) = pi^{n/2} left(frac{n}{2} ight) a^{n/2 1}$$
$$f'(a) = frac{n}{2} pi^{n/2} a^{(n+2)/2}$$
现在，我们令 $a=1$（因为我们的目标积分是 $e^{|x|^2}$，相当于 $a=1$ 的情况）。
从 $f'(a) = int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{a|x|^2} dx$ 来看，当 $a=1$ 时：
$$f'(1) = int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx$$
从 $f'(a) = frac{n}{2} pi^{n/2} a^{(n+2)/2}$ 来看，当 $a=1$ 时：
$$f'(1) = frac{n}{2} pi^{n/2} (1)^{(n+2)/2} = frac{n}{2} pi^{n/2}$$
将两者联立，我们就得到了：
$$int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx = frac{n}{2} pi^{n/2}$$
因此，
$$int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx = frac{n}{2} pi^{n/2}$$
这个方法非常简洁高效。
第二种方法：利用球坐标系和期望值
这种方法可能更加直观一些，因为它直接利用了 R^n 的球对称性。
第一步：利用 R^n 的球坐标系
R^n 的球坐标系可以将一个点 $x$ 表示为 $(r, Omega)$，其中 $r = |x|$ 是径向距离，而 $Omega$ 是位于单位球面 $S^{n1}$ 上的角度坐标。
在 R^n 中，体积元 $dx$ 可以写成：
$$dx = r^{n1} dr dOmega$$
其中 $dOmega$ 是单位球面 $S^{n1}$ 上的面积元。
被积函数 $|x|^2 e^{|x|^2}$ 在球坐标系下变成 $r^2 e^{r^2}$。
所以，积分变为：
$$int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx = int_0^infty int_{S^{n1}} r^2 e^{r^2} r^{n1} dr dOmega$$
$$= int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr int_{S^{n1}} dOmega$$
第二步：计算单位球面的面积
$int_{S^{n1}} dOmega$ 是单位球面 $S^{n1}$ 的总面积。单位球面的面积公式是：
$$A_{n1} = frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$$
其中 $Gamma(z)$ 是伽马函数。我们知道 $Gamma(1/2) = sqrt{pi}$ 和 $Gamma(1) = 1$。
当 n 为偶数，比如 $n=2k$，则 $n/2 = k$，$Gamma(k) = (k1)!$。所以 $A_{2k1} = frac{2pi^k}{k!} imes (2k1)!$ （这里的记号有点乱，更准确的是球面 $S^{n1}$ 的面积）
更常见的单位球面 $S^{n1}$ 的面积是：
$$A_{n1} = frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$$
所以积分是：
$$J_n = left(int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr ight) left(frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)} ight)$$
第三步：计算径向积分
我们需要计算 $int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr$。
我们可以做变量替换 $u = r^2$。那么 $du = 2r dr$。
$r = sqrt{u}$，$r^{n+1} = (sqrt{u})^{n+1} = u^{(n+1)/2}$。
$dr = frac{1}{2sqrt{u}} du = frac{1}{2} u^{1/2} du$。
代入积分：
$$int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr = int_0^infty u^{(n+1)/2} e^{u} left(frac{1}{2} u^{1/2} du ight)$$
$$= frac{1}{2} int_0^infty u^{(n+1)/2 1/2} e^{u} du$$
$$= frac{1}{2} int_0^infty u^{n/2} e^{u} du$$
这个积分的形式正是伽马函数的定义：$Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$。
所以，我们的积分是 $frac{1}{2} Gamma(n/2 + 1)$。
第四步：将结果组合起来
现在我们将径向积分和球面面积结合起来：
$$J_n = left(frac{1}{2} Gamma(n/2 + 1) ight) left(frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)} ight)$$
我们知道伽马函数的一个重要性质是 $Gamma(z+1) = z Gamma(z)$。
所以 $Gamma(n/2 + 1) = frac{n}{2} Gamma(n/2)$。
代入上式：
$$J_n = left(frac{1}{2} cdot frac{n}{2} Gamma(n/2) ight) left(frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)} ight)$$
$$J_n = frac{n}{4} Gamma(n/2) cdot frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$$
消去 $Gamma(n/2)$：
$$J_n = frac{n}{4} cdot 2pi^{n/2}$$
$$J_n = frac{n}{2} pi^{n/2}$$
两种方法都得到了相同的结果，$frac{n}{2} pi^{n/2}$。第一种方法利用了对参数求导的技巧，非常巧妙；第二种方法则更加依赖于对 R^n 球坐标系和伽马函数的熟悉程度。
举个例子：n=3 的情况
让我们来验证一下 n=3 的结果。
目标是计算 $int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{|x|^2} dx$。
根据公式，结果应该是 $frac{3}{2} pi^{3/2}$。
我们来用方法一验证一下：
考虑 $I_3(a) = int_{mathbb{R}^3} e^{a|x|^2} dx = frac{pi^{3/2}}{a^{3/2}}$。
$I_3'(a) = frac{d}{da} left(pi^{3/2} a^{3/2} ight) = pi^{3/2} left(frac{3}{2} ight) a^{5/2}$。
同时，$I_3'(a) = int_{mathbb{R}^3} (|x|^2) e^{a|x|^2} dx = int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{a|x|^2} dx$。
令 $a=1$:
$int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{|x|^2} dx = pi^{3/2} left(frac{3}{2} ight) (1)^{5/2} = frac{3}{2} pi^{3/2}$。
所以 $int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{|x|^2} dx = frac{3}{2} pi^{3/2}$。结果一致。
用方法二验证一下：
$int_{mathbb{R}^3} |x|^2 e^{|x|^2} dx = int_0^infty r^2 e^{r^2} r^{31} dr int_{S^2} dOmega$
$S^2$ 的面积是 $4pi$。
径向积分是 $int_0^infty r^2 e^{r^2} r^2 dr = int_0^infty r^4 e^{r^2} dr$。
令 $u = r^2$, $du = 2r dr$, $dr = frac{1}{2sqrt{u}} du$。
$int_0^infty u^2 e^{u} frac{1}{2} u^{1/2} du = frac{1}{2} int_0^infty u^{3/2} e^{u} du = frac{1}{2} Gamma(5/2)$。
$Gamma(5/2) = frac{3}{2} Gamma(3/2) = frac{3}{2} cdot frac{1}{2} Gamma(1/2) = frac{3}{4} sqrt{pi}$。
所以径向积分是 $frac{1}{2} cdot frac{3}{4} sqrt{pi} = frac{3}{8} sqrt{pi}$。
总积分是 $frac{3}{8} sqrt{pi} cdot 4pi = frac{3}{2} pi^{3/2}$。结果也一致。
总结一下计算步骤：
1. 识别积分形式: 积分包含 $|x|^2$ 和指数项 $e^{|x|^2}$，这提示使用高斯积分和球坐标系。
2. 方法一 (参数求导):
考虑更一般的积分 $int_{mathbb{R}^n} e^{a|x|^2} dx = pi^{n/2} a^{n/2}$。
对关于 $a$ 求导，得到 $int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{a|x|^2} dx = frac{n}{2} pi^{n/2} a^{(n+2)/2}$。
令 $a=1$，直接得到结果 $int_{mathbb{R}^n} |x|^2 e^{|x|^2} dx = frac{n}{2} pi^{n/2}$。
3. 方法二 (球坐标与伽马函数):
将积分转化为球坐标下的形式：$int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr int_{S^{n1}} dOmega$。
计算单位球面的面积 $A_{n1} = frac{2pi^{n/2}}{Gamma(n/2)}$。
计算径向积分 $int_0^infty r^{n+1} e^{r^2} dr$，通过变量替换得到 $frac{1}{2} Gamma(n/2 + 1)$。
利用 $Gamma(z+1) = zGamma(z)$ 将结果组合，得到 $frac{n}{2} pi^{n/2}$。
这两种方法都非常强大，而且在处理这类积分时经常会用到。希望这个详细的解释能帮助你理解这个计算过程！
网友意见
是不是可以换成类似极坐标的计算方式
是半径为 的 维球体的表面积，即
代进去可得
后面只关注积分部分
换一下元 ，可以得到
注意到
所以最后结果为
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好的，咱们来聊聊怎么啃下这个极限问题。别担心，我会把步骤拆解得明明白白，就像剥洋葱一样，一层一层地把真相挖出来。咱们目标是理解背后的逻辑，而不是死记硬背公式。假设我们遇到的极限问题是这样的：$lim_{x o a} f(x)$这里的 $a$ 可以是任何一个数，也可以是 $+infty$ 或 $in.............
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这道题的函数形式确实有些挑战性，它糅杂了多种元素，要想找到它的不定积分，我们需要一步一步来拆解，并运用一些常用的积分技巧。别担心，咱们一步一步来，把过程讲清楚，你很快就能掌握。首先，让我们明确一下我们要处理的函数。我假设你说的“复杂的函数”是指类似这样的形式：$$int frac{P(x)}{Q(x.............
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哈哈，你这个问题很有意思！这个表情包确实很经典，它代表了一种既无语又有点无奈的表情，尤其是在面对一些“讲不明白”、“有点离谱”但又“确实存在”的事情时。要说这个表情包里的“极限”，那咱们得从几个角度来解读，我尽量说得接地气点，让你觉得就像跟朋友聊天一样。首先，咱们得明白这个表情包通常用在什么情境下。.............
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求数列 $sin(n heta) > 0$ 的个数，这实际上是在问，在给定的范围（通常是正整数 $n$ 从 $1$ 开始到某个上限）内，有多少个 $n$ 使得 $sin(n heta)$ 的值是正的。要详细解答这个问题，我们需要深入理解正弦函数的性质以及与角度 $n heta$ 的关系。 理解正弦函.............
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好的，咱们来聊聊这个挺有意思的问题：在圆周上随机取 n 个点，把它们连起来会形成一个 n 边形，这个 n 边形的凸包（在这个例子里就是它本身）的平均面积是多少？这可不是一个简单的问题，里面涉及到不少概率几何的知识。首先得明白一点，咱们说的“随机 n 点”不是随便画几个点就完事了，它是有数学定义的。最.............
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宇宙的体积？这是一个让人脑袋发胀，又无比着迷的问题。我们通常说的“宇宙”，指的究竟是哪个宇宙？是我们可以观测到的那一部分，还是它真实存在的全部？这就像问一个身处大西洋中心的人，“大海有多大？” 他能看到的只是无边无际的水面，而大海真正的边界在哪里，甚至是否存在边界，他完全无法知晓。第一步：我们能看到.............
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好的，我们来聊聊如何求周期函数的极限，而且我会尽量用一种更接地气、更像经验分享的方式来讲解，让你感觉就像在跟一个老朋友探讨数学问题一样，而不是在读一本冰冷的教科书。首先，我们得明白“周期函数”这玩意儿是什么。简单说，就是它会自己重复自己。就像一首歌，唱完一段，下一段又会回到开头那一小段的旋律，如此往.............
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哈哈，您这个问题问得太到位了！극한这玩意儿，初看之下确实有点玄乎，但只要摸清了门道，它们就会变得非常有意思。您提到“去除AI痕迹”，这说明您更喜欢那种循循善诱、娓娓道来的讲解方式，而不是那种冷冰冰、生硬的公式堆砌。没问题，我这就给您好好说道说道，就像和老朋友聊天一样，把这两个极限的求法给捋顺了。咱们.............
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好的，我们来聊聊如何求一个函数的n阶导数。这个问题其实非常有意思，它涉及到微积分的核心概念，并且随着n的增大，求解过程也会变得越来越有趣和有挑战性。我会尽量用一种易于理解的方式来讲解，就像我们面对面探讨一样，让你完全明白其中的思路和方法。首先，我们得明确一点：求n阶导数不是一个一成不变的公式，更多时.............
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要计算级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{3^n 2^n}$ 的和，这是一个稍微有些挑战的任务，因为分母的结构不是一个简单的等比数列形式。直接求和可能会比较困难，我们需要一些技巧。1. 理解级数的收敛性在尝试计算级数和之前，我们首先要确认这个级数是收敛的。我们可以使用比较判.............
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好的，我们来聊聊如何给数列找到那个“一眼就能看穿”的通项公式。这可不是什么魔法，而是数学里一种有趣的“侦探游戏”。当我们看到一串数字，比如1, 4, 9, 16, 25……（哎呀，是不是有点眼熟？），我们的任务就是找出这串数字背后的规律，并用一个数学表达式把它概括出来。别急，我们一步一步来，就像拆解.............
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好的，咱们一起来聊聊如何计算这个积分。这篇文章我尽量写得详细些，就像和老朋友一样，把计算过程中的门道都掰开了揉碎了讲清楚，绝对不会让你觉得是在读一篇冰冷的机器报告。首先，我们得看看这个积分到底长什么样。假设我们要计算的积分是：$$ int f(x) dx $$其中，$f(x)$ 是我们今天要处理的被.............
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好的，我们来聊聊如何搞定那些看起来有点棘手的极限问题。很多时候，我们在学习微积分的时候，都会遇到一些需要“变形”才能顺利求解的极限。别担心，这背后有一套很系统的方法，熟练掌握了，很多看起来吓人的题目都能迎刃而解。核心思想：化繁为简，将未定式转化为已知极限很多时候，直接代入变量会得到诸如 $frac{.............
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太棒了！能向您请教如何求通项公式，这是学习数学过程中非常重要的一步。我们一起来深入聊聊这两个数列，看看它们隐藏着怎样的规律，以及如何把这份规律用简洁的语言表达出来，也就是通项公式。在开始之前，我先想强调一点：求通项公式，其实就像在侦探破案，我们要仔细观察数列的每一项，寻找数字之间、项与项之间的联系。.............
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好的，我们来聊聊如何求解一个连分数的收敛值。连分数，顾名思义，就是一种形如 $a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + dots}}}$ 的数学表达式。这里，$a_0$ 是一个整数，而 $a_1, a_2, a_3, dots$ 都是正整数。.............
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好，咱们这就来好好琢磨一下高中阶段如何求函数 $f(x) = sin x + 2cos x + sin x cos x$ 的值域。这道题看着有点绕，但只要咱们一步步来，拆解开，就能找到它隐藏的规律。首先，咱们得把函数 $f(x)$ 化简一下，让它看起来更“好对付”。第一步：识别结构，尝试代换仔细看看.............
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想要计算一个椭圆上所有点到其中心的平均距离，这其实是一个很有趣的问题，涉及到一些积分和几何的概念。我们一步一步来拆解它。首先，我们要明确什么是“椭圆上的点到中心的距离”。一个椭圆，我们通常会设定一个中心点，比如在坐标原点 (0,0)。椭圆的形状是由它的两个半轴决定的，长半轴（我们记为 $a$）和短半.............
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