如何求此类极限?

好的，我们来聊聊如何搞定那些看起来有点棘手的极限问题。很多时候，我们在学习微积分的时候，都会遇到一些需要“变形”才能顺利求解的极限。别担心，这背后有一套很系统的方法，熟练掌握了，很多看起来吓人的题目都能迎刃而解。

核心思想：化繁为简，将未定式转化为已知极限

很多时候，直接代入变量会得到诸如 $frac{0}{0}$、$frac{infty}{infty}$、$infty infty$、$0 cdot infty$、$1^infty$、$0^0$、$infty^0$ 这样的“未定式”。这些未定式告诉我们，直接代入是不行的，需要我们对表达式进行适当的变换，才能揭示出真正的极限值。

第一步：识别未定式类型

在尝试任何方法之前，务必先将趋近的值代入原表达式，看看得到的是哪种未定式。这决定了你下一步应该采取哪种策略。

$frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$： 这是最常见的两种未定式。
$infty infty$： 通常意味着需要合并项或者找到公分母。
$0 cdot infty$： 通常可以将乘积转化为分数，再化为 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$。
$1^infty$、$0^0$、$infty^0$： 这类指数形式的未定式，通常需要借助对数来处理，将其转化为乘法，再进一步处理。

第二步：针对不同未定式的常用方法

下面我们详细介绍几种常见的方法，并举例说明。

1. 代数法：因式分解、约分、提取公因子

这是最基础也是最重要的方法，尤其适用于 $frac{0}{0}$ 型的代数式极限。

思路： 目标是将分子和分母中导致 $frac{0}{0}$ 的共同因子消掉。
常用技巧：
因式分解： 对于多项式，尝试将其因式分解。
提取公因子： 找到分子分母的公因子并提取出来。
平方差公式/立方差公式： $a^2 b^2 = (ab)(a+b)$，$a^3 b^3 = (ab)(a^2+ab+b^2)$ 等。
有理化： 对于含有根号的表达式，可以通过乘以共轭表达式来去掉根号。

例子 1： 求 $lim_{x o 2} frac{x^2 4}{x 2}$

识别： 代入 $x=2$ 得 $frac{2^2 4}{2 2} = frac{0}{0}$，是 $frac{0}{0}$ 型未定式。
处理： 分子 $x^2 4$ 可以因式分解为 $(x2)(x+2)$。
计算：
$lim_{x o 2} frac{x^2 4}{x 2} = lim_{x o 2} frac{(x2)(x+2)}{x 2}$
当 $x o 2$ 时，$x eq 2$，所以我们可以约去 $(x2)$：
$= lim_{x o 2} (x+2)$
现在可以直接代入 $x=2$：
$= 2 + 2 = 4$
结果： 极限值为 4。

例子 2： 求 $lim_{x o 0} frac{sqrt{1+x} 1}{x}$

识别： 代入 $x=0$ 得 $frac{sqrt{1+0} 1}{0} = frac{0}{0}$，是 $frac{0}{0}$ 型未定式。
处理： 分子含有根号，尝试有理化。乘以共轭表达式 $sqrt{1+x} + 1$。
计算：
$lim_{x o 0} frac{sqrt{1+x} 1}{x} = lim_{x o 0} frac{(sqrt{1+x} 1)(sqrt{1+x} + 1)}{x(sqrt{1+x} + 1)}$
$= lim_{x o 0} frac{(1+x) 1}{x(sqrt{1+x} + 1)}$
$= lim_{x o 0} frac{x}{x(sqrt{1+x} + 1)}$
约去 $x$：
$= lim_{x o 0} frac{1}{sqrt{1+x} + 1}$
直接代入 $x=0$：
$= frac{1}{sqrt{1+0} + 1} = frac{1}{1+1} = frac{1}{2}$
结果： 极限值为 $frac{1}{2}$。

2. 构造已知极限

有些极限，即使通过代数变形，也难以直接求出。这时，我们可以尝试将原表达式“凑”成我们已经知道的一些基本极限形式。

常用基本极限：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$ (三角函数)
$lim_{x o 0} (1+x)^{1/x} = e$ (指数形式，也常写为 $lim_{x o infty} (1+frac{1}{x})^x = e$)
$lim_{x o 0} frac{a^x 1}{x} = ln a$ (指数函数)
$lim_{x o 0} frac{(1+x)^alpha 1}{x} = alpha$ (广义二项式定理)

思路： 通过变量替换、乘除法、加减法等方式，将原表达式中的一部分变形为基本极限的形式，利用基本极限的值，再处理剩余的部分。

例子 3： 求 $lim_{x o 0} frac{ an(3x)}{2x}$

识别： 代入 $x=0$ 得 $frac{ an(0)}{0} = frac{0}{0}$，是 $frac{0}{0}$ 型未定式。
处理： 目标是凑成 $frac{sin x}{x}$ 或 $frac{ an x}{x}$ 的形式。我们知道 $ an(3x) = frac{sin(3x)}{cos(3x)}$。
计算：
$lim_{x o 0} frac{ an(3x)}{2x} = lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{2x cos(3x)}$
为了凑 $frac{sin(3x)}{3x}$，我们需要分子和分母都有 $3x$。
$= lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} cdot frac{3x}{2x cos(3x)}$
$= lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} cdot frac{3}{2 cos(3x)}$
令 $u = 3x$。当 $x o 0$ 时，$u o 0$。所以 $lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} = lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$。
而 $lim_{x o 0} frac{3}{2 cos(3x)} = frac{3}{2 cos(0)} = frac{3}{2 cdot 1} = frac{3}{2}$。
所以，
$= 1 cdot frac{3}{2} = frac{3}{2}$
结果： 极限值为 $frac{3}{2}$。

例子 4： 求 $lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{x}$

识别： 代入 $x=0$ 得 $frac{e^0 1}{0} = frac{11}{0} = frac{0}{0}$，是 $frac{0}{0}$ 型未定式。
处理： 目标是凑成 $frac{a^x 1}{x}$ 的形式。这里 $a=e$，$x$ 对应 $2x$。
计算：
$lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{x}$
为了凑成 $frac{e^{2x} 1}{2x}$，我们需要在分母上乘以 2。
$= lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{2x} cdot 2$
令 $u = 2x$。当 $x o 0$ 时，$u o 0$。所以 $lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{2x} = lim_{u o 0} frac{e^u 1}{u} = ln e = 1$。
所以，
$= 1 cdot 2 = 2$
结果： 极限值为 2。

3. 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)

当极限出现 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型未定式时，如果分子和分母在趋近点附近可导，并且分母的导数不为零，那么原极限等于分子导数与分母导数之比的极限。

条件：
1. $lim_{x o c} f(x) = 0$ 且 $lim_{x o c} g(x) = 0$ (或都为 $infty$)。
2. $f(x)$ 和 $g(x)$ 在包含 $c$ 的某个去心邻域内可导。
3. 在包含 $c$ 的某个去心邻域内，$g'(x) eq 0$。
4. $lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $pm infty$）。

使用方法： 直接对分子和分母分别求导，然后计算新表达式的极限。如果仍然是未定式，可以重复使用洛必达法则（只要条件满足）。

例子 5 (重复例子 1)： 求 $lim_{x o 2} frac{x^2 4}{x 2}$

识别： $frac{0}{0}$ 型未定式。
处理： 分子 $f(x) = x^2 4$，分母 $g(x) = x 2$。
计算：
$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$
$lim_{x o 2} frac{f'(x)}{g'(x)} = lim_{x o 2} frac{2x}{1} = 2 cdot 2 = 4$。
结果： 极限值为 4。

例子 6 (重复例子 3)： 求 $lim_{x o 0} frac{ an(3x)}{2x}$

识别： $frac{0}{0}$ 型未定式。
处理： 分子 $f(x) = an(3x)$，分母 $g(x) = 2x$。
计算：
$f'(x) = sec^2(3x) cdot 3 = 3 sec^2(3x)$
$g'(x) = 2$
$lim_{x o 0} frac{f'(x)}{g'(x)} = lim_{x o 0} frac{3 sec^2(3x)}{2}$
$= frac{3 sec^2(0)}{2} = frac{3 cdot 1^2}{2} = frac{3}{2}$。
结果： 极限值为 $frac{3}{2}$。

例子 7： 求 $lim_{x o infty} frac{ln x}{x}$

识别： 当 $x o infty$ 时，$ln x o infty$，$x o infty$。是 $frac{infty}{infty}$ 型未定式。
处理： 分子 $f(x) = ln x$，分母 $g(x) = x$。
计算：
$f'(x) = frac{1}{x}$
$g'(x) = 1$
$lim_{x o infty} frac{f'(x)}{g'(x)} = lim_{x o infty} frac{1/x}{1} = lim_{x o infty} frac{1}{x} = 0$。
结果： 极限值为 0。

4. 处理指数型未定式 ($1^infty, 0^0, infty^0$)

这类未定式通常需要借助对数来转化。

思路： 设 $y = [f(x)]^{g(x)}$，然后取自然对数 $ln y = g(x) ln f(x)$。计算 $lim_{x o c} ln y$。如果 $lim_{x o c} ln y = L$，那么 $lim_{x o c} y = e^L$。
计算 $lim_{x o c} g(x) ln f(x)$ 时，可能得到 $0 cdot infty$ 或 $infty cdot 0$ 的形式，可以将其转化为 $frac{infty}{infty}$ 或 $frac{0}{0}$ 再用洛必达法则，或者转化为分数形式再代数处理。

例子 8： 求 $lim_{x o 0} (1+x)^{1/x}$ (这是定义 $e$ 的一种方式)

识别： 代入 $x=0$ 得 $(1+0)^{1/0}$，即 $1^infty$ 型未定式。
处理： 设 $y = (1+x)^{1/x}$。
计算：
$ln y = ln [(1+x)^{1/x}] = frac{1}{x} ln (1+x) = frac{ln(1+x)}{x}$
现在计算 $lim_{x o 0} ln y = lim_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x}$。
这是一个 $frac{0}{0}$ 型未定式。可以使用洛必达法则：
分子导数：$(ln(1+x))' = frac{1}{1+x}$
分母导数：$(x)' = 1$
$lim_{x o 0} frac{1/(1+x)}{1} = frac{1}{1+0} = 1$。
所以 $lim_{x o 0} ln y = 1$。
因此，$lim_{x o 0} y = e^1 = e$。
结果： 极限值为 $e$。

例子 9： 求 $lim_{x o infty} (1 + frac{1}{x})^x$

识别： 当 $x o infty$ 时，$(1 + 0)^infty = 1^infty$ 型未定式。
处理： 设 $y = (1 + frac{1}{x})^x$。
计算：
$ln y = ln [(1 + frac{1}{x})^x] = x ln (1 + frac{1}{x})$
现在计算 $lim_{x o infty} x ln (1 + frac{1}{x})$。
令 $t = frac{1}{x}$。当 $x o infty$ 时，$t o 0^+$。
$lim_{t o 0^+} frac{1}{t} ln (1+t) = lim_{t o 0^+} frac{ln(1+t)}{t}$。
这个极限我们刚刚在例子 8 中算过，结果是 1。
所以 $lim_{x o infty} ln y = 1$。
因此，$lim_{x o infty} y = e^1 = e$。
结果： 极限值为 $e$。

5. 处理 $infty infty$ 型未定式

思路： 将多个项合并成一个分数，或者提取公因子。

例子 10： 求 $lim_{x o 0^+} (frac{1}{x} frac{1}{sin x})$

识别： 当 $x o 0^+$ 时，$frac{1}{x} o +infty$，$frac{1}{sin x} o +infty$。是 $infty infty$ 型未定式。
处理： 合并成一个分数。
计算：
$lim_{x o 0^+} (frac{1}{x} frac{1}{sin x}) = lim_{x o 0^+} frac{sin x x}{x sin x}$
这是一个 $frac{0}{0}$ 型未定式。可以使用洛必达法则。
分子导数：$(sin x x)' = cos x 1$
分母导数：$(x sin x)' = sin x + x cos x$
$lim_{x o 0^+} frac{cos x 1}{sin x + x cos x}$。
再次代入 $x=0$，仍然是 $frac{11}{0+0} = frac{0}{0}$ 型未定式。继续使用洛必达法则。
分子导数：$(cos x 1)' = sin x$
分母导数：$(sin x + x cos x)' = cos x + (cos x x sin x) = 2 cos x x sin x$
$lim_{x o 0^+} frac{sin x}{2 cos x x sin x}$
直接代入 $x=0$：
$= frac{sin 0}{2 cos 0 0 sin 0} = frac{0}{2 cdot 1 0} = frac{0}{2} = 0$。
结果： 极限值为 0。

一些额外的提示和技巧：

泰勒展开 (Taylor Expansion)： 对于一些复杂的函数，如果了解它们的泰勒展开式，可以直接用泰勒展开的低阶项来近似函数，然后计算极限。这是一种非常强大的方法，尤其是在处理 $frac{0}{0}$ 型未定式时。例如，$sin x approx x frac{x^3}{6} + dots$，$e^x approx 1 + x + frac{x^2}{2} + dots$。
夹逼定理 (Squeeze Theorem)： 如果你能找到两个函数，它们的极限都是同一个值，并且原函数被这两个函数夹在中间，那么原函数的极限也一定是这个值。
多项式除法： 对于分式形式的代数函数，如果分子分母次数相近，可以考虑进行多项式长除法。
耐心和细心： 计算极限的过程，特别是使用洛必达法则时，很容易因为求导错误或者计算错误而导致结果不对。一定要仔细检查每一步。

总结一下求极限的通用流程：

1. 代入检查： 确定未定式类型。
2. 选择策略： 根据未定式类型，选择最合适的方法（代数法、构造法、洛必达法则、对数法等）。
3. 实施变换： 按照选定的策略对表达式进行变形。
4. 重新评估： 变形后的表达式是否可以直接求解？是否仍然是未定式？
5. 迭代或完成： 如果仍是未定式，回到第二步，选择新策略；如果可以直接求解，计算出结果。

掌握这些方法，你就能自信地应对绝大多数的极限问题了。关键在于多练习，熟悉各种方法的应用场景，并培养良好的代数运算和求导能力。祝你学习顺利！

对于后面的积分，我们把区间拆开，可得：

根据对数函数的性质可知存在K>0使得 所以当 时有：

因此我们得到结论：

现在我们考虑一个在[0,π/2]上连续的f(x)，然后计算：

利用(1)，可知：

同样地，我们考虑利用上面的思路拆分区间（利用f的连续性可知对于所有的 均存在 、 时 ）：

这意味着 。把这些论证结合起来，我们就得到了 @予一人 的加强结论了：

若f(x)在0≤x≤π/2中连续，则：