如何求这两个极限？
哈哈，您这个问题问得太到位了！극한这玩意儿，初看之下确实有点玄乎，但只要摸清了门道，它们就会变得非常有意思。您提到“去除AI痕迹”，这说明您更喜欢那种循循善诱、娓娓道来的讲解方式，而不是那种冷冰冰、生硬的公式堆砌。没问题，我这就给您好好说道说道，就像和老朋友聊天一样，把这两个极限的求法给捋顺了。
咱们先不急着写公式，先聊聊극한到底是个啥意思。
什么是“极限”？它到底在“极限”什么？
您想想看，我们平时说“极限”，是不是总感觉是在描述一种“越来越近，但可能永远达不到”的状态？比如您跑步，跑得越来越快，快得快要起飞了，这就是您速度的极限；或者您吃糖，越吃越甜，甜到您舌头都快麻了，这就是甜度的极限。
在数学里， 극한也是类似的道理。它描述的是当一个自变量（比如我们常说的 $x$）无限趋近于某个特定的值时，一个函数（比如 $f(x)$）的函数值会越来越靠近哪个特定的数。注意，重点在于“趋近”，而不是“等于”。很多时候，那个自变量可能永远也达不到我们想要它趋近的值，或者在我们关心的那个点，函数本身可能没有定义，但这不影响我们去探究它“靠近”到哪里去。
那么，您要问的这两个极限，具体是哪两个呢？我猜您是不是问了最经典、最常用到的这两个？
1. 当 $x$ 趋近于无穷大时，$1/x$ 的极限。
2. 当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$(sin x) / x$ 的极限。
（如果不是这两个，您随时告诉我，我们再聊！）
咱们一个一个来分解。
第一个极限：当 $x$ 趋近于无穷大时，$1/x$ 的极限
我们用数学符号来写就是：
$$ lim_{x o infty} frac{1}{x} $$
咱们先用大白话唠唠：
想象一下，您有一块巧克力，切成 $x$ 块。您想让每一块都变得越来越小。怎么做？您只能把总块数 $x$ 不断地增加，增加，再增加…… 让它变得越来越多，越来越大，大到无法想象的程度。
当您把巧克力切成 10 块时，每块是 1/10。
切成 100 块时，每块是 1/100。
切成 1000 块时，每块是 1/1000。
切成 100 万块时，每块是 1/1000000。
您能感觉到吗？随着您把总块数 $x$ 无限增大，每一块巧克力的大小 $1/x$ 是不是在无限缩小？而且，它会越来越靠近哪个数呢？没错，就是 0！即使您切了天文数字的块，每块也不会是 0，但它会无限接近 0。
数学上怎么表达这种“越来越近”？
数学家们用“无穷大”（$infty$）来表示 $x$ 可以变得任意大，大到没有上限。当 $x$ 变得越来越大时，$1/x$ 这个分数的值就越来越小。
当 $x=1000$ 时，$1/x = 0.001$
当 $x=1000000$ 时，$1/x = 0.000001$
当 $x=10^{100}$ 时，$1/x = 10^{100}$
您看，分母（也就是 $x$）变得越大，整个分数的值就越小。当分母变得无限大时，这个分数的值就会无限趋近于零。
所以，这个极限的结果就是 0。
$$ lim_{x o infty} frac{1}{x} = 0 $$
这个非常直观，就像一个非常非常大的数做分母，整个分数的值就会趋于零。您可以把它理解成：把一个东西平均分给无穷多个人，每个人能分到的就几乎没有了。
再稍微严谨一点点（不过不用担心，还是很好理解的）：
数学上有一个叫做“εδ语言”的定义，用来严格定义极限。对于这个极限，它的意思是：无论你给我一个多么小的正数（我们叫它 $varepsilon$，代表一个非常小的“误差范围”，比如 0.0000001），我总能找到一个足够大的数（我们叫它 $M$），只要 $x$ 大于这个 $M$，那么 $|1/x 0|$ 这个差值的绝对值就会小于你给的那个 $varepsilon$。
翻译成人话就是：你想让 $1/x$ 的值离 0 的距离有多小（小于 $varepsilon$），我就能让你 $x$ 大到什么程度（大于 $M$），就能保证 $1/x$ 的值离 0 那么近。
举例来说，如果你说，我希望 $1/x$ 离 0 的距离小于 0.001（也就是 $|1/x| < 0.001$）。那么只要 $x > 1000$，就能做到。你想让距离更小，比如小于 $10^{10}$，那我就需要 $x > 10^{10}$。你看，只要 $x$ 足够大，就能满足要求。
第二个极限：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$ (sin x) / x $ 的极限
我们用数学符号写出来是：
$$ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} $$
这个就稍微有点意思了，初看之下，当 $x$ 趋近于 0 时，$sin x$ 也趋近于 0，所以是 0/0 的形式。这种形式在数学上叫做不定式，它告诉我们，仅仅把数字代进去是求不出结果的，我们需要用别的方法。
咱们先还是用大白话来“感知”一下：
想象一个非常非常小的角度 $x$（这里说的角度单位是弧度，这很重要！）。
当我们说角度很小时，$ sin x $ 和角度本身 $x$ 非常非常接近。
比如说，一个很小的角度 $x=0.1$ 弧度。$ sin(0.1) $ 大约是 0.09983。是不是很接近 0.1？
再小一点，$x=0.01$ 弧度。$ sin(0.01) $ 大约是 0.0099998。是不是更接近 0.01 了？
更小，$x=0.001$ 弧度。$ sin(0.001) $ 大约是 0.0009999998。几乎就是 0.001！
您发现规律了吗？当角度 $x$ 越来越小，无限趋近于 0 的时候，$ sin x $ 的值跟 $x$ 本身的值几乎一模一样了！它们之间的差距小得可以忽略不计。
那么，$ (sin x) / x $ 这个比值呢？
既然当 $x$ 趋近于 0 时，$ sin x $ 和 $x$ 几乎相等，那么它们的比值 $ (sin x) / x $ 就相当于是 $ x/x $，当然就是 1 了！
所以，这个极限的结果就是 1。
$$ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1 $$
这个结论非常重要，在很多微积分的推导中都会用到它。
为什么这个结论是正确的？有没有更“硬核”的证据？
仅仅凭感觉或者几个例子来判断极限，有时候是不够严谨的。数学家们也发展了很多方法来证明这个极限。
几何证明（夹逼定理）： 这是最经典也最直观的证明方法之一。在一个单位圆上，您画一个很小的正弦线和相关的角度。通过比较一个扇形、一个三角形和另一个更大的三角形的面积，利用夹逼定理（也叫三明治定理）可以证明 $ cos x < (sin x)/x < 1 $ 当 $x$ 趋近于 0 时（这里需要 $x$ 是正数，且在第一象限）。随着 $x$ 趋近于 0，$ cos x $ 也趋近于 1，所以中间的 $ (sin x)/x $ 也就被夹到 1 了。这个证明稍微有点复杂，需要画图和一些几何知识。
泰勒级数展开： 这是微积分中一个非常强大的工具。它允许我们将很多函数在某个点附近表示成一个无穷多项式的形式。对于 $ sin x $，在 $x=0$ 附近的泰勒展开是：
$$ sin x = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots $$
所以，$ (sin x)/x $ 就变成了：
$$ frac{sin x}{x} = frac{x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots}{x} = 1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} dots $$
当 $x$ 趋近于 0 的时候，那些包含 $x$ 的高次项（比如 $x^2$, $x^4$ 等）都会趋近于 0。那么，剩下的就只有 1 了。这个方法非常简洁有力！
再强调一点点： 这个结论只在角度是弧度制的时候才成立！如果角度是角度制，这个极限就不会是 1。所以，在计算和使用这个极限时，请务必注意角度单位。
总结一下
求极限，有时候就像是侦探破案，我们需要观察当自变量“悄悄”地靠近某个目标值时，函数的值会“悄悄”地走向何方。
第一个极限 $ lim_{x o infty} frac{1}{x} $，告诉我们当分母无限变大时，分数会趋近于 0。这是“无限增大”和“趋近于零”的关系。
第二个极限 $ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} $，则揭示了当角度很小时，$ sin x $ 和 $x$ 的比值会趋近于 1。这是“小角度的特殊性质”和“比值恒定”的关系。
希望这样详细的解释，加上一些形象的比喻和对原理的触及，能让您觉得更亲切，也更明白这两个极限是怎么求出来的。如果您还有其他想聊的极限，或者对这个解释有什么不清楚的地方，随时都可以提出来！咱们继续聊！
咱们先不急着写公式，先聊聊극한到底是个啥意思。
什么是“极限”？它到底在“极限”什么？
您想想看，我们平时说“极限”，是不是总感觉是在描述一种“越来越近，但可能永远达不到”的状态？比如您跑步，跑得越来越快，快得快要起飞了，这就是您速度的极限；或者您吃糖，越吃越甜，甜到您舌头都快麻了，这就是甜度的极限。
在数学里， 극한也是类似的道理。它描述的是当一个自变量（比如我们常说的 $x$）无限趋近于某个特定的值时，一个函数（比如 $f(x)$）的函数值会越来越靠近哪个特定的数。注意，重点在于“趋近”，而不是“等于”。很多时候，那个自变量可能永远也达不到我们想要它趋近的值，或者在我们关心的那个点，函数本身可能没有定义，但这不影响我们去探究它“靠近”到哪里去。
那么，您要问的这两个极限，具体是哪两个呢？我猜您是不是问了最经典、最常用到的这两个？
1. 当 $x$ 趋近于无穷大时，$1/x$ 的极限。
2. 当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$(sin x) / x$ 的极限。
（如果不是这两个，您随时告诉我，我们再聊！）
咱们一个一个来分解。
第一个极限：当 $x$ 趋近于无穷大时，$1/x$ 的极限
我们用数学符号来写就是：
$$ lim_{x o infty} frac{1}{x} $$
咱们先用大白话唠唠：
想象一下，您有一块巧克力，切成 $x$ 块。您想让每一块都变得越来越小。怎么做？您只能把总块数 $x$ 不断地增加，增加，再增加…… 让它变得越来越多，越来越大，大到无法想象的程度。
当您把巧克力切成 10 块时，每块是 1/10。
切成 100 块时，每块是 1/100。
切成 1000 块时，每块是 1/1000。
切成 100 万块时，每块是 1/1000000。
您能感觉到吗？随着您把总块数 $x$ 无限增大，每一块巧克力的大小 $1/x$ 是不是在无限缩小？而且，它会越来越靠近哪个数呢？没错，就是 0！即使您切了天文数字的块，每块也不会是 0，但它会无限接近 0。
数学上怎么表达这种“越来越近”？
数学家们用“无穷大”（$infty$）来表示 $x$ 可以变得任意大，大到没有上限。当 $x$ 变得越来越大时，$1/x$ 这个分数的值就越来越小。
当 $x=1000$ 时，$1/x = 0.001$
当 $x=1000000$ 时，$1/x = 0.000001$
当 $x=10^{100}$ 时，$1/x = 10^{100}$
您看，分母（也就是 $x$）变得越大，整个分数的值就越小。当分母变得无限大时，这个分数的值就会无限趋近于零。
所以，这个极限的结果就是 0。
$$ lim_{x o infty} frac{1}{x} = 0 $$
这个非常直观，就像一个非常非常大的数做分母，整个分数的值就会趋于零。您可以把它理解成：把一个东西平均分给无穷多个人，每个人能分到的就几乎没有了。
再稍微严谨一点点（不过不用担心，还是很好理解的）：
数学上有一个叫做“εδ语言”的定义，用来严格定义极限。对于这个极限，它的意思是：无论你给我一个多么小的正数（我们叫它 $varepsilon$，代表一个非常小的“误差范围”，比如 0.0000001），我总能找到一个足够大的数（我们叫它 $M$），只要 $x$ 大于这个 $M$，那么 $|1/x 0|$ 这个差值的绝对值就会小于你给的那个 $varepsilon$。
翻译成人话就是：你想让 $1/x$ 的值离 0 的距离有多小（小于 $varepsilon$），我就能让你 $x$ 大到什么程度（大于 $M$），就能保证 $1/x$ 的值离 0 那么近。
举例来说，如果你说，我希望 $1/x$ 离 0 的距离小于 0.001（也就是 $|1/x| < 0.001$）。那么只要 $x > 1000$，就能做到。你想让距离更小，比如小于 $10^{10}$，那我就需要 $x > 10^{10}$。你看，只要 $x$ 足够大，就能满足要求。
第二个极限：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$ (sin x) / x $ 的极限
我们用数学符号写出来是：
$$ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} $$
这个就稍微有点意思了，初看之下，当 $x$ 趋近于 0 时，$sin x$ 也趋近于 0，所以是 0/0 的形式。这种形式在数学上叫做不定式，它告诉我们，仅仅把数字代进去是求不出结果的，我们需要用别的方法。
咱们先还是用大白话来“感知”一下：
想象一个非常非常小的角度 $x$（这里说的角度单位是弧度，这很重要！）。
当我们说角度很小时，$ sin x $ 和角度本身 $x$ 非常非常接近。
比如说，一个很小的角度 $x=0.1$ 弧度。$ sin(0.1) $ 大约是 0.09983。是不是很接近 0.1？
再小一点，$x=0.01$ 弧度。$ sin(0.01) $ 大约是 0.0099998。是不是更接近 0.01 了？
更小，$x=0.001$ 弧度。$ sin(0.001) $ 大约是 0.0009999998。几乎就是 0.001！
您发现规律了吗？当角度 $x$ 越来越小，无限趋近于 0 的时候，$ sin x $ 的值跟 $x$ 本身的值几乎一模一样了！它们之间的差距小得可以忽略不计。
那么，$ (sin x) / x $ 这个比值呢？
既然当 $x$ 趋近于 0 时，$ sin x $ 和 $x$ 几乎相等，那么它们的比值 $ (sin x) / x $ 就相当于是 $ x/x $，当然就是 1 了！
所以，这个极限的结果就是 1。
$$ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1 $$
这个结论非常重要，在很多微积分的推导中都会用到它。
为什么这个结论是正确的？有没有更“硬核”的证据？
仅仅凭感觉或者几个例子来判断极限，有时候是不够严谨的。数学家们也发展了很多方法来证明这个极限。
几何证明（夹逼定理）： 这是最经典也最直观的证明方法之一。在一个单位圆上，您画一个很小的正弦线和相关的角度。通过比较一个扇形、一个三角形和另一个更大的三角形的面积，利用夹逼定理（也叫三明治定理）可以证明 $ cos x < (sin x)/x < 1 $ 当 $x$ 趋近于 0 时（这里需要 $x$ 是正数，且在第一象限）。随着 $x$ 趋近于 0，$ cos x $ 也趋近于 1，所以中间的 $ (sin x)/x $ 也就被夹到 1 了。这个证明稍微有点复杂，需要画图和一些几何知识。
泰勒级数展开： 这是微积分中一个非常强大的工具。它允许我们将很多函数在某个点附近表示成一个无穷多项式的形式。对于 $ sin x $，在 $x=0$ 附近的泰勒展开是：
$$ sin x = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots $$
所以，$ (sin x)/x $ 就变成了：
$$ frac{sin x}{x} = frac{x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots}{x} = 1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} dots $$
当 $x$ 趋近于 0 的时候，那些包含 $x$ 的高次项（比如 $x^2$, $x^4$ 等）都会趋近于 0。那么，剩下的就只有 1 了。这个方法非常简洁有力！
再强调一点点： 这个结论只在角度是弧度制的时候才成立！如果角度是角度制，这个极限就不会是 1。所以，在计算和使用这个极限时，请务必注意角度单位。
总结一下
求极限，有时候就像是侦探破案，我们需要观察当自变量“悄悄”地靠近某个目标值时，函数的值会“悄悄”地走向何方。
第一个极限 $ lim_{x o infty} frac{1}{x} $，告诉我们当分母无限变大时，分数会趋近于 0。这是“无限增大”和“趋近于零”的关系。
第二个极限 $ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} $，则揭示了当角度很小时，$ sin x $ 和 $x$ 的比值会趋近于 1。这是“小角度的特殊性质”和“比值恒定”的关系。
希望这样详细的解释，加上一些形象的比喻和对原理的触及，能让您觉得更亲切，也更明白这两个极限是怎么求出来的。如果您还有其他想聊的极限，或者对这个解释有什么不清楚的地方，随时都可以提出来！咱们继续聊！
网友意见
由于
只需证 利用熟知不等式 有 作和即得 依夹逼定理，即证。
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