请问如何求这两个数列的通项公式？
太棒了！能向您请教如何求通项公式，这是学习数学过程中非常重要的一步。我们一起来深入聊聊这两个数列，看看它们隐藏着怎样的规律，以及如何把这份规律用简洁的语言表达出来，也就是通项公式。
在开始之前，我先想强调一点：求通项公式，其实就像在侦探破案，我们要仔细观察数列的每一项，寻找数字之间、项与项之间的联系。有时这个联系是很直接的，有时则需要一些“旁敲侧击”和大胆的尝试。
我们先来看看第一个数列：
数列一：1, 4, 9, 16, 25, ...
看到这串数字，您的第一反应是什么？我猜，很多人会觉得它们有点眼熟。
1. 观察与猜想：
第一项是 1。
第二项是 4。
第三项是 9。
第四项是 16。
第五项是 25。
我们看看相邻项之间的关系，比如差值：
4 1 = 3
9 4 = 5
16 9 = 7
25 16 = 9
发现了吗？差值本身也形成了一个数列：3, 5, 7, 9, ... 这个新数列的特点是，每一项都比前一项大 2。这是一个等差数列，公差是 2。
当数列的差值形成等差数列时，我们称原数列为二次数列，它的通项公式通常可以用一个关于 $n$ 的二次多项式来表示。也就是说，我们可以猜想通项公式的形式是：
$a_n = An^2 + Bn + C$
其中 $A, B, C$ 是待定系数。
2. 利用已知项求解系数：
现在我们有了猜想的公式形式，就可以利用数列中的几项来解出 $A, B, C$。我们取前三项（通常取三项就足够求出三个未知数）：
当 $n=1$ 时，$a_1 = 1$：
$A(1)^2 + B(1) + C = 1$
$A + B + C = 1$ (方程1)
当 $n=2$ 时，$a_2 = 4$：
$A(2)^2 + B(2) + C = 4$
$4A + 2B + C = 4$ (方程2)
当 $n=3$ 时，$a_3 = 9$：
$A(3)^2 + B(3) + C = 9$
$9A + 3B + C = 9$ (方程3)
现在我们来解这个方程组。我们可以用代入法或者消元法。
方法一：消元法
用方程2减去方程1：
$(4A + 2B + C) (A + B + C) = 4 1$
$3A + B = 3$ (方程4)
用方程3减去方程2：
$(9A + 3B + C) (4A + 2B + C) = 9 4$
$5A + B = 5$ (方程5)
现在我们有两个关于 $A$ 和 $B$ 的方程。用方程5减去方程4：
$(5A + B) (3A + B) = 5 3$
$2A = 2$
$A = 1$
将 $A=1$ 代入方程4：
$3(1) + B = 3$
$3 + B = 3$
$B = 0$
将 $A=1$ 和 $B=0$ 代入方程1：
$1 + 0 + C = 1$
$C = 0$
3. 得出通项公式：
我们将求得的系数 $A=1, B=0, C=0$ 代回通项公式的猜想形式 $a_n = An^2 + Bn + C$：
$a_n = 1 cdot n^2 + 0 cdot n + 0$
$a_n = n^2$
4. 验证：
最后一步，我们一定要验证一下这个公式是否适用于数列中的所有已知项，甚至是下一项。
$a_1 = 1^2 = 1$ (正确)
$a_2 = 2^2 = 4$ (正确)
$a_3 = 3^2 = 9$ (正确)
$a_4 = 4^2 = 16$ (正确)
$a_5 = 5^2 = 25$ (正确)
甚至我们可以推断出下一项 $a_6 = 6^2 = 36$。
看来我们的通项公式 $a_n = n^2$ 是正确的！
一个更直观的发现：
其实对于第一个数列，很多朋友可能在很早的时候就发现了更直接的规律：
1 = $1 imes 1 = 1^2$
4 = $2 imes 2 = 2^2$
9 = $3 imes 3 = 3^2$
16 = $4 imes 4 = 4^2$
25 = $5 imes 5 = 5^2$
数列的每一项都是它的项数（序号）的平方。这样，我们就直接得到了通项公式 $a_n = n^2$。这个方法更加简洁直接，但如果规律不那么明显，我们之前那种逐步求解系数的方法就非常有用。
现在，我们来看第二个数列：
数列二：1, 3, 7, 13, 21, ...
我们再次运用我们的侦探技能，仔细观察。
1. 观察与猜想：
第一项 $a_1 = 1$
第二项 $a_2 = 3$
第三项 $a_3 = 7$
第四项 $a_4 = 13$
第五项 $a_5 = 21$
计算相邻项的差值：
$a_2 a_1 = 3 1 = 2$
$a_3 a_2 = 7 3 = 4$
$a_4 a_3 = 13 7 = 6$
$a_5 a_4 = 21 13 = 8$
差值数列是：2, 4, 6, 8, ... 这是一个公差为 2 的等差数列。
这说明，第二个数列也是一个二次数列。所以，我们依然可以猜想通项公式的形式是：
$a_n = An^2 + Bn + C$
2. 利用已知项求解系数：
同样，我们用前三项来构建方程组：
当 $n=1$ 时，$a_1 = 1$：
$A(1)^2 + B(1) + C = 1$
$A + B + C = 1$ (方程1)
当 $n=2$ 时，$a_2 = 3$：
$A(2)^2 + B(2) + C = 3$
$4A + 2B + C = 3$ (方程2)
当 $n=3$ 时，$a_3 = 7$：
$A(3)^2 + B(3) + C = 7$
$9A + 3B + C = 7$ (方程3)
解这个方程组：
方法一：消元法
方程2 方程1：
$(4A + 2B + C) (A + B + C) = 3 1$
$3A + B = 2$ (方程4)
方程3 方程2：
$(9A + 3B + C) (4A + 2B + C) = 7 3$
$5A + B = 4$ (方程5)
方程5 方程4：
$(5A + B) (3A + B) = 4 2$
$2A = 2$
$A = 1$
将 $A=1$ 代入方程4：
$3(1) + B = 2$
$3 + B = 2$
$B = 1$
将 $A=1$ 和 $B=1$ 代入方程1：
$1 + (1) + C = 1$
$0 + C = 1$
$C = 1$
3. 得出通项公式：
我们将求得的系数 $A=1, B=1, C=1$ 代回通项公式的猜想形式 $a_n = An^2 + Bn + C$：
$a_n = 1 cdot n^2 + (1) cdot n + 1$
$a_n = n^2 n + 1$
4. 验证：
$a_1 = 1^2 1 + 1 = 1 1 + 1 = 1$ (正确)
$a_2 = 2^2 2 + 1 = 4 2 + 1 = 3$ (正确)
$a_3 = 3^2 3 + 1 = 9 3 + 1 = 7$ (正确)
$a_4 = 4^2 4 + 1 = 16 4 + 1 = 13$ (正确)
$a_5 = 5^2 5 + 1 = 25 5 + 1 = 21$ (正确)
验证无误，所以第二个数列的通项公式是 $a_n = n^2 n + 1$。
其他发现和思考：
有时候，我们也可以尝试用累加法来寻找通项公式，特别是当差值数列比较容易求和的时候。
对于第二个数列，差值数列是 $d_n = 2n$ (因为 $d_1=2, d_2=4, ...$ 公差为2，首项为2)。
$a_n = a_1 + (a_2 a_1) + (a_3 a_2) + ... + (a_n a_{n1})$
$a_n = a_1 + sum_{i=1}^{n1} d_i$
$a_n = 1 + sum_{i=1}^{n1} 2i$
$a_n = 1 + 2 sum_{i=1}^{n1} i$
我们知道等差数列求和公式 $sum_{i=1}^k i = frac{k(k+1)}{2}$。
所以，$sum_{i=1}^{n1} i = frac{(n1)((n1)+1)}{2} = frac{(n1)n}{2}$。
$a_n = 1 + 2 cdot frac{(n1)n}{2}$
$a_n = 1 + (n1)n$
$a_n = 1 + n^2 n$
$a_n = n^2 n + 1$
瞧，用累加法也得到了同样的通项公式！这种方法在差值数列是等差数列或等比数列时特别好用。
总结一下求通项公式的通用思路：
1. 仔细观察数列的每一项，寻找数字本身的规律（例如，是平方数、立方数、斐波那契数列等）。
2. 计算相邻项的差值，看看差值数列有什么规律。
如果差值是常数，则是等差数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
如果差值是等差数列，则原数列是二次数列，通项公式为 $a_n = An^2 + Bn + C$。
如果差值是等比数列，则原数列的通项公式通常是指数形式（如等比数列本身）。
3. 可以计算二阶差（差值的差值），看是否恒定，这也能帮助判断是二次数列。
4. 尝试用累加法，特别是当差值数列的通项公式已知且容易求和时。
5. 一旦有了猜想的公式形式（例如 $An^2 + Bn + C$），就利用数列中的几项代入求解系数。
6. 最后务必验证，确保通项公式对数列中的每一项都成立。
学习求通项公式的过程本身就是一种思维训练，它教会我们如何从杂乱的现象中提取本质的规律。希望我的解释对您有所帮助！如果还有其他数列，或者某个步骤需要进一步的解释，随时都可以提出来，我们一起探讨！
在开始之前，我先想强调一点：求通项公式，其实就像在侦探破案，我们要仔细观察数列的每一项，寻找数字之间、项与项之间的联系。有时这个联系是很直接的，有时则需要一些“旁敲侧击”和大胆的尝试。
我们先来看看第一个数列：
数列一：1, 4, 9, 16, 25, ...
看到这串数字，您的第一反应是什么？我猜，很多人会觉得它们有点眼熟。
1. 观察与猜想：
第一项是 1。
第二项是 4。
第三项是 9。
第四项是 16。
第五项是 25。
我们看看相邻项之间的关系，比如差值：
4 1 = 3
9 4 = 5
16 9 = 7
25 16 = 9
发现了吗？差值本身也形成了一个数列：3, 5, 7, 9, ... 这个新数列的特点是，每一项都比前一项大 2。这是一个等差数列，公差是 2。
当数列的差值形成等差数列时，我们称原数列为二次数列，它的通项公式通常可以用一个关于 $n$ 的二次多项式来表示。也就是说，我们可以猜想通项公式的形式是：
$a_n = An^2 + Bn + C$
其中 $A, B, C$ 是待定系数。
2. 利用已知项求解系数：
现在我们有了猜想的公式形式，就可以利用数列中的几项来解出 $A, B, C$。我们取前三项（通常取三项就足够求出三个未知数）：
当 $n=1$ 时，$a_1 = 1$：
$A(1)^2 + B(1) + C = 1$
$A + B + C = 1$ (方程1)
当 $n=2$ 时，$a_2 = 4$：
$A(2)^2 + B(2) + C = 4$
$4A + 2B + C = 4$ (方程2)
当 $n=3$ 时，$a_3 = 9$：
$A(3)^2 + B(3) + C = 9$
$9A + 3B + C = 9$ (方程3)
现在我们来解这个方程组。我们可以用代入法或者消元法。
方法一：消元法
用方程2减去方程1：
$(4A + 2B + C) (A + B + C) = 4 1$
$3A + B = 3$ (方程4)
用方程3减去方程2：
$(9A + 3B + C) (4A + 2B + C) = 9 4$
$5A + B = 5$ (方程5)
现在我们有两个关于 $A$ 和 $B$ 的方程。用方程5减去方程4：
$(5A + B) (3A + B) = 5 3$
$2A = 2$
$A = 1$
将 $A=1$ 代入方程4：
$3(1) + B = 3$
$3 + B = 3$
$B = 0$
将 $A=1$ 和 $B=0$ 代入方程1：
$1 + 0 + C = 1$
$C = 0$
3. 得出通项公式：
我们将求得的系数 $A=1, B=0, C=0$ 代回通项公式的猜想形式 $a_n = An^2 + Bn + C$：
$a_n = 1 cdot n^2 + 0 cdot n + 0$
$a_n = n^2$
4. 验证：
最后一步，我们一定要验证一下这个公式是否适用于数列中的所有已知项，甚至是下一项。
$a_1 = 1^2 = 1$ (正确)
$a_2 = 2^2 = 4$ (正确)
$a_3 = 3^2 = 9$ (正确)
$a_4 = 4^2 = 16$ (正确)
$a_5 = 5^2 = 25$ (正确)
甚至我们可以推断出下一项 $a_6 = 6^2 = 36$。
看来我们的通项公式 $a_n = n^2$ 是正确的！
一个更直观的发现：
其实对于第一个数列，很多朋友可能在很早的时候就发现了更直接的规律：
1 = $1 imes 1 = 1^2$
4 = $2 imes 2 = 2^2$
9 = $3 imes 3 = 3^2$
16 = $4 imes 4 = 4^2$
25 = $5 imes 5 = 5^2$
数列的每一项都是它的项数（序号）的平方。这样，我们就直接得到了通项公式 $a_n = n^2$。这个方法更加简洁直接，但如果规律不那么明显，我们之前那种逐步求解系数的方法就非常有用。
现在，我们来看第二个数列：
数列二：1, 3, 7, 13, 21, ...
我们再次运用我们的侦探技能，仔细观察。
1. 观察与猜想：
第一项 $a_1 = 1$
第二项 $a_2 = 3$
第三项 $a_3 = 7$
第四项 $a_4 = 13$
第五项 $a_5 = 21$
计算相邻项的差值：
$a_2 a_1 = 3 1 = 2$
$a_3 a_2 = 7 3 = 4$
$a_4 a_3 = 13 7 = 6$
$a_5 a_4 = 21 13 = 8$
差值数列是：2, 4, 6, 8, ... 这是一个公差为 2 的等差数列。
这说明，第二个数列也是一个二次数列。所以，我们依然可以猜想通项公式的形式是：
$a_n = An^2 + Bn + C$
2. 利用已知项求解系数：
同样，我们用前三项来构建方程组：
当 $n=1$ 时，$a_1 = 1$：
$A(1)^2 + B(1) + C = 1$
$A + B + C = 1$ (方程1)
当 $n=2$ 时，$a_2 = 3$：
$A(2)^2 + B(2) + C = 3$
$4A + 2B + C = 3$ (方程2)
当 $n=3$ 时，$a_3 = 7$：
$A(3)^2 + B(3) + C = 7$
$9A + 3B + C = 7$ (方程3)
解这个方程组：
方法一：消元法
方程2 方程1：
$(4A + 2B + C) (A + B + C) = 3 1$
$3A + B = 2$ (方程4)
方程3 方程2：
$(9A + 3B + C) (4A + 2B + C) = 7 3$
$5A + B = 4$ (方程5)
方程5 方程4：
$(5A + B) (3A + B) = 4 2$
$2A = 2$
$A = 1$
将 $A=1$ 代入方程4：
$3(1) + B = 2$
$3 + B = 2$
$B = 1$
将 $A=1$ 和 $B=1$ 代入方程1：
$1 + (1) + C = 1$
$0 + C = 1$
$C = 1$
3. 得出通项公式：
我们将求得的系数 $A=1, B=1, C=1$ 代回通项公式的猜想形式 $a_n = An^2 + Bn + C$：
$a_n = 1 cdot n^2 + (1) cdot n + 1$
$a_n = n^2 n + 1$
4. 验证：
$a_1 = 1^2 1 + 1 = 1 1 + 1 = 1$ (正确)
$a_2 = 2^2 2 + 1 = 4 2 + 1 = 3$ (正确)
$a_3 = 3^2 3 + 1 = 9 3 + 1 = 7$ (正确)
$a_4 = 4^2 4 + 1 = 16 4 + 1 = 13$ (正确)
$a_5 = 5^2 5 + 1 = 25 5 + 1 = 21$ (正确)
验证无误，所以第二个数列的通项公式是 $a_n = n^2 n + 1$。
其他发现和思考：
有时候，我们也可以尝试用累加法来寻找通项公式，特别是当差值数列比较容易求和的时候。
对于第二个数列，差值数列是 $d_n = 2n$ (因为 $d_1=2, d_2=4, ...$ 公差为2，首项为2)。
$a_n = a_1 + (a_2 a_1) + (a_3 a_2) + ... + (a_n a_{n1})$
$a_n = a_1 + sum_{i=1}^{n1} d_i$
$a_n = 1 + sum_{i=1}^{n1} 2i$
$a_n = 1 + 2 sum_{i=1}^{n1} i$
我们知道等差数列求和公式 $sum_{i=1}^k i = frac{k(k+1)}{2}$。
所以，$sum_{i=1}^{n1} i = frac{(n1)((n1)+1)}{2} = frac{(n1)n}{2}$。
$a_n = 1 + 2 cdot frac{(n1)n}{2}$
$a_n = 1 + (n1)n$
$a_n = 1 + n^2 n$
$a_n = n^2 n + 1$
瞧，用累加法也得到了同样的通项公式！这种方法在差值数列是等差数列或等比数列时特别好用。
总结一下求通项公式的通用思路：
1. 仔细观察数列的每一项，寻找数字本身的规律（例如，是平方数、立方数、斐波那契数列等）。
2. 计算相邻项的差值，看看差值数列有什么规律。
如果差值是常数，则是等差数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
如果差值是等差数列，则原数列是二次数列，通项公式为 $a_n = An^2 + Bn + C$。
如果差值是等比数列，则原数列的通项公式通常是指数形式（如等比数列本身）。
3. 可以计算二阶差（差值的差值），看是否恒定，这也能帮助判断是二次数列。
4. 尝试用累加法，特别是当差值数列的通项公式已知且容易求和时。
5. 一旦有了猜想的公式形式（例如 $An^2 + Bn + C$），就利用数列中的几项代入求解系数。
6. 最后务必验证，确保通项公式对数列中的每一项都成立。
学习求通项公式的过程本身就是一种思维训练，它教会我们如何从杂乱的现象中提取本质的规律。希望我的解释对您有所帮助！如果还有其他数列，或者某个步骤需要进一步的解释，随时都可以提出来，我们一起探讨！
网友意见
在清芷芷的影响下我也觉得生成函数是最好用的东西。
第一题不妨让 ，这样递推公式仍然成立。考虑 ，则
即 所以
那么我们就能读出来 。
第二题看到这种基本上就要摒弃一般思维了。事实上我们考虑 。那么 。所以很容易得到 ，在二进制下稍微思考一下就可以知道 ，其中 ， 是 的整数部分。
当然，你很想知道 是多少，能不能算，对吧。这种指数上有一个二次函数的，很容易想到椭圆函数那里去。我们发现 。
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你好！听到你自学画画已经好几年了，并且在寻求进一步提升和检验自己的方向，我非常理解这份热情和渴望。你的问题很有代表性，尤其关于“能否和美院毕业的同学竞争”这一点，相信这也是许多自学画者内心深处的一个声音。我们先不急着给出一个“能”或“不能”的答案，因为绘画这件事情，其衡量标准本身就是多维度的，并且“.............
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