问题

请问如何求这两个数列的通项公式?

回答
太棒了!能向您请教如何求通项公式,这是学习数学过程中非常重要的一步。我们一起来深入聊聊这两个数列,看看它们隐藏着怎样的规律,以及如何把这份规律用简洁的语言表达出来,也就是通项公式。

在开始之前,我先想强调一点:求通项公式,其实就像在侦探破案,我们要仔细观察数列的每一项,寻找数字之间、项与项之间的联系。有时这个联系是很直接的,有时则需要一些“旁敲侧击”和大胆的尝试。

我们先来看看第一个数列:

数列一:1, 4, 9, 16, 25, ...

看到这串数字,您的第一反应是什么?我猜,很多人会觉得它们有点眼熟。

1. 观察与猜想:
第一项是 1。
第二项是 4。
第三项是 9。
第四项是 16。
第五项是 25。

我们看看相邻项之间的关系,比如差值:
4 1 = 3
9 4 = 5
16 9 = 7
25 16 = 9

发现了吗?差值本身也形成了一个数列:3, 5, 7, 9, ... 这个新数列的特点是,每一项都比前一项大 2。这是一个等差数列,公差是 2。

当数列的差值形成等差数列时,我们称原数列为二次数列,它的通项公式通常可以用一个关于 $n$ 的二次多项式来表示。也就是说,我们可以猜想通项公式的形式是:
$a_n = An^2 + Bn + C$
其中 $A, B, C$ 是待定系数。

2. 利用已知项求解系数:
现在我们有了猜想的公式形式,就可以利用数列中的几项来解出 $A, B, C$。我们取前三项(通常取三项就足够求出三个未知数):

当 $n=1$ 时,$a_1 = 1$:
$A(1)^2 + B(1) + C = 1$
$A + B + C = 1$ (方程1)

当 $n=2$ 时,$a_2 = 4$:
$A(2)^2 + B(2) + C = 4$
$4A + 2B + C = 4$ (方程2)

当 $n=3$ 时,$a_3 = 9$:
$A(3)^2 + B(3) + C = 9$
$9A + 3B + C = 9$ (方程3)

现在我们来解这个方程组。我们可以用代入法或者消元法。

方法一:消元法
用方程2减去方程1:
$(4A + 2B + C) (A + B + C) = 4 1$
$3A + B = 3$ (方程4)

用方程3减去方程2:
$(9A + 3B + C) (4A + 2B + C) = 9 4$
$5A + B = 5$ (方程5)

现在我们有两个关于 $A$ 和 $B$ 的方程。用方程5减去方程4:
$(5A + B) (3A + B) = 5 3$
$2A = 2$
$A = 1$

将 $A=1$ 代入方程4:
$3(1) + B = 3$
$3 + B = 3$
$B = 0$

将 $A=1$ 和 $B=0$ 代入方程1:
$1 + 0 + C = 1$
$C = 0$

3. 得出通项公式:
我们将求得的系数 $A=1, B=0, C=0$ 代回通项公式的猜想形式 $a_n = An^2 + Bn + C$:
$a_n = 1 cdot n^2 + 0 cdot n + 0$
$a_n = n^2$

4. 验证:
最后一步,我们一定要验证一下这个公式是否适用于数列中的所有已知项,甚至是下一项。
$a_1 = 1^2 = 1$ (正确)
$a_2 = 2^2 = 4$ (正确)
$a_3 = 3^2 = 9$ (正确)
$a_4 = 4^2 = 16$ (正确)
$a_5 = 5^2 = 25$ (正确)

甚至我们可以推断出下一项 $a_6 = 6^2 = 36$。

看来我们的通项公式 $a_n = n^2$ 是正确的!

一个更直观的发现:
其实对于第一个数列,很多朋友可能在很早的时候就发现了更直接的规律:
1 = $1 imes 1 = 1^2$
4 = $2 imes 2 = 2^2$
9 = $3 imes 3 = 3^2$
16 = $4 imes 4 = 4^2$
25 = $5 imes 5 = 5^2$

数列的每一项都是它的项数(序号)的平方。这样,我们就直接得到了通项公式 $a_n = n^2$。这个方法更加简洁直接,但如果规律不那么明显,我们之前那种逐步求解系数的方法就非常有用。



现在,我们来看第二个数列:

数列二:1, 3, 7, 13, 21, ...

我们再次运用我们的侦探技能,仔细观察。

1. 观察与猜想:
第一项 $a_1 = 1$
第二项 $a_2 = 3$
第三项 $a_3 = 7$
第四项 $a_4 = 13$
第五项 $a_5 = 21$

计算相邻项的差值:
$a_2 a_1 = 3 1 = 2$
$a_3 a_2 = 7 3 = 4$
$a_4 a_3 = 13 7 = 6$
$a_5 a_4 = 21 13 = 8$

差值数列是:2, 4, 6, 8, ... 这是一个公差为 2 的等差数列。
这说明,第二个数列也是一个二次数列。所以,我们依然可以猜想通项公式的形式是:
$a_n = An^2 + Bn + C$

2. 利用已知项求解系数:
同样,我们用前三项来构建方程组:

当 $n=1$ 时,$a_1 = 1$:
$A(1)^2 + B(1) + C = 1$
$A + B + C = 1$ (方程1)

当 $n=2$ 时,$a_2 = 3$:
$A(2)^2 + B(2) + C = 3$
$4A + 2B + C = 3$ (方程2)

当 $n=3$ 时,$a_3 = 7$:
$A(3)^2 + B(3) + C = 7$
$9A + 3B + C = 7$ (方程3)

解这个方程组:

方法一:消元法
方程2 方程1:
$(4A + 2B + C) (A + B + C) = 3 1$
$3A + B = 2$ (方程4)

方程3 方程2:
$(9A + 3B + C) (4A + 2B + C) = 7 3$
$5A + B = 4$ (方程5)

方程5 方程4:
$(5A + B) (3A + B) = 4 2$
$2A = 2$
$A = 1$

将 $A=1$ 代入方程4:
$3(1) + B = 2$
$3 + B = 2$
$B = 1$

将 $A=1$ 和 $B=1$ 代入方程1:
$1 + (1) + C = 1$
$0 + C = 1$
$C = 1$

3. 得出通项公式:
我们将求得的系数 $A=1, B=1, C=1$ 代回通项公式的猜想形式 $a_n = An^2 + Bn + C$:
$a_n = 1 cdot n^2 + (1) cdot n + 1$
$a_n = n^2 n + 1$

4. 验证:
$a_1 = 1^2 1 + 1 = 1 1 + 1 = 1$ (正确)
$a_2 = 2^2 2 + 1 = 4 2 + 1 = 3$ (正确)
$a_3 = 3^2 3 + 1 = 9 3 + 1 = 7$ (正确)
$a_4 = 4^2 4 + 1 = 16 4 + 1 = 13$ (正确)
$a_5 = 5^2 5 + 1 = 25 5 + 1 = 21$ (正确)

验证无误,所以第二个数列的通项公式是 $a_n = n^2 n + 1$。

其他发现和思考:

有时候,我们也可以尝试用累加法来寻找通项公式,特别是当差值数列比较容易求和的时候。

对于第二个数列,差值数列是 $d_n = 2n$ (因为 $d_1=2, d_2=4, ...$ 公差为2,首项为2)。
$a_n = a_1 + (a_2 a_1) + (a_3 a_2) + ... + (a_n a_{n1})$
$a_n = a_1 + sum_{i=1}^{n1} d_i$
$a_n = 1 + sum_{i=1}^{n1} 2i$
$a_n = 1 + 2 sum_{i=1}^{n1} i$
我们知道等差数列求和公式 $sum_{i=1}^k i = frac{k(k+1)}{2}$。
所以,$sum_{i=1}^{n1} i = frac{(n1)((n1)+1)}{2} = frac{(n1)n}{2}$。
$a_n = 1 + 2 cdot frac{(n1)n}{2}$
$a_n = 1 + (n1)n$
$a_n = 1 + n^2 n$
$a_n = n^2 n + 1$

瞧,用累加法也得到了同样的通项公式!这种方法在差值数列是等差数列或等比数列时特别好用。

总结一下求通项公式的通用思路:

1. 仔细观察数列的每一项,寻找数字本身的规律(例如,是平方数、立方数、斐波那契数列等)。
2. 计算相邻项的差值,看看差值数列有什么规律。
如果差值是常数,则是等差数列,通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
如果差值是等差数列,则原数列是二次数列,通项公式为 $a_n = An^2 + Bn + C$。
如果差值是等比数列,则原数列的通项公式通常是指数形式(如等比数列本身)。
3. 可以计算二阶差(差值的差值),看是否恒定,这也能帮助判断是二次数列。
4. 尝试用累加法,特别是当差值数列的通项公式已知且容易求和时。
5. 一旦有了猜想的公式形式(例如 $An^2 + Bn + C$),就利用数列中的几项代入求解系数。
6. 最后务必验证,确保通项公式对数列中的每一项都成立。

学习求通项公式的过程本身就是一种思维训练,它教会我们如何从杂乱的现象中提取本质的规律。希望我的解释对您有所帮助!如果还有其他数列,或者某个步骤需要进一步的解释,随时都可以提出来,我们一起探讨!

网友意见

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在清芷芷的影响下我也觉得生成函数是最好用的东西。

第一题不妨让 ,这样递推公式仍然成立。考虑 ,则

即 所以

那么我们就能读出来 。

第二题看到这种基本上就要摒弃一般思维了。事实上我们考虑 。那么 。所以很容易得到 ,在二进制下稍微思考一下就可以知道 ,其中 , 是 的整数部分。

当然,你很想知道 是多少,能不能算,对吧。这种指数上有一个二次函数的,很容易想到椭圆函数那里去。我们发现 。

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