请问如何求下面这个连分数收敛到的值？
好的，我们来聊聊如何求解一个连分数的收敛值。连分数，顾名思义，就是一种形如 $a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + dots}}}$ 的数学表达式。这里，$a_0$ 是一个整数，而 $a_1, a_2, a_3, dots$ 都是正整数。
连分数的“收敛”
“收敛”这个词，在数学里通常指的是当一个过程无限进行下去的时候，它的结果趋近于一个固定的值。对于连分数，我们关心的就是当它后面部分的项越来越多，趋向于无穷的时候，整个表达式会趋向于哪个具体的数值。
求连分数收敛值的几种途径
求解连分数的收敛值，主要有两种思路：一种是“暴力”逼近，一种是更巧妙的代数方法。
方法一：近似计算（暴力逼近）
这是最直观的方法。我们知道连分数可以看作是一系列的“截断”：
第一个近似值（也叫初值）：$c_0 = a_0$
第二个近似值：$c_1 = a_0 + frac{1}{a_1}$
第三个近似值：$c_2 = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2}}$
第四个近似值：$c_3 = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3}}}$
以此类推...
我们可以一层一层地计算这些近似值。随着计算的层数越来越多，这些近似值就会越来越接近连分数真正的收敛值。
举个例子：
我们来算算这个连分数：$1 + frac{1}{2 + frac{1}{3 + frac{1}{4 + dots}}}$ （这里，$a_0=1, a_1=2, a_2=3, a_3=4, dots$，这是一个无穷连分数）
1. $c_0 = 1$
2. $c_1 = 1 + frac{1}{2} = 1.5$
3. $c_2 = 1 + frac{1}{2 + frac{1}{3}} = 1 + frac{1}{frac{7}{3}} = 1 + frac{3}{7} = frac{10}{7} approx 1.42857$
4. $c_3 = 1 + frac{1}{2 + frac{1}{3 + frac{1}{4}}} = 1 + frac{1}{2 + frac{1}{frac{13}{4}}} = 1 + frac{1}{2 + frac{4}{13}} = 1 + frac{1}{frac{30}{13}} = 1 + frac{13}{30} = frac{43}{30} approx 1.43333$
你会发现，随着计算的深入，$1.5, 1.42857, 1.43333$ 似乎在围绕一个值波动，并慢慢靠近。如果继续计算下去，你会发现它越来越接近 $e1 approx 1.71828 1 = 0.71828$ 的近似值，但请注意，这个例子中的连分数是 $frac{1}{1+frac{1}{2+frac{1}{3+dots}}}$ ，如果你的意思是 $1 + frac{1}{2+frac{1}{3+dots}}$，那它收敛到的是 $e1$ 的倒数 $frac{1}{e1}$ 。
这种方法的优点：
直观易懂： 不需要高深的数学理论，直接计算就能体会到收敛的过程。
适用于有限连分数： 对于有限项的连分数，这种方法直接就能给出精确的有理数值。
这种方法的局限性：
效率不高： 对于需要精确值的无穷连分数，计算量会非常大，而且我们永远无法计算到“最后”。
可能不精确： 如果是小数计算，误差会累积。
方法二：代数方法（寻找递推关系）
对于无穷连分数，我们通常会寻找一种更优雅的代数方法。这个方法的核心是利用连分数的递归性质。
假设我们要计算的连分数是 $x = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + dots}}}$
我们注意到，从 $a_1$ 开始的部分：$a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + dots}}$ 本身也是一个连分数！如果这个连分数是“周期性”的，或者我们能发现一个规律，就可以利用它来求解。
最经典的情况：周期性连分数
一个非常重要的结论是：一个连分数收敛到的值是无理数，当且仅当它是“周期性”的。
周期性连分数是指从某一项开始，后面的系数会无限重复出现。比如：
$x = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + dots}}}}$
其中，$a_1, a_2$ 是重复的部分。
如何求解周期性连分数？
1. 设未知数： 设连分数的收敛值为 $x$。
2. 找出重复的部分： 找到那个循环开始的地方。
对于上面的例子，我们可以写成：
$x = a_0 + frac{1}{ ext{循环部分}}$
令 $y = a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + dots}}}$
那么，$y$ 的表达式中，从 $a_2$ 开始的部分又是 $y$ 本身（只是差了一层分母）。
所以，我们可以写出：
$y = a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{y}}$
3. 建立方程： 将上面这个关于 $y$ 的方程化简，得到一个关于 $y$ 的二次方程。
$y = a_1 + frac{1}{frac{a_2 y + 1}{y}} = a_1 + frac{y}{a_2 y + 1}$
$y(a_2 y + 1) = a_1(a_2 y + 1) + y$
$a_2 y^2 + y = a_1 a_2 y + a_1 + y$
$a_2 y^2 a_1 a_2 y a_1 = 0$
4. 解方程： 利用求根公式解出 $y$。
$y = frac{(a_1 a_2) pm sqrt{(a_1 a_2)^2 4(a_2)(a_1)}}{2a_2} = frac{a_1 a_2 pm sqrt{a_1^2 a_2^2 + 4a_1 a_2}}{2a_2}$
因为 $a_1, a_2$ 都是正整数，$y$ 必须是正的（因为它是从 $a_1$ 开始的连分数），所以我们选择正的那个根。
5. 代回求解 $x$： 一旦求出 $y$ 的值，就可以代入 $x = a_0 + frac{1}{y}$ 来计算 $x$ 的值。
举个更具体的例子：黄金分割数
黄金分割数 $phi$ 大家都听说过，它的连分数表示是：
$phi = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + dots}}}$
这里，$a_0 = 1, a_1 = 1, a_2 = 1, dots$
1. 设未知数： 设 $phi = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + dots}}$
2. 找出重复部分： 注意到从第二个“1”开始，后面的部分就是 $phi$ 本身。
$phi = 1 + frac{1}{phi}$
3. 建立方程：
$phi^2 = phi + 1$
$phi^2 phi 1 = 0$
4. 解方程： 利用求根公式：
$phi = frac{(1) pm sqrt{(1)^2 4(1)(1)}}{2(1)} = frac{1 pm sqrt{1 + 4}}{2} = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$
5. 选择合适的根： 因为 $phi$ 是从正数开始的连分数，$a_0=1, a_1=1, dots$ 都是正数，所以 $phi$ 必须是正的。因此，我们选择正根：
$phi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$
这就是著名的黄金分割数。
关于非周期性连分数
并非所有的连分数都是周期性的。那些不重复的（也称为“正则”的）无穷连分数，它们的收敛值往往是超越数（比如 $pi$ 和 $e$ 的一些相关的连分数）。对于这类连分数，它们的值通常无法用一个简单的代数表达式（比如一个根式）来精确表示，只能通过近似计算来逼近。
总结一下求解连分数收敛值的方法：
有限连分数： 直接一层层计算，会得到一个精确的有理数。
无穷周期性连分数： 利用代数方法，设未知数，建立方程，解出收敛值。这是最“精确”的方法。
无穷非周期性连分数： 只能通过近似计算来逼近它的值。
理解连分数的收敛性，以及掌握如何通过代数方法处理周期性连分数，是理解它们美妙之处的关键。这就像是把一个无限的、看似复杂的结构，通过一点点技巧，变成了一个有限的、可以理解的数值。
连分数的“收敛”
“收敛”这个词，在数学里通常指的是当一个过程无限进行下去的时候，它的结果趋近于一个固定的值。对于连分数，我们关心的就是当它后面部分的项越来越多，趋向于无穷的时候，整个表达式会趋向于哪个具体的数值。
求连分数收敛值的几种途径
求解连分数的收敛值，主要有两种思路：一种是“暴力”逼近，一种是更巧妙的代数方法。
方法一：近似计算（暴力逼近）
这是最直观的方法。我们知道连分数可以看作是一系列的“截断”：
第一个近似值（也叫初值）：$c_0 = a_0$
第二个近似值：$c_1 = a_0 + frac{1}{a_1}$
第三个近似值：$c_2 = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2}}$
第四个近似值：$c_3 = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3}}}$
以此类推...
我们可以一层一层地计算这些近似值。随着计算的层数越来越多，这些近似值就会越来越接近连分数真正的收敛值。
举个例子：
我们来算算这个连分数：$1 + frac{1}{2 + frac{1}{3 + frac{1}{4 + dots}}}$ （这里，$a_0=1, a_1=2, a_2=3, a_3=4, dots$，这是一个无穷连分数）
1. $c_0 = 1$
2. $c_1 = 1 + frac{1}{2} = 1.5$
3. $c_2 = 1 + frac{1}{2 + frac{1}{3}} = 1 + frac{1}{frac{7}{3}} = 1 + frac{3}{7} = frac{10}{7} approx 1.42857$
4. $c_3 = 1 + frac{1}{2 + frac{1}{3 + frac{1}{4}}} = 1 + frac{1}{2 + frac{1}{frac{13}{4}}} = 1 + frac{1}{2 + frac{4}{13}} = 1 + frac{1}{frac{30}{13}} = 1 + frac{13}{30} = frac{43}{30} approx 1.43333$
你会发现，随着计算的深入，$1.5, 1.42857, 1.43333$ 似乎在围绕一个值波动，并慢慢靠近。如果继续计算下去，你会发现它越来越接近 $e1 approx 1.71828 1 = 0.71828$ 的近似值，但请注意，这个例子中的连分数是 $frac{1}{1+frac{1}{2+frac{1}{3+dots}}}$ ，如果你的意思是 $1 + frac{1}{2+frac{1}{3+dots}}$，那它收敛到的是 $e1$ 的倒数 $frac{1}{e1}$ 。
这种方法的优点：
直观易懂： 不需要高深的数学理论，直接计算就能体会到收敛的过程。
适用于有限连分数： 对于有限项的连分数，这种方法直接就能给出精确的有理数值。
这种方法的局限性：
效率不高： 对于需要精确值的无穷连分数，计算量会非常大，而且我们永远无法计算到“最后”。
可能不精确： 如果是小数计算，误差会累积。
方法二：代数方法（寻找递推关系）
对于无穷连分数，我们通常会寻找一种更优雅的代数方法。这个方法的核心是利用连分数的递归性质。
假设我们要计算的连分数是 $x = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + dots}}}$
我们注意到，从 $a_1$ 开始的部分：$a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + dots}}$ 本身也是一个连分数！如果这个连分数是“周期性”的，或者我们能发现一个规律，就可以利用它来求解。
最经典的情况：周期性连分数
一个非常重要的结论是：一个连分数收敛到的值是无理数，当且仅当它是“周期性”的。
周期性连分数是指从某一项开始，后面的系数会无限重复出现。比如：
$x = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + dots}}}}$
其中，$a_1, a_2$ 是重复的部分。
如何求解周期性连分数？
1. 设未知数： 设连分数的收敛值为 $x$。
2. 找出重复的部分： 找到那个循环开始的地方。
对于上面的例子，我们可以写成：
$x = a_0 + frac{1}{ ext{循环部分}}$
令 $y = a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + dots}}}$
那么，$y$ 的表达式中，从 $a_2$ 开始的部分又是 $y$ 本身（只是差了一层分母）。
所以，我们可以写出：
$y = a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{y}}$
3. 建立方程： 将上面这个关于 $y$ 的方程化简，得到一个关于 $y$ 的二次方程。
$y = a_1 + frac{1}{frac{a_2 y + 1}{y}} = a_1 + frac{y}{a_2 y + 1}$
$y(a_2 y + 1) = a_1(a_2 y + 1) + y$
$a_2 y^2 + y = a_1 a_2 y + a_1 + y$
$a_2 y^2 a_1 a_2 y a_1 = 0$
4. 解方程： 利用求根公式解出 $y$。
$y = frac{(a_1 a_2) pm sqrt{(a_1 a_2)^2 4(a_2)(a_1)}}{2a_2} = frac{a_1 a_2 pm sqrt{a_1^2 a_2^2 + 4a_1 a_2}}{2a_2}$
因为 $a_1, a_2$ 都是正整数，$y$ 必须是正的（因为它是从 $a_1$ 开始的连分数），所以我们选择正的那个根。
5. 代回求解 $x$： 一旦求出 $y$ 的值，就可以代入 $x = a_0 + frac{1}{y}$ 来计算 $x$ 的值。
举个更具体的例子：黄金分割数
黄金分割数 $phi$ 大家都听说过，它的连分数表示是：
$phi = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + dots}}}$
这里，$a_0 = 1, a_1 = 1, a_2 = 1, dots$
1. 设未知数： 设 $phi = 1 + frac{1}{1 + frac{1}{1 + dots}}$
2. 找出重复部分： 注意到从第二个“1”开始，后面的部分就是 $phi$ 本身。
$phi = 1 + frac{1}{phi}$
3. 建立方程：
$phi^2 = phi + 1$
$phi^2 phi 1 = 0$
4. 解方程： 利用求根公式：
$phi = frac{(1) pm sqrt{(1)^2 4(1)(1)}}{2(1)} = frac{1 pm sqrt{1 + 4}}{2} = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$
5. 选择合适的根： 因为 $phi$ 是从正数开始的连分数，$a_0=1, a_1=1, dots$ 都是正数，所以 $phi$ 必须是正的。因此，我们选择正根：
$phi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$
这就是著名的黄金分割数。
关于非周期性连分数
并非所有的连分数都是周期性的。那些不重复的（也称为“正则”的）无穷连分数，它们的收敛值往往是超越数（比如 $pi$ 和 $e$ 的一些相关的连分数）。对于这类连分数，它们的值通常无法用一个简单的代数表达式（比如一个根式）来精确表示，只能通过近似计算来逼近。
总结一下求解连分数收敛值的方法：
有限连分数： 直接一层层计算，会得到一个精确的有理数。
无穷周期性连分数： 利用代数方法，设未知数，建立方程，解出收敛值。这是最“精确”的方法。
无穷非周期性连分数： 只能通过近似计算来逼近它的值。
理解连分数的收敛性，以及掌握如何通过代数方法处理周期性连分数，是理解它们美妙之处的关键。这就像是把一个无限的、看似复杂的结构，通过一点点技巧，变成了一个有限的、可以理解的数值。
网友意见
mathematica没跑出来结果，基于 @wydi @周兴海的结果，我猜了一个解：
其中 为宗量为 的第一类贝塞尔函数，当n为非负整数时，其定义为：
发现答案确实与 @周兴海 的答案提到的答案是一致的。
我妈催我去吃午饭了，等会再来补充猜的过程。
因为我有吃饭时看一场守望先锋联赛的习惯，今天看的前天广州打伦敦，打了4张大图，所以这个午饭吃得有点慢233滚回来填坑了。
一、正经解法
虽然过程是猜的，但确实有严格的证明。我在此先给一个严格的证明，然后再在后面第2章节给大家讲讲我是怎么猜出来的。我估计大家应该更关心的不是答案，而是如何猜出来的答案吧（笑
证：
注意到有迭代关系成立：
这里相当于求 ，不妨令
代入(1.1)式，变成了：
化简即为：
注意到贝塞尔函数具有性质（推导用该链接间宫羽咲sama：考前复习总结，随便瞎写的对应的书上5.26、5.27展开相减即可得到，）：
将 代入(1.4)，即与(1.3)式吻合：
因此我们可以断言 ：
证毕
二、我是怎么猜出来的
如果是想要用来装B的话，第一章已经足够了。不过这仅仅是一个答案，并不能解决读者的疑惑——作者到底是怎么猜出来的这个解。毕竟“注意到(1.5)式”实在是太困难了，读者看完也只能一头雾水。下面我将带着大家复盘一遍我是如何解决这道题的。
首先根据 @wydi 的回答，打开mathematica，敲入命令
ContinuedFractionK [( 2 + n ) * ( -1 ) ^ n , { n , 0 , Infinity }] ^ -1 好吧，毫无悬念地出不来结果。
那么我们退而求其次，看看一个相对简单的情形能不能出结果：
ContinuedFractionK[n, {n, 1, Infinity}]^-1 结果出来了，是Bessel_I函数，这个函数是第一类修正贝塞尔函数，我没有学过。考虑到 @周兴海 的回答给出了一个数值解1.63454 98477 5613...，然后做一个大胆的尝试，找到一个我学过的“第一类未修正贝塞尔函数”，穷举前面10个数，看看规律：
Table [ N [ BesselJ [ n , 2 ]], { n , 0 , 10 }] 我们一看，0.576725/0.352834不就约等于1.63xxx...吗，让我们精确地算出来它
N[BesselJ[1, 2]/BesselJ[2, 2], 20] 简直一模一样好吗？那就是它了（叹气
然后就是借助学过的贝塞尔函数的一些递推性质(1.5)，将函数化简为目标情形了，具体详见第一章内容。
彩蛋
老规矩，还是文末彩蛋。突然想起来我没有放过国产galgame的图，其实steam上挺多国产gal也做得很不错的，在这里安利一下《我和她的世界末日》。
两年前的游戏了，题材虽然老套，末日+监禁。老实说，要是我代入女主视角，我肯定不可能相信男主。即使是最后的TE也有一种强行happy的感觉，因为怎么看都感觉像是男主自己精心设的一个局。后来通过网上查资料，发现这游戏果然有个网页版，结局和我猜测的差不多。可能是因为要在steam上卖，怕被玩家骂吧，把内容做了一些修改，只不过留下的原来版本的痕迹太多了（叹气）。不过总的来说做的还是不错的，题材虽然有些老生常谈，但做出了新意，值得推荐。
（顺便，其实我本来是想安利赤印plus的，结果由于迷之原因，我打开游戏发现我的存档全没了，当时我就呆住.jpg）
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