请问下面两个极限问题如何解决？
没问题，我很乐意为你解答这两个极限问题。为了让过程更清晰易懂，我会一步一步地来讲解，尽量避免那些生硬的AI式表达。
问题一：求极限 $lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x}$
看到这个极限，我们的第一反应可能是直接代入 $x=0$。如果我们这样做，会得到 $frac{sin(0)}{0} = frac{0}{0}$。这是一个不定式，意味着我们不能直接计算出结果，需要用其他方法来处理。
对于这类涉及到 $sin(ax)/x$ 或者 $sin(ax)/sin(bx)$ 形式的极限，我们有一个非常重要的、可以说是“看家本领”的已知极限：
$lim_{u o 0} frac{sin(u)}{u} = 1$
这个极限是怎么来的？它其实是微积分中导数定义的一个直接结果。我们知道 $sin(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是 $cos(0) = 1$。而导数的定义是：
$f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h) f(a)}{h}$
如果我们取 $f(x) = sin(x)$ 并且 $a=0$，那么：
$f'(0) = lim_{h o 0} frac{sin(0+h) sin(0)}{h} = lim_{h o 0} frac{sin(h) 0}{h} = lim_{h o 0} frac{sin(h)}{h}$
我们知道 $sin(x)$ 的导数就是 $cos(x)$，所以在 $x=0$ 处的导数是 $cos(0)=1$。所以，我们就有 $lim_{h o 0} frac{sin(h)}{h} = 1$。把这里的 $h$ 换成任何一个趋向于0的变量（比如 $u$ 或者 $x$），这个结论都成立。
现在回到我们的问题：$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x}$。
我们的目标是把它转化成我们熟悉的那个 $lim_{u o 0} frac{sin(u)}{u} = 1$ 的形式。观察一下，我们的表达式是 $sin(3x)$，而分母是 $x$。为了凑成那个形式，我们需要分母也是 $3x$。
怎么才能让分母变成 $3x$ 呢？我们可以通过乘以一个数，再除以同一个数的方式来做到，这样不会改变表达式的值。
所以，我们可以这样操作：
$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x} = lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x} imes frac{3}{3}$
然后，我们可以把这个 $frac{3}{3}$ 做一个调整，把其中一个 $3$ 移到分母的旁边：
$= lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} imes 3$
在极限的性质里，如果一个常数因子乘以一个函数，极限就是这个常数乘以这个函数的极限。所以，我们可以把常数 $3$ 提到极限符号外面：
$= 3 imes lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x}$
现在，我们来看这个极限部分：$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x}$。
这里有一个关键点：当 $x o 0$ 的时候，`3x` 也会趋向于 $0$。这是因为 $3$ 是一个常数，当 $x$ 接近 $0$ 时，$3x$ 也就跟着 $x$ 往 $0$ 靠拢。
所以，我们可以进行一个变量替换。令 $u = 3x$。当 $x o 0$ 时，我们知道 $u o 0$。于是，这个极限就变成了：
$lim_{u o 0} frac{sin(u)}{u}$
而我们知道，这个极限的值是 $1$！
所以，回到我们原来的计算：
$3 imes lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} = 3 imes 1 = 3$
因此，$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x} = 3$。
总结一下解决思路：
1. 识别不定式：直接代入发现是 $frac{0}{0}$。
2. 联想到重要极限：知道 $lim_{u o 0} frac{sin(u)}{u} = 1$ 是关键。
3. 调整表达式：通过乘以和除以常数（这里是 $3$），使表达式的 $sin$ 函数内部的变量（$3x$）与分母的变量（$x$）相匹配。
4. 利用极限性质：将常数因子移到极限号外。
5. 进行变量替换：令内部变量为新变量，使极限形式完全符合已知重要极限。
6. 代入已知极限值。
问题二：求极限 $lim_{x o infty} frac{2x^2 + 3x 1}{x^2 5x + 2}$
当 $x o infty$（或者 $x o infty$）时，我们通常会遇到形如 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 的有理函数（多项式除以多项式）。当分子和分母都趋于无穷大时，这也是一个不定式（$frac{infty}{infty}$）。
处理这类极限的核心思想是找出函数中起决定性作用的项。当 $x$ 非常非常大的时候，多项式中次数最高的项（即最高次项）将占据主导地位，其他低次项的影响会变得微不足道。
所以，对于我们的表达式 $frac{2x^2 + 3x 1}{x^2 5x + 2}$，当 $x o infty$ 时：
分子 $2x^2 + 3x 1$ 中，起决定性作用的是 $2x^2$。
分母 $x^2 5x + 2$ 中，起决定性作用的是 $x^2$。
最常见的处理方法是将分子和分母同时除以分母的最高次项。在这里，分母的最高次项是 $x^2$。
我们来具体操作一下：
$lim_{x o infty} frac{2x^2 + 3x 1}{x^2 5x + 2}$
将分子和分母的每一项都除以 $x^2$：
$= lim_{x o infty} frac{frac{2x^2}{x^2} + frac{3x}{x^2} frac{1}{x^2}}{frac{x^2}{x^2} frac{5x}{x^2} + frac{2}{x^2}}$
现在，我们来简化每一项：
$frac{2x^2}{x^2} = 2$
$frac{3x}{x^2} = frac{3}{x}$
$frac{1}{x^2}$ 保持不变
$frac{x^2}{x^2} = 1$
$frac{5x}{x^2} = frac{5}{x}$
$frac{2}{x^2}$ 保持不变
所以，表达式变成：
$= lim_{x o infty} frac{2 + frac{3}{x} frac{1}{x^2}}{1 frac{5}{x} + frac{2}{x^2}}$
现在，我们来考虑当 $x o infty$ 时，各项会变成什么：
$frac{3}{x}$: 当 $x$ 变得非常非常大时，一个常数除以一个巨大的数，结果会趋近于 $0$。所以 $lim_{x o infty} frac{3}{x} = 0$。
$frac{1}{x^2}$: 同理，当 $x$ 很大时，$x^2$ 更大，$frac{1}{x^2}$ 也趋近于 $0$。所以 $lim_{x o infty} frac{1}{x^2} = 0$。
$1$: 这是一个常数，它本身就是 $1$。
$frac{5}{x}$: 同 $frac{3}{x}$，趋近于 $0$。所以 $lim_{x o infty} frac{5}{x} = 0$。
$frac{2}{x^2}$: 同 $frac{1}{x^2}$，趋近于 $0$。所以 $lim_{x o infty} frac{2}{x^2} = 0$。
现在，我们可以把这些极限值代入到我们简化后的表达式中：
$= frac{2 + 0 0}{1 0 + 0}$
$= frac{2}{1}$
$= 2$
所以，$lim_{x o infty} frac{2x^2 + 3x 1}{x^2 5x + 2} = 2$。
这种方法还有一个非常直观的规律可以记：
当 $x o infty$ 时，对于有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$：
1. 如果分子 $P(x)$ 的最高次项次数大于分母 $Q(x)$ 的最高次项次数，极限是 $infty$ 或 $infty$。
2. 如果分子 $P(x)$ 的最高次项次数小于分母 $Q(x)$ 的最高次项次数，极限是 $0$。
3. 如果分子 $P(x)$ 的最高次项次数等于分母 $Q(x)$ 的最高次项次数，极限就是这两个最高次项系数的比值。
在我们的例子中：
分子最高次项是 $2x^2$，系数是 $2$。
分母最高次项是 $x^2$，系数是 $1$。
它们的次数都是 $2$，相等。所以，极限就是系数的比值：$frac{2}{1} = 2$。
这个规律背后的道理，就是我们上面一步步除以最高次项时所展现出来的：低次项都被 $x$ 的幂次“吃掉了”（变成了 $0$），只剩下最高次项的系数的比值。
总结一下解决思路：
1. 识别不定式：代入 $x o infty$ 发现是 $frac{infty}{infty}$。
2. 确定主导项：找出分子和分母的最高次项。
3. 除以最高次项：将分子和分母的每一项都除以分母的最高次项。
4. 利用极限性质：知道当 $x o infty$ 时，$frac{c}{x^n} o 0$ （其中 $c$ 是常数，$n>0$）。
5. 代入极限值：计算简化后表达式的极限。
6. （可选）记忆规律：对于有理函数，比较分子分母最高次项的次数和系数。
希望我的讲解能让你觉得清晰明了！如果你还有其他问题，随时可以提出来。
问题一：求极限 $lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x}$
看到这个极限，我们的第一反应可能是直接代入 $x=0$。如果我们这样做，会得到 $frac{sin(0)}{0} = frac{0}{0}$。这是一个不定式，意味着我们不能直接计算出结果，需要用其他方法来处理。
对于这类涉及到 $sin(ax)/x$ 或者 $sin(ax)/sin(bx)$ 形式的极限，我们有一个非常重要的、可以说是“看家本领”的已知极限：
$lim_{u o 0} frac{sin(u)}{u} = 1$
这个极限是怎么来的？它其实是微积分中导数定义的一个直接结果。我们知道 $sin(x)$ 在 $x=0$ 处的导数是 $cos(0) = 1$。而导数的定义是：
$f'(a) = lim_{h o 0} frac{f(a+h) f(a)}{h}$
如果我们取 $f(x) = sin(x)$ 并且 $a=0$，那么：
$f'(0) = lim_{h o 0} frac{sin(0+h) sin(0)}{h} = lim_{h o 0} frac{sin(h) 0}{h} = lim_{h o 0} frac{sin(h)}{h}$
我们知道 $sin(x)$ 的导数就是 $cos(x)$，所以在 $x=0$ 处的导数是 $cos(0)=1$。所以，我们就有 $lim_{h o 0} frac{sin(h)}{h} = 1$。把这里的 $h$ 换成任何一个趋向于0的变量（比如 $u$ 或者 $x$），这个结论都成立。
现在回到我们的问题：$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x}$。
我们的目标是把它转化成我们熟悉的那个 $lim_{u o 0} frac{sin(u)}{u} = 1$ 的形式。观察一下，我们的表达式是 $sin(3x)$，而分母是 $x$。为了凑成那个形式，我们需要分母也是 $3x$。
怎么才能让分母变成 $3x$ 呢？我们可以通过乘以一个数，再除以同一个数的方式来做到，这样不会改变表达式的值。
所以，我们可以这样操作：
$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x} = lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x} imes frac{3}{3}$
然后，我们可以把这个 $frac{3}{3}$ 做一个调整，把其中一个 $3$ 移到分母的旁边：
$= lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} imes 3$
在极限的性质里，如果一个常数因子乘以一个函数，极限就是这个常数乘以这个函数的极限。所以，我们可以把常数 $3$ 提到极限符号外面：
$= 3 imes lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x}$
现在，我们来看这个极限部分：$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x}$。
这里有一个关键点：当 $x o 0$ 的时候，`3x` 也会趋向于 $0$。这是因为 $3$ 是一个常数，当 $x$ 接近 $0$ 时，$3x$ 也就跟着 $x$ 往 $0$ 靠拢。
所以，我们可以进行一个变量替换。令 $u = 3x$。当 $x o 0$ 时，我们知道 $u o 0$。于是，这个极限就变成了：
$lim_{u o 0} frac{sin(u)}{u}$
而我们知道，这个极限的值是 $1$！
所以，回到我们原来的计算：
$3 imes lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} = 3 imes 1 = 3$
因此，$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x} = 3$。
总结一下解决思路：
1. 识别不定式：直接代入发现是 $frac{0}{0}$。
2. 联想到重要极限：知道 $lim_{u o 0} frac{sin(u)}{u} = 1$ 是关键。
3. 调整表达式：通过乘以和除以常数（这里是 $3$），使表达式的 $sin$ 函数内部的变量（$3x$）与分母的变量（$x$）相匹配。
4. 利用极限性质：将常数因子移到极限号外。
5. 进行变量替换：令内部变量为新变量，使极限形式完全符合已知重要极限。
6. 代入已知极限值。
问题二：求极限 $lim_{x o infty} frac{2x^2 + 3x 1}{x^2 5x + 2}$
当 $x o infty$（或者 $x o infty$）时，我们通常会遇到形如 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 的有理函数（多项式除以多项式）。当分子和分母都趋于无穷大时，这也是一个不定式（$frac{infty}{infty}$）。
处理这类极限的核心思想是找出函数中起决定性作用的项。当 $x$ 非常非常大的时候，多项式中次数最高的项（即最高次项）将占据主导地位，其他低次项的影响会变得微不足道。
所以，对于我们的表达式 $frac{2x^2 + 3x 1}{x^2 5x + 2}$，当 $x o infty$ 时：
分子 $2x^2 + 3x 1$ 中，起决定性作用的是 $2x^2$。
分母 $x^2 5x + 2$ 中，起决定性作用的是 $x^2$。
最常见的处理方法是将分子和分母同时除以分母的最高次项。在这里，分母的最高次项是 $x^2$。
我们来具体操作一下：
$lim_{x o infty} frac{2x^2 + 3x 1}{x^2 5x + 2}$
将分子和分母的每一项都除以 $x^2$：
$= lim_{x o infty} frac{frac{2x^2}{x^2} + frac{3x}{x^2} frac{1}{x^2}}{frac{x^2}{x^2} frac{5x}{x^2} + frac{2}{x^2}}$
现在，我们来简化每一项：
$frac{2x^2}{x^2} = 2$
$frac{3x}{x^2} = frac{3}{x}$
$frac{1}{x^2}$ 保持不变
$frac{x^2}{x^2} = 1$
$frac{5x}{x^2} = frac{5}{x}$
$frac{2}{x^2}$ 保持不变
所以，表达式变成：
$= lim_{x o infty} frac{2 + frac{3}{x} frac{1}{x^2}}{1 frac{5}{x} + frac{2}{x^2}}$
现在，我们来考虑当 $x o infty$ 时，各项会变成什么：
$frac{3}{x}$: 当 $x$ 变得非常非常大时，一个常数除以一个巨大的数，结果会趋近于 $0$。所以 $lim_{x o infty} frac{3}{x} = 0$。
$frac{1}{x^2}$: 同理，当 $x$ 很大时，$x^2$ 更大，$frac{1}{x^2}$ 也趋近于 $0$。所以 $lim_{x o infty} frac{1}{x^2} = 0$。
$1$: 这是一个常数，它本身就是 $1$。
$frac{5}{x}$: 同 $frac{3}{x}$，趋近于 $0$。所以 $lim_{x o infty} frac{5}{x} = 0$。
$frac{2}{x^2}$: 同 $frac{1}{x^2}$，趋近于 $0$。所以 $lim_{x o infty} frac{2}{x^2} = 0$。
现在，我们可以把这些极限值代入到我们简化后的表达式中：
$= frac{2 + 0 0}{1 0 + 0}$
$= frac{2}{1}$
$= 2$
所以，$lim_{x o infty} frac{2x^2 + 3x 1}{x^2 5x + 2} = 2$。
这种方法还有一个非常直观的规律可以记：
当 $x o infty$ 时，对于有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$：
1. 如果分子 $P(x)$ 的最高次项次数大于分母 $Q(x)$ 的最高次项次数，极限是 $infty$ 或 $infty$。
2. 如果分子 $P(x)$ 的最高次项次数小于分母 $Q(x)$ 的最高次项次数，极限是 $0$。
3. 如果分子 $P(x)$ 的最高次项次数等于分母 $Q(x)$ 的最高次项次数，极限就是这两个最高次项系数的比值。
在我们的例子中：
分子最高次项是 $2x^2$，系数是 $2$。
分母最高次项是 $x^2$，系数是 $1$。
它们的次数都是 $2$，相等。所以，极限就是系数的比值：$frac{2}{1} = 2$。
这个规律背后的道理，就是我们上面一步步除以最高次项时所展现出来的：低次项都被 $x$ 的幂次“吃掉了”（变成了 $0$），只剩下最高次项的系数的比值。
总结一下解决思路：
1. 识别不定式：代入 $x o infty$ 发现是 $frac{infty}{infty}$。
2. 确定主导项：找出分子和分母的最高次项。
3. 除以最高次项：将分子和分母的每一项都除以分母的最高次项。
4. 利用极限性质：知道当 $x o infty$ 时，$frac{c}{x^n} o 0$ （其中 $c$ 是常数，$n>0$）。
5. 代入极限值：计算简化后表达式的极限。
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