这个定积分极限如何计算？
这道定积分极限的计算，我们来一步步拆解，力求清晰明了，如同在纸上演算一般，带你领略其中的奥妙。
首先，我们来看一下这个定积分：
$$ lim_{n o infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k} $$
我们想要计算的是当 $n$ 趋于无穷大时，这个求和的极限值。乍一看，这可能有点复杂，因为求和项的表达式不仅依赖于求和变量 $k$，还依赖于这个“总数”$n$。
第一步：认识定积分的定义与联系
最关键的一步是识别出这个求和式和定积分之间的深刻联系。我们知道，定积分可以看作是黎曼和的极限。更具体地说，对于一个在 $[a, b]$ 区间上的函数 $f(x)$，其定积分可以表示为：
$$ int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{k=1}^{n} f(x_k^) Delta x $$
其中，$Delta x = frac{ba}{n}$ 是区间的划分大小，$x_k^$ 是在第 $k$ 个子区间上的任意一点。
我们的目标就是把给定的求和式 “变形”成 这种黎曼和的形式。这意味着我们需要确定：
1. 被积函数 $f(x)$ 是什么？
2. 积分的下限 $a$ 是多少？
3. 积分的上限 $b$ 是多少？
第二步：改造求和式，为黎曼和铺路
让我们仔细审视一下给定的求和式：
$$ frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k} $$
我们注意到有一个 $frac{1}{n}$ 整体乘在外面，这很像黎曼和定义中的 $Delta x = frac{ba}{n}$。如果我们将 $frac{1}{n}$ 看作是 $Delta x$，那么这个划分就已经设定好了，意味着我们的积分区间长度是 $ba = 1$。
现在，让我们专注于求和号内部的表达式：
$$ sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k} $$
我们想把它写成 $sum_{k=1}^{n} f(x_k^) Delta x$ 的形式。我们已经有了 $Delta x = frac{1}{n}$。那么，求和内部的 $frac{k}{n+k}$ 应该如何与 $f(x_k^)$ 相关联呢？
一个常见的技巧是将求和项中的 $n$ 也“拿到”分母外面，与 $frac{1}{n}$ 结合，从而“构造”出自变量 $x$ 的形式。
让我们对每一项 $frac{k}{n+k}$ 做一些代数上的操作：
$$ frac{k}{n+k} = frac{frac{k}{n}}{frac{n}{n} + frac{k}{n}} = frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} $$
现在，让我们把这个变形后的项放回到求和式中，并与外面的 $frac{1}{n}$ 结合：
$$ frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} = sum_{k=1}^{n} left( frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} ight) cdot frac{1}{n} $$
看起来非常接近了！现在，我们来仔细对比这个形式和黎曼和的定义：
$$ sum_{k=1}^{n} f(x_k^) Delta x $$
我们已经确定 $Delta x = frac{1}{n}$。那么，剩下的部分 $frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}}$ 就应该对应于 $f(x_k^)$。
第三步：确定被积函数和积分区间
我们观察到在 $frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}}$ 中，$frac{k}{n}$ 是一个与求和变量 $k$ 和总数 $n$ 相关的项。
在标准的黎曼和构造中，我们通常将 $Delta x = frac{ba}{n}$ 对应到 $frac{1}{n}$，并且将 $frac{k}{n}$ 对应到自变量 $x$ 在某个特定点上的取值。
考虑一种常见的选取 $x_k^$ 的方式：在区间 $[a, b]$ 上，将区间分成 $n$ 个等长的子区间，每个长度为 $Delta x = frac{ba}{n}$。那么，在第 $k$ 个子区间上的右端点（或者其他点）可以表示为 $x_k^ = a + k Delta x$。
如果我们将 $a=0$ 和 $b=1$，那么 $Delta x = frac{10}{n} = frac{1}{n}$。
在这种情况下，$x_k^ = 0 + k cdot frac{1}{n} = frac{k}{n}$。
将这个对应关系代入我们变形后的求和式中：
$$ sum_{k=1}^{n} frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} cdot frac{1}{n} $$
我们发现，如果令 $x_k^ = frac{k}{n}$，那么 $frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}}$ 就变成了 $frac{x_k^}{1 + x_k^}$。
所以，我们可以推断出：
被积函数 $f(x) = frac{x}{1+x}$
积分区间是 $[0, 1]$ (因为我们设了 $a=0$, $b=1$, 且 $x_k^ = a + k Delta x = 0 + k cdot frac{1}{n} = frac{k}{n}$ 恰好覆盖了 $[0, 1]$ 区间上的等分点)。
因此，原定积分极限可以被看作是函数 $f(x) = frac{x}{1+x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分：
$$ lim_{n o infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k} = int_0^1 frac{x}{1+x} , dx $$
第四步：计算定积分
现在我们来计算这个定积分 $int_0^1 frac{x}{1+x} , dx$。
被积函数 $frac{x}{1+x}$ 可以进行简单的代数变形，以便于积分：
$$ frac{x}{1+x} = frac{(1+x) 1}{1+x} = 1 frac{1}{1+x} $$
这样，积分就变得非常容易了：
$$ int_0^1 left( 1 frac{1}{1+x} ight) , dx $$
我们逐项积分：
$int 1 , dx = x$
$int frac{1}{1+x} , dx$：我们可以令 $u = 1+x$，则 $du = dx$。积分就变成了 $int frac{1}{u} , du = ln|u| = ln|1+x|$。
所以，不定积分是 $x ln|1+x| + C$。
现在，我们计算定积分的值，在区间 $[0, 1]$ 上进行评估：
$$ left[ x ln|1+x| ight]_0^1 $$
代入上限 $x=1$：
$$ 1 ln|1+1| = 1 ln(2) $$
代入下限 $x=0$：
$$ 0 ln|1+0| = 0 ln(1) = 0 0 = 0 $$
定积分的值就是上限的值减去下限的值：
$$ (1 ln(2)) 0 = 1 ln(2) $$
总结计算过程：
1. 识别黎曼和结构： 将给定的求和式 $frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k}$ 与黎曼和定义 $lim_{n o infty} sum_{k=1}^{n} f(x_k^) Delta x$ 进行比较。
2. 变形求和项： 将 $frac{k}{n+k}$ 变形为 $frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}}$，并结合外面的 $frac{1}{n}$，得到 $sum_{k=1}^{n} frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} cdot frac{1}{n}$。
3. 确定函数和区间： 识别出 $Delta x = frac{1}{n}$ 和 $x_k^ = frac{k}{n}$，从而确定被积函数 $f(x) = frac{x}{1+x}$ 和积分区间 $[0, 1]$。
4. 转化为定积分： 将极限问题转化为计算定积分 $int_0^1 frac{x}{1+x} , dx$。
5. 计算定积分： 对被积函数进行代数变形，积分并代入上下限计算出最终结果 $1 ln(2)$。
所以，这个定积分的极限计算结果是 $1 ln(2)$。整个过程就是巧妙地将一个“离散的求和”转化为一个“连续的积分”来求解。
首先，我们来看一下这个定积分：
$$ lim_{n o infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k} $$
我们想要计算的是当 $n$ 趋于无穷大时，这个求和的极限值。乍一看，这可能有点复杂，因为求和项的表达式不仅依赖于求和变量 $k$，还依赖于这个“总数”$n$。
第一步：认识定积分的定义与联系
最关键的一步是识别出这个求和式和定积分之间的深刻联系。我们知道，定积分可以看作是黎曼和的极限。更具体地说，对于一个在 $[a, b]$ 区间上的函数 $f(x)$，其定积分可以表示为：
$$ int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{k=1}^{n} f(x_k^) Delta x $$
其中，$Delta x = frac{ba}{n}$ 是区间的划分大小，$x_k^$ 是在第 $k$ 个子区间上的任意一点。
我们的目标就是把给定的求和式 “变形”成 这种黎曼和的形式。这意味着我们需要确定：
1. 被积函数 $f(x)$ 是什么？
2. 积分的下限 $a$ 是多少？
3. 积分的上限 $b$ 是多少？
第二步：改造求和式，为黎曼和铺路
让我们仔细审视一下给定的求和式：
$$ frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k} $$
我们注意到有一个 $frac{1}{n}$ 整体乘在外面，这很像黎曼和定义中的 $Delta x = frac{ba}{n}$。如果我们将 $frac{1}{n}$ 看作是 $Delta x$，那么这个划分就已经设定好了，意味着我们的积分区间长度是 $ba = 1$。
现在，让我们专注于求和号内部的表达式：
$$ sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k} $$
我们想把它写成 $sum_{k=1}^{n} f(x_k^) Delta x$ 的形式。我们已经有了 $Delta x = frac{1}{n}$。那么，求和内部的 $frac{k}{n+k}$ 应该如何与 $f(x_k^)$ 相关联呢？
一个常见的技巧是将求和项中的 $n$ 也“拿到”分母外面，与 $frac{1}{n}$ 结合，从而“构造”出自变量 $x$ 的形式。
让我们对每一项 $frac{k}{n+k}$ 做一些代数上的操作：
$$ frac{k}{n+k} = frac{frac{k}{n}}{frac{n}{n} + frac{k}{n}} = frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} $$
现在，让我们把这个变形后的项放回到求和式中，并与外面的 $frac{1}{n}$ 结合：
$$ frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} = sum_{k=1}^{n} left( frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} ight) cdot frac{1}{n} $$
看起来非常接近了！现在，我们来仔细对比这个形式和黎曼和的定义：
$$ sum_{k=1}^{n} f(x_k^) Delta x $$
我们已经确定 $Delta x = frac{1}{n}$。那么，剩下的部分 $frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}}$ 就应该对应于 $f(x_k^)$。
第三步：确定被积函数和积分区间
我们观察到在 $frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}}$ 中，$frac{k}{n}$ 是一个与求和变量 $k$ 和总数 $n$ 相关的项。
在标准的黎曼和构造中，我们通常将 $Delta x = frac{ba}{n}$ 对应到 $frac{1}{n}$，并且将 $frac{k}{n}$ 对应到自变量 $x$ 在某个特定点上的取值。
考虑一种常见的选取 $x_k^$ 的方式：在区间 $[a, b]$ 上，将区间分成 $n$ 个等长的子区间，每个长度为 $Delta x = frac{ba}{n}$。那么，在第 $k$ 个子区间上的右端点（或者其他点）可以表示为 $x_k^ = a + k Delta x$。
如果我们将 $a=0$ 和 $b=1$，那么 $Delta x = frac{10}{n} = frac{1}{n}$。
在这种情况下，$x_k^ = 0 + k cdot frac{1}{n} = frac{k}{n}$。
将这个对应关系代入我们变形后的求和式中：
$$ sum_{k=1}^{n} frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} cdot frac{1}{n} $$
我们发现，如果令 $x_k^ = frac{k}{n}$，那么 $frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}}$ 就变成了 $frac{x_k^}{1 + x_k^}$。
所以，我们可以推断出：
被积函数 $f(x) = frac{x}{1+x}$
积分区间是 $[0, 1]$ (因为我们设了 $a=0$, $b=1$, 且 $x_k^ = a + k Delta x = 0 + k cdot frac{1}{n} = frac{k}{n}$ 恰好覆盖了 $[0, 1]$ 区间上的等分点)。
因此，原定积分极限可以被看作是函数 $f(x) = frac{x}{1+x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分：
$$ lim_{n o infty} frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k} = int_0^1 frac{x}{1+x} , dx $$
第四步：计算定积分
现在我们来计算这个定积分 $int_0^1 frac{x}{1+x} , dx$。
被积函数 $frac{x}{1+x}$ 可以进行简单的代数变形，以便于积分：
$$ frac{x}{1+x} = frac{(1+x) 1}{1+x} = 1 frac{1}{1+x} $$
这样，积分就变得非常容易了：
$$ int_0^1 left( 1 frac{1}{1+x} ight) , dx $$
我们逐项积分：
$int 1 , dx = x$
$int frac{1}{1+x} , dx$：我们可以令 $u = 1+x$，则 $du = dx$。积分就变成了 $int frac{1}{u} , du = ln|u| = ln|1+x|$。
所以，不定积分是 $x ln|1+x| + C$。
现在，我们计算定积分的值，在区间 $[0, 1]$ 上进行评估：
$$ left[ x ln|1+x| ight]_0^1 $$
代入上限 $x=1$：
$$ 1 ln|1+1| = 1 ln(2) $$
代入下限 $x=0$：
$$ 0 ln|1+0| = 0 ln(1) = 0 0 = 0 $$
定积分的值就是上限的值减去下限的值：
$$ (1 ln(2)) 0 = 1 ln(2) $$
总结计算过程：
1. 识别黎曼和结构： 将给定的求和式 $frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{k}{n+k}$ 与黎曼和定义 $lim_{n o infty} sum_{k=1}^{n} f(x_k^) Delta x$ 进行比较。
2. 变形求和项： 将 $frac{k}{n+k}$ 变形为 $frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}}$，并结合外面的 $frac{1}{n}$，得到 $sum_{k=1}^{n} frac{frac{k}{n}}{1 + frac{k}{n}} cdot frac{1}{n}$。
3. 确定函数和区间： 识别出 $Delta x = frac{1}{n}$ 和 $x_k^ = frac{k}{n}$，从而确定被积函数 $f(x) = frac{x}{1+x}$ 和积分区间 $[0, 1]$。
4. 转化为定积分： 将极限问题转化为计算定积分 $int_0^1 frac{x}{1+x} , dx$。
5. 计算定积分： 对被积函数进行代数变形，积分并代入上下限计算出最终结果 $1 ln(2)$。
所以，这个定积分的极限计算结果是 $1 ln(2)$。整个过程就是巧妙地将一个“离散的求和”转化为一个“连续的积分”来求解。
网友意见
分部积分：
令 ，则 。首先显然有 。其次，由于 ，所以
由夹逼定理得到 。
易知
显然
那么显然
又显然有 ，因此显然
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