这个求极限的积分咋做？
这个问题很有意思，涉及到极限和积分的结合，确实需要仔细梳理一下思路。我们就一步一步来拆解它，让它变得清晰明了。
我们来看这个极限：
$$ lim_{n o infty} int_0^1 frac{nx}{1+n^2x^2} dx $$
看到这个形式，我们第一反应可能是先算里面的积分，然后再考虑极限。不过，直接对这个积分进行不定积分可能有点棘手，因为 $n$ 还在里面，而且我们最终要看 $n o infty$ 的情况。
第一步：观察积分内部的被积函数
被积函数是 $f_n(x) = frac{nx}{1+n^2x^2}$。当 $n$ 很大时，这个函数会发生什么变化？
我们关注两个极端情况：
当 $x=0$ 时： $f_n(0) = frac{n cdot 0}{1+n^2 cdot 0^2} = frac{0}{1} = 0$。对于任何 $n$，被积函数在 $x=0$ 处都等于 $0$。
当 $x eq 0$ 时： 我们可以尝试对分子分母同除以 $n^2$（因为 $n o infty$，这是个有用的技巧）：
$$ f_n(x) = frac{nx}{1+n^2x^2} = frac{frac{nx}{n^2}}{frac{1+n^2x^2}{n^2}} = frac{frac{x}{n}}{frac{1}{n^2}+x^2} $$
现在，当 $n o infty$ 时：
分子 $frac{x}{n} o 0$ （因为 $x$ 是固定的，分母 $n$ 无限增大）。
分母 $frac{1}{n^2}+x^2 o 0 + x^2 = x^2$。
所以，当 $x eq 0$ 时，$f_n(x) o frac{0}{x^2} = 0$。
这意味着什么？ 这说明被积函数 $f_n(x)$ 在积分区间 $[0, 1]$ 上，除了 $x=0$ 这个点（但实际上，函数在 $x=0$ 处的值是 $0$），整体上当 $n o infty$ 时，都趋近于 $0$。
这给了我们一个初步的猜测：这个极限可能等于 $0$。
第二步：尝试直接计算积分
虽然我们看到了极限可能为 $0$，但为了严谨，我们最好能计算出这个积分的值。我们来尝试一下换元法。
考虑积分 $int frac{nx}{1+n^2x^2} dx$。
注意到 $1+n^2x^2$ 的导数是 $2n^2x$。我们的被积函数是 $nx$，好像差了一个常数因子。
我们可以做个换元：令 $u = 1+n^2x^2$。
那么 $du = 2n^2x , dx$。
我们希望凑出 $nx , dx$。从 $du$ 中我们可以得到 $nx , dx = frac{1}{2n} du$。
现在我们来处理积分的上下限。
当 $x=0$ 时，$u = 1+n^2(0)^2 = 1$。
当 $x=1$ 时，$u = 1+n^2(1)^2 = 1+n^2$。
所以，原积分可以写成：
$$ int_0^1 frac{nx}{1+n^2x^2} dx = int_1^{1+n^2} frac{1}{u} left(frac{1}{2n} du ight) $$
$$ = frac{1}{2n} int_1^{1+n^2} frac{1}{u} du $$
别忘了，我们一开始是把 $n$ 看作一个常数来做积分的。现在积分算完了，我们需要把这个 $n$ 再考虑进去求极限。
第三步：计算积分的值，然后求极限
根据上面的换元，我们得到的积分是：
$$ frac{1}{2n} int_1^{1+n^2} frac{1}{u} du = frac{1}{2n} [ln|u|]_1^{1+n^2} $$
$$ = frac{1}{2n} (ln(1+n^2) ln(1)) $$
$$ = frac{1}{2n} (ln(1+n^2) 0) $$
$$ = frac{ln(1+n^2)}{2n} $$
好了，现在我们得到了当给定 $n$ 时的积分值。最后一步，就是计算这个表达式在 $n o infty$ 时的极限了：
$$ lim_{n o infty} frac{ln(1+n^2)}{2n} $$
这是一个 $frac{infty}{infty}$ 型的不定式，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
对分子 $ln(1+n^2)$ 求导（对 $n$ 求导）：
导数是 $frac{1}{1+n^2} cdot (2n) = frac{2n}{1+n^2}$。
对分母 $2n$ 求导（对 $n$ 求导）：
导数是 $2$。
所以，根据洛必达法则：
$$ lim_{n o infty} frac{ln(1+n^2)}{2n} = lim_{n o infty} frac{frac{2n}{1+n^2}}{2} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{2n}{2(1+n^2)} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{n}{1+n^2} $$
现在这个极限我们应该很熟悉了。当 $n o infty$ 时，分子和分母都是无穷大，但分母的增长速度远快于分子。我们可以同除以 $n^2$：
$$ lim_{n o infty} frac{frac{n}{n^2}}{frac{1}{n^2}+frac{n^2}{n^2}} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n}}{frac{1}{n^2}+1} $$
当 $n o infty$ 时：
$frac{1}{n} o 0$
$frac{1}{n^2} o 0$
所以，极限是：
$$ frac{0}{0+1} = frac{0}{1} = 0 $$
总结一下整个过程：
1. 理解问题： 我们需要计算一个积分在参数 $n$ 趋于无穷时的极限。
2. 初步分析： 通过观察被积函数在 $n o infty$ 时的行为，我们猜测极限可能为 $0$。这是一种直觉性的判断，但不能作为最终答案。
3. 精确计算： 利用换元法（令 $u = 1+n^2x^2$）成功地计算出了不定积分，并代入积分上下限得到了关于 $n$ 的表达式：$frac{ln(1+n^2)}{2n}$。
4. 求解极限： 对计算出的表达式使用洛必达法则，将 $frac{infty}{infty}$ 型的不定式转化为更容易处理的形式，最终得到极限值为 $0$。
一个更“取巧”但同样有效的思路（用于验证）：
你可能还会想到另外一种处理方式，就是利用积分的“收敛性”或“控制收敛定理”（Dominated Convergence Theorem）的思想。虽然这里的被积函数不是典型的收敛到 $0$ 的，但我们可以这样做：
当 $n o infty$ 时，我们看到 $frac{nx}{1+n^2x^2}$ 表现得“像”一个在 $x=0$ 处是 $0$，其他地方也趋于 $0$ 的函数。
考虑一个更直接的换元：令 $t = nx$。那么 $x = t/n$， $dx = dt/n$。
当 $x=0$ 时，$t=0$。
当 $x=1$ 时，$t=n$。
积分变成：
$$ int_0^n frac{n(t/n)}{1+(t)^2} frac{dt}{n} = int_0^n frac{t}{1+t^2} frac{dt}{n} = frac{1}{n} int_0^n frac{t}{1+t^2} dt $$
现在我们来计算这个内部的积分：
$$ int_0^n frac{t}{1+t^2} dt $$
令 $u = 1+t^2$，则 $du = 2t , dt$，所以 $t , dt = frac{1}{2} du$。
当 $t=0$ 时，$u=1$。
当 $t=n$ 时，$u=1+n^2$。
$$ int_1^{1+n^2} frac{1}{u} frac{1}{2} du = frac{1}{2} [ln|u|]_1^{1+n^2} = frac{1}{2} (ln(1+n^2) ln(1)) = frac{1}{2} ln(1+n^2) $$
所以，我们之前得到的表达式是正确的，这个换元只是让我们看到内部积分的结构更清晰：
$$ frac{1}{n} left( frac{1}{2} ln(1+n^2) ight) = frac{ln(1+n^2)}{2n} $$
然后我们再计算这个表达式的极限，结果依然是 $0$。
整个过程的关键在于，虽然被积函数在 $n o infty$ 的过程中，对于固定的 $x>0$ 会趋近于 $0$，但它在 $x=0$ 附近有一个“尖峰”的形状，这个尖峰的“高度”会随着 $n$ 增大而减小，但它的“宽度”也在减小。正是因为“高度”减小的速度比“宽度”减小的速度要慢，才使得我们直接“目测”这个函数趋于 $0$ 变得不那么直接。但是，换元法或者仔细计算积分值，能够揭示出正确的答案。
希望这样的解释能够帮助你理解这个问题的处理过程！
我们来看这个极限：
$$ lim_{n o infty} int_0^1 frac{nx}{1+n^2x^2} dx $$
看到这个形式，我们第一反应可能是先算里面的积分，然后再考虑极限。不过，直接对这个积分进行不定积分可能有点棘手，因为 $n$ 还在里面，而且我们最终要看 $n o infty$ 的情况。
第一步：观察积分内部的被积函数
被积函数是 $f_n(x) = frac{nx}{1+n^2x^2}$。当 $n$ 很大时，这个函数会发生什么变化？
我们关注两个极端情况：
当 $x=0$ 时： $f_n(0) = frac{n cdot 0}{1+n^2 cdot 0^2} = frac{0}{1} = 0$。对于任何 $n$，被积函数在 $x=0$ 处都等于 $0$。
当 $x eq 0$ 时： 我们可以尝试对分子分母同除以 $n^2$（因为 $n o infty$，这是个有用的技巧）：
$$ f_n(x) = frac{nx}{1+n^2x^2} = frac{frac{nx}{n^2}}{frac{1+n^2x^2}{n^2}} = frac{frac{x}{n}}{frac{1}{n^2}+x^2} $$
现在，当 $n o infty$ 时：
分子 $frac{x}{n} o 0$ （因为 $x$ 是固定的，分母 $n$ 无限增大）。
分母 $frac{1}{n^2}+x^2 o 0 + x^2 = x^2$。
所以，当 $x eq 0$ 时，$f_n(x) o frac{0}{x^2} = 0$。
这意味着什么？ 这说明被积函数 $f_n(x)$ 在积分区间 $[0, 1]$ 上，除了 $x=0$ 这个点（但实际上，函数在 $x=0$ 处的值是 $0$），整体上当 $n o infty$ 时，都趋近于 $0$。
这给了我们一个初步的猜测：这个极限可能等于 $0$。
第二步：尝试直接计算积分
虽然我们看到了极限可能为 $0$，但为了严谨，我们最好能计算出这个积分的值。我们来尝试一下换元法。
考虑积分 $int frac{nx}{1+n^2x^2} dx$。
注意到 $1+n^2x^2$ 的导数是 $2n^2x$。我们的被积函数是 $nx$，好像差了一个常数因子。
我们可以做个换元：令 $u = 1+n^2x^2$。
那么 $du = 2n^2x , dx$。
我们希望凑出 $nx , dx$。从 $du$ 中我们可以得到 $nx , dx = frac{1}{2n} du$。
现在我们来处理积分的上下限。
当 $x=0$ 时，$u = 1+n^2(0)^2 = 1$。
当 $x=1$ 时，$u = 1+n^2(1)^2 = 1+n^2$。
所以，原积分可以写成：
$$ int_0^1 frac{nx}{1+n^2x^2} dx = int_1^{1+n^2} frac{1}{u} left(frac{1}{2n} du ight) $$
$$ = frac{1}{2n} int_1^{1+n^2} frac{1}{u} du $$
别忘了，我们一开始是把 $n$ 看作一个常数来做积分的。现在积分算完了，我们需要把这个 $n$ 再考虑进去求极限。
第三步：计算积分的值，然后求极限
根据上面的换元，我们得到的积分是：
$$ frac{1}{2n} int_1^{1+n^2} frac{1}{u} du = frac{1}{2n} [ln|u|]_1^{1+n^2} $$
$$ = frac{1}{2n} (ln(1+n^2) ln(1)) $$
$$ = frac{1}{2n} (ln(1+n^2) 0) $$
$$ = frac{ln(1+n^2)}{2n} $$
好了，现在我们得到了当给定 $n$ 时的积分值。最后一步，就是计算这个表达式在 $n o infty$ 时的极限了：
$$ lim_{n o infty} frac{ln(1+n^2)}{2n} $$
这是一个 $frac{infty}{infty}$ 型的不定式，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
对分子 $ln(1+n^2)$ 求导（对 $n$ 求导）：
导数是 $frac{1}{1+n^2} cdot (2n) = frac{2n}{1+n^2}$。
对分母 $2n$ 求导（对 $n$ 求导）：
导数是 $2$。
所以，根据洛必达法则：
$$ lim_{n o infty} frac{ln(1+n^2)}{2n} = lim_{n o infty} frac{frac{2n}{1+n^2}}{2} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{2n}{2(1+n^2)} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{n}{1+n^2} $$
现在这个极限我们应该很熟悉了。当 $n o infty$ 时，分子和分母都是无穷大，但分母的增长速度远快于分子。我们可以同除以 $n^2$：
$$ lim_{n o infty} frac{frac{n}{n^2}}{frac{1}{n^2}+frac{n^2}{n^2}} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n}}{frac{1}{n^2}+1} $$
当 $n o infty$ 时：
$frac{1}{n} o 0$
$frac{1}{n^2} o 0$
所以，极限是：
$$ frac{0}{0+1} = frac{0}{1} = 0 $$
总结一下整个过程：
1. 理解问题： 我们需要计算一个积分在参数 $n$ 趋于无穷时的极限。
2. 初步分析： 通过观察被积函数在 $n o infty$ 时的行为，我们猜测极限可能为 $0$。这是一种直觉性的判断，但不能作为最终答案。
3. 精确计算： 利用换元法（令 $u = 1+n^2x^2$）成功地计算出了不定积分，并代入积分上下限得到了关于 $n$ 的表达式：$frac{ln(1+n^2)}{2n}$。
4. 求解极限： 对计算出的表达式使用洛必达法则，将 $frac{infty}{infty}$ 型的不定式转化为更容易处理的形式，最终得到极限值为 $0$。
一个更“取巧”但同样有效的思路（用于验证）：
你可能还会想到另外一种处理方式，就是利用积分的“收敛性”或“控制收敛定理”（Dominated Convergence Theorem）的思想。虽然这里的被积函数不是典型的收敛到 $0$ 的，但我们可以这样做：
当 $n o infty$ 时，我们看到 $frac{nx}{1+n^2x^2}$ 表现得“像”一个在 $x=0$ 处是 $0$，其他地方也趋于 $0$ 的函数。
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现在我们来计算这个内部的积分：
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令 $u = 1+t^2$，则 $du = 2t , dt$，所以 $t , dt = frac{1}{2} du$。
当 $t=0$ 时，$u=1$。
当 $t=n$ 时，$u=1+n^2$。
$$ int_1^{1+n^2} frac{1}{u} frac{1}{2} du = frac{1}{2} [ln|u|]_1^{1+n^2} = frac{1}{2} (ln(1+n^2) ln(1)) = frac{1}{2} ln(1+n^2) $$
所以，我们之前得到的表达式是正确的，这个换元只是让我们看到内部积分的结构更清晰：
$$ frac{1}{n} left( frac{1}{2} ln(1+n^2) ight) = frac{ln(1+n^2)}{2n} $$
然后我们再计算这个表达式的极限，结果依然是 $0$。
整个过程的关键在于，虽然被积函数在 $n o infty$ 的过程中，对于固定的 $x>0$ 会趋近于 $0$，但它在 $x=0$ 附近有一个“尖峰”的形状，这个尖峰的“高度”会随着 $n$ 增大而减小，但它的“宽度”也在减小。正是因为“高度”减小的速度比“宽度”减小的速度要慢，才使得我们直接“目测”这个函数趋于 $0$ 变得不那么直接。但是，换元法或者仔细计算积分值，能够揭示出正确的答案。
希望这样的解释能够帮助你理解这个问题的处理过程！
网友意见
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