这两道的极限怎么求?
您好！很乐意为您详细解答这两道极限问题，并且尽量用自然、生动的语言来解释，让您感觉就像是和一位朋友在探讨数学一样。
在开始之前，我们先回顾一下极限的几个核心概念，这就像是给我们的“数学工具箱”上上膛一样：
趋近而非相等： 极限关注的是当自变量“无限接近”某个值时，函数值的“趋向”或“收敛”到的值，而不是函数在该点的值本身（甚至该点函数可能没有定义）。
无穷小与无穷大： 我们会遇到变量趋向于0（无穷小）或者趋向于无穷大（正无穷或负无穷）的情况。
不定式： 当我们直接代入数值发现出现 `0/0`、`∞/∞`、`∞ ∞`、`0 ∞`、`1^∞`、`0^0`、`∞^0` 这种“模棱两可”的形式时，就需要进一步处理了，因为它们不直接告诉我们极限是多少。
好了，工具准备就绪，我们来逐一攻克这两道题目吧！
题目一：求 $lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{3x}$
这道题是我们在学习极限时经常会遇到的一个经典例子。
第一步：初步观察与“诊断”
我们先尝试将 $x=0$ 代入函数表达式：
分子：$sin(2 imes 0) = sin(0) = 0$
分母：$3 imes 0 = 0$
哎呀！我们得到了一个 `0/0` 的不定式。这就像是医生检查病人，发现情况不明朗，需要进一步的检查和治疗了。直接代入得不到结果，说明我们需要运用一些技巧来“化解”这个不定式。
第二步：寻找“万能钥匙”——重要的极限公式
在处理涉及三角函数（特别是 $sin$）的极限时，有一个极其重要且常用的公式，它就像是解决这类问题的“万能钥匙”：
$$ lim_{ heta o 0} frac{sin( heta)}{ heta} = 1 $$
这个公式的意思是，当一个角度 $ heta$ 无限接近于0时，$sin( heta)$ 和 $ heta$ 本身的变化速度是相同的，它们的比值就会趋近于1。想象一下，当角度非常非常小的时候，$sin( heta)$ 的值几乎就等于那个角度本身（弧度制下）。
第三步：巧妙变形，套用公式
我们的目标是把 $frac{sin(2x)}{3x}$ 变成包含 $frac{sin( heta)}{ heta}$ 这种结构的形式。
观察一下，分子是 $sin(2x)$，这里面有个“2x”。而分母是 $3x$。为了套用那个公式，我们需要在分母上“制造”出一个与分子中 $sin$ 的参数（也就是 $2x$）完全相同的项。
我们怎么做呢？很简单，给分母“添油加醋”：
我们希望分母出现 $2x$，但现在只有 $3x$。
我们可以在分母上除以 $2x$，这样就有了 $frac{2x}{3x}$ 的样子。
但是，我们不能凭空改变原式的值。所以，当我们除以 $2x$ 的时候，必须同时乘以 $2x$，以保持平衡。
我们来看看具体的步骤：
1. 目标是 $frac{sin(2x)}{2x}$： 我们先把 $sin(2x)$ 和 $2x$ 配对。
$$ frac{sin(2x)}{3x} = frac{sin(2x)}{1} imes frac{1}{3x} $$
2. 引入 $2x$ 到分母： 为了套用公式 $lim_{ heta o 0} frac{sin( heta)}{ heta} = 1$，我们将分子中的 $2x$ 视为 $ heta$。那么，我们需要分母也是 $2x$。我们可以在分母上乘一个 $2$，同时除以一个 $2$ 来抵消，或者更直接地说，分子是 $sin(2x)$，它在“寻找”分母的 $2x$。而我们的分母只有 $3x$。
我们把 $frac{1}{3x}$ 改写一下：
$$ frac{1}{3x} = frac{1}{3} imes frac{1}{x} $$
现在我们有 $sin(2x)$ 和 $frac{1}{x}$。我们需要 $sin(2x)$ 和 $2x$ 配对。
$$ frac{sin(2x)}{3x} = frac{sin(2x)}{x} imes frac{1}{3} $$
我们想要 $frac{sin(2x)}{2x}$，所以我们可以在分子和分母上同时乘以 2（或者说，在分母上乘以2，同时为了不改变值，在分子上再乘以2）。
让我们换一种更清晰的思路：
我们将原式写成：
$$ frac{sin(2x)}{3x} = frac{1}{3} imes frac{sin(2x)}{x} $$
为了让 $frac{sin(2x)}{x}$ 变成 $frac{sin(2x)}{2x}$，我们需要分子和分母上都乘以 2。
$$ frac{1}{3} imes frac{sin(2x)}{x} = frac{1}{3} imes frac{2 sin(2x)}{2x} $$
现在，我们把那个 $2$ 放到前面，变成一个系数：
$$ frac{1}{3} imes 2 imes frac{sin(2x)}{2x} $$
也就是：
$$ frac{2}{3} imes frac{sin(2x)}{2x} $$
第四步：应用极限的性质进行计算
现在我们有了 $frac{2}{3} imes frac{sin(2x)}{2x}$ 这个形式。
当 $x o 0$ 时，我们有：
$frac{2}{3}$ 是一个常数，它的极限就是它本身。
$frac{sin(2x)}{2x}$ 是什么呢？让我们仔细看看。当 $x o 0$ 时，我们令 $ heta = 2x$。那么当 $x o 0$ 的时候，$ heta = 2x$ 也趋向于 $2 imes 0 = 0$。
所以，$lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{2x} = lim_{ heta o 0} frac{sin( heta)}{ heta}$。
根据我们前面提到的“万能钥匙”公式，这个极限值就是 $1$。
现在，我们把这些部分结合起来：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{3x} = lim_{x o 0} left( frac{2}{3} imes frac{sin(2x)}{2x} ight) $$
根据极限的乘法性质（常数可以提到极限符号外面），我们有：
$$ = frac{2}{3} imes lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{2x} $$
而 $lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{2x} = 1$。
所以，
$$ = frac{2}{3} imes 1 = frac{2}{3} $$
结论： 经过一番“变戏法”，我们成功地将 $frac{sin(2x)}{3x}$ 转化成了 $frac{2}{3} imes frac{sin(2x)}{2x}$ 的形式，并利用了重要的极限公式 $lim_{ heta o 0} frac{sin( heta)}{ heta} = 1$，最终得到极限值为 $frac{2}{3}$。
另一种思路：洛必达法则（如果学过的话）
如果你已经学过洛必达法则，这个问题会更直接。洛必达法则适用于 `0/0` 或 `∞/∞` 这类不定式。
洛必达法则： 如果 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型，那么 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$ （前提是右边的极限存在）。
1. 检查不定式： 我们已经知道 $lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{3x}$ 是 `0/0` 型。
2. 求导：
令 $f(x) = sin(2x)$，则 $f'(x) = cos(2x) imes 2 = 2cos(2x)$ （利用链式法则）。
令 $g(x) = 3x$，则 $g'(x) = 3$。
3. 代入洛必达法则公式：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{3x} = lim_{x o 0} frac{2cos(2x)}{3} $$
4. 再次代入极限值：
当 $x o 0$ 时，$cos(2x) o cos(0) = 1$。
所以，
$$ lim_{x o 0} frac{2cos(2x)}{3} = frac{2 imes 1}{3} = frac{2}{3} $$
两种方法殊途同归，都得到了 $frac{2}{3}$。对于初学者来说，掌握第一个方法（利用公式变形）会更有助于理解极限的本质。
题目二：求 $lim_{x o infty} frac{3x^2 + 5x 1}{2x^2 4x + 7}$
这道题是关于当自变量趋向无穷大时，函数会发生什么变化的典型例子。
第一步：初步观察与“诊断”
当 $x o infty$ 时，分子中的 $3x^2$ 会变得越来越大，远超 $5x$ 和 $1$。分母中的 $2x^2$ 也会变得越来越大，远超 $4x$ 和 $7$。
如果我们将 $x o infty$ 直接代入，会得到一个 `∞/∞` 的不定式。这就像是分子和分母都在往天上飞，而且飞得一样快，我们看不出谁“赢”了。所以，我们也需要技巧来处理。
第二步：寻找“主导项”并化简
当自变量趋向无穷大时，我们主要关注多项式中次数最高的那个项，因为它对整体数值的影响最大，也最“强势”。
在分子 $3x^2 + 5x 1$ 中，最高次项是 $3x^2$。
在分母 $2x^2 4x + 7$ 中，最高次项是 $2x^2$。
我们处理这类极限的通用策略是：将分子和分母同时除以分母的最高次项。 在这个例子中，分母的最高次项是 $x^2$（我们通常除以包含 $x$ 的最高次项，而不是系数）。
我们来执行这个操作：
$$ lim_{x o infty} frac{3x^2 + 5x 1}{2x^2 4x + 7} $$
我们将分子和分母的每一项都除以 $x^2$：
$$ = lim_{x o infty} frac{frac{3x^2}{x^2} + frac{5x}{x^2} frac{1}{x^2}}{frac{2x^2}{x^2} frac{4x}{x^2} + frac{7}{x^2}} $$
第三步：化简并利用无穷小量的性质
现在我们来逐项化简：
$frac{3x^2}{x^2} = 3$
$frac{5x}{x^2} = frac{5}{x}$
$frac{1}{x^2}$
$frac{2x^2}{x^2} = 2$
$frac{4x}{x^2} = frac{4}{x}$
$frac{7}{x^2}$
代入化简后的表达式：
$$ = lim_{x o infty} frac{3 + frac{5}{x} frac{1}{x^2}}{2 frac{4}{x} + frac{7}{x^2}} $$
接下来，我们要利用一个关键的性质：当 $x$ 趋向于无穷大时，任何常数除以 $x$（或 $x$ 的高次幂）的表达式，其极限都趋向于 0。
例如：
$lim_{x o infty} frac{5}{x} = 0$
$lim_{x o infty} frac{1}{x^2} = 0$
$lim_{x o infty} frac{4}{x} = 0$
$lim_{x o infty} frac{7}{x^2} = 0$
我们把这些极限值代入我们化简后的表达式：
$$ = frac{3 + 0 0}{2 0 + 0} $$
$$ = frac{3}{2} $$
结论： 通过将分子分母同时除以最高次项 $x^2$，我们将复杂的 `∞/∞` 不定式转化成了常数和趋向于零的项的组合。最终我们发现，当 $x$ 趋于无穷大时，这个有理函数的极限就是分子和分母的最高次项系数之比，即 $frac{3}{2}$。
另一种思路：洛必达法则（同样适用于此题）
对于 `∞/∞` 型的不定式，洛必达法则依然适用。
1. 检查不定式： 我们已经确定当 $x o infty$ 时，原式是 `∞/∞` 型。
2. 求导：
令 $f(x) = 3x^2 + 5x 1$，则 $f'(x) = 6x + 5$。
令 $g(x) = 2x^2 4x + 7$，则 $g'(x) = 4x 4$。
3. 代入洛必达法则公式：
$$ lim_{x o infty} frac{3x^2 + 5x 1}{2x^2 4x + 7} = lim_{x o infty} frac{6x + 5}{4x 4} $$
4. 再次检查不定式： 当 $x o infty$ 时，分子 $6x+5 o infty$，分母 $4x4 o infty$。我们仍然面临 `∞/∞` 的不定式，所以可以再次使用洛必达法则。
5. 再次求导：
令 $f_1(x) = 6x + 5$，则 $f_1'(x) = 6$。
令 $g_1(x) = 4x 4$，则 $g_1'(x) = 4$。
6. 代入洛必达法则公式：
$$ lim_{x o infty} frac{6x + 5}{4x 4} = lim_{x o infty} frac{6}{4} $$
7. 计算极限：
$$ lim_{x o infty} frac{6}{4} = frac{6}{4} = frac{3}{2} $$
可以看到，即使多次使用洛必达法则，结果也与第一种方法一致。不过对于有理函数在 $x o infty$ 的情况，通常第一种“除以最高次项”的方法更直接也更能体现极限的渐进行为。
希望这些详细的解释能帮助您理解这两道极限题的求解过程！在学习极限的过程中，多练习，多思考，体会各种不定式的处理技巧，您会越来越得心应手的。如果您还有其他问题，随时都可以再来交流！
在开始之前，我们先回顾一下极限的几个核心概念，这就像是给我们的“数学工具箱”上上膛一样：
趋近而非相等： 极限关注的是当自变量“无限接近”某个值时，函数值的“趋向”或“收敛”到的值，而不是函数在该点的值本身（甚至该点函数可能没有定义）。
无穷小与无穷大： 我们会遇到变量趋向于0（无穷小）或者趋向于无穷大（正无穷或负无穷）的情况。
不定式： 当我们直接代入数值发现出现 `0/0`、`∞/∞`、`∞ ∞`、`0 ∞`、`1^∞`、`0^0`、`∞^0` 这种“模棱两可”的形式时，就需要进一步处理了，因为它们不直接告诉我们极限是多少。
好了，工具准备就绪，我们来逐一攻克这两道题目吧！
题目一：求 $lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{3x}$
这道题是我们在学习极限时经常会遇到的一个经典例子。
第一步：初步观察与“诊断”
我们先尝试将 $x=0$ 代入函数表达式：
分子：$sin(2 imes 0) = sin(0) = 0$
分母：$3 imes 0 = 0$
哎呀！我们得到了一个 `0/0` 的不定式。这就像是医生检查病人，发现情况不明朗，需要进一步的检查和治疗了。直接代入得不到结果，说明我们需要运用一些技巧来“化解”这个不定式。
第二步：寻找“万能钥匙”——重要的极限公式
在处理涉及三角函数（特别是 $sin$）的极限时，有一个极其重要且常用的公式，它就像是解决这类问题的“万能钥匙”：
$$ lim_{ heta o 0} frac{sin( heta)}{ heta} = 1 $$
这个公式的意思是，当一个角度 $ heta$ 无限接近于0时，$sin( heta)$ 和 $ heta$ 本身的变化速度是相同的，它们的比值就会趋近于1。想象一下，当角度非常非常小的时候，$sin( heta)$ 的值几乎就等于那个角度本身（弧度制下）。
第三步：巧妙变形，套用公式
我们的目标是把 $frac{sin(2x)}{3x}$ 变成包含 $frac{sin( heta)}{ heta}$ 这种结构的形式。
观察一下，分子是 $sin(2x)$，这里面有个“2x”。而分母是 $3x$。为了套用那个公式，我们需要在分母上“制造”出一个与分子中 $sin$ 的参数（也就是 $2x$）完全相同的项。
我们怎么做呢？很简单，给分母“添油加醋”：
我们希望分母出现 $2x$，但现在只有 $3x$。
我们可以在分母上除以 $2x$，这样就有了 $frac{2x}{3x}$ 的样子。
但是，我们不能凭空改变原式的值。所以，当我们除以 $2x$ 的时候，必须同时乘以 $2x$，以保持平衡。
我们来看看具体的步骤：
1. 目标是 $frac{sin(2x)}{2x}$： 我们先把 $sin(2x)$ 和 $2x$ 配对。
$$ frac{sin(2x)}{3x} = frac{sin(2x)}{1} imes frac{1}{3x} $$
2. 引入 $2x$ 到分母： 为了套用公式 $lim_{ heta o 0} frac{sin( heta)}{ heta} = 1$，我们将分子中的 $2x$ 视为 $ heta$。那么，我们需要分母也是 $2x$。我们可以在分母上乘一个 $2$，同时除以一个 $2$ 来抵消，或者更直接地说，分子是 $sin(2x)$，它在“寻找”分母的 $2x$。而我们的分母只有 $3x$。
我们把 $frac{1}{3x}$ 改写一下：
$$ frac{1}{3x} = frac{1}{3} imes frac{1}{x} $$
现在我们有 $sin(2x)$ 和 $frac{1}{x}$。我们需要 $sin(2x)$ 和 $2x$ 配对。
$$ frac{sin(2x)}{3x} = frac{sin(2x)}{x} imes frac{1}{3} $$
我们想要 $frac{sin(2x)}{2x}$，所以我们可以在分子和分母上同时乘以 2（或者说，在分母上乘以2，同时为了不改变值，在分子上再乘以2）。
让我们换一种更清晰的思路：
我们将原式写成：
$$ frac{sin(2x)}{3x} = frac{1}{3} imes frac{sin(2x)}{x} $$
为了让 $frac{sin(2x)}{x}$ 变成 $frac{sin(2x)}{2x}$，我们需要分子和分母上都乘以 2。
$$ frac{1}{3} imes frac{sin(2x)}{x} = frac{1}{3} imes frac{2 sin(2x)}{2x} $$
现在，我们把那个 $2$ 放到前面，变成一个系数：
$$ frac{1}{3} imes 2 imes frac{sin(2x)}{2x} $$
也就是：
$$ frac{2}{3} imes frac{sin(2x)}{2x} $$
第四步：应用极限的性质进行计算
现在我们有了 $frac{2}{3} imes frac{sin(2x)}{2x}$ 这个形式。
当 $x o 0$ 时，我们有：
$frac{2}{3}$ 是一个常数，它的极限就是它本身。
$frac{sin(2x)}{2x}$ 是什么呢？让我们仔细看看。当 $x o 0$ 时，我们令 $ heta = 2x$。那么当 $x o 0$ 的时候，$ heta = 2x$ 也趋向于 $2 imes 0 = 0$。
所以，$lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{2x} = lim_{ heta o 0} frac{sin( heta)}{ heta}$。
根据我们前面提到的“万能钥匙”公式，这个极限值就是 $1$。
现在，我们把这些部分结合起来：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{3x} = lim_{x o 0} left( frac{2}{3} imes frac{sin(2x)}{2x} ight) $$
根据极限的乘法性质（常数可以提到极限符号外面），我们有：
$$ = frac{2}{3} imes lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{2x} $$
而 $lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{2x} = 1$。
所以，
$$ = frac{2}{3} imes 1 = frac{2}{3} $$
结论： 经过一番“变戏法”，我们成功地将 $frac{sin(2x)}{3x}$ 转化成了 $frac{2}{3} imes frac{sin(2x)}{2x}$ 的形式，并利用了重要的极限公式 $lim_{ heta o 0} frac{sin( heta)}{ heta} = 1$，最终得到极限值为 $frac{2}{3}$。
另一种思路：洛必达法则（如果学过的话）
如果你已经学过洛必达法则，这个问题会更直接。洛必达法则适用于 `0/0` 或 `∞/∞` 这类不定式。
洛必达法则： 如果 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型，那么 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$ （前提是右边的极限存在）。
1. 检查不定式： 我们已经知道 $lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{3x}$ 是 `0/0` 型。
2. 求导：
令 $f(x) = sin(2x)$，则 $f'(x) = cos(2x) imes 2 = 2cos(2x)$ （利用链式法则）。
令 $g(x) = 3x$，则 $g'(x) = 3$。
3. 代入洛必达法则公式：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{3x} = lim_{x o 0} frac{2cos(2x)}{3} $$
4. 再次代入极限值：
当 $x o 0$ 时，$cos(2x) o cos(0) = 1$。
所以，
$$ lim_{x o 0} frac{2cos(2x)}{3} = frac{2 imes 1}{3} = frac{2}{3} $$
两种方法殊途同归，都得到了 $frac{2}{3}$。对于初学者来说，掌握第一个方法（利用公式变形）会更有助于理解极限的本质。
题目二：求 $lim_{x o infty} frac{3x^2 + 5x 1}{2x^2 4x + 7}$
这道题是关于当自变量趋向无穷大时，函数会发生什么变化的典型例子。
第一步：初步观察与“诊断”
当 $x o infty$ 时，分子中的 $3x^2$ 会变得越来越大，远超 $5x$ 和 $1$。分母中的 $2x^2$ 也会变得越来越大，远超 $4x$ 和 $7$。
如果我们将 $x o infty$ 直接代入，会得到一个 `∞/∞` 的不定式。这就像是分子和分母都在往天上飞，而且飞得一样快，我们看不出谁“赢”了。所以，我们也需要技巧来处理。
第二步：寻找“主导项”并化简
当自变量趋向无穷大时，我们主要关注多项式中次数最高的那个项，因为它对整体数值的影响最大，也最“强势”。
在分子 $3x^2 + 5x 1$ 中，最高次项是 $3x^2$。
在分母 $2x^2 4x + 7$ 中，最高次项是 $2x^2$。
我们处理这类极限的通用策略是：将分子和分母同时除以分母的最高次项。 在这个例子中，分母的最高次项是 $x^2$（我们通常除以包含 $x$ 的最高次项，而不是系数）。
我们来执行这个操作：
$$ lim_{x o infty} frac{3x^2 + 5x 1}{2x^2 4x + 7} $$
我们将分子和分母的每一项都除以 $x^2$：
$$ = lim_{x o infty} frac{frac{3x^2}{x^2} + frac{5x}{x^2} frac{1}{x^2}}{frac{2x^2}{x^2} frac{4x}{x^2} + frac{7}{x^2}} $$
第三步：化简并利用无穷小量的性质
现在我们来逐项化简：
$frac{3x^2}{x^2} = 3$
$frac{5x}{x^2} = frac{5}{x}$
$frac{1}{x^2}$
$frac{2x^2}{x^2} = 2$
$frac{4x}{x^2} = frac{4}{x}$
$frac{7}{x^2}$
代入化简后的表达式：
$$ = lim_{x o infty} frac{3 + frac{5}{x} frac{1}{x^2}}{2 frac{4}{x} + frac{7}{x^2}} $$
接下来，我们要利用一个关键的性质：当 $x$ 趋向于无穷大时，任何常数除以 $x$（或 $x$ 的高次幂）的表达式，其极限都趋向于 0。
例如：
$lim_{x o infty} frac{5}{x} = 0$
$lim_{x o infty} frac{1}{x^2} = 0$
$lim_{x o infty} frac{4}{x} = 0$
$lim_{x o infty} frac{7}{x^2} = 0$
我们把这些极限值代入我们化简后的表达式：
$$ = frac{3 + 0 0}{2 0 + 0} $$
$$ = frac{3}{2} $$
结论： 通过将分子分母同时除以最高次项 $x^2$，我们将复杂的 `∞/∞` 不定式转化成了常数和趋向于零的项的组合。最终我们发现，当 $x$ 趋于无穷大时，这个有理函数的极限就是分子和分母的最高次项系数之比，即 $frac{3}{2}$。
另一种思路：洛必达法则（同样适用于此题）
对于 `∞/∞` 型的不定式，洛必达法则依然适用。
1. 检查不定式： 我们已经确定当 $x o infty$ 时，原式是 `∞/∞` 型。
2. 求导：
令 $f(x) = 3x^2 + 5x 1$，则 $f'(x) = 6x + 5$。
令 $g(x) = 2x^2 4x + 7$，则 $g'(x) = 4x 4$。
3. 代入洛必达法则公式：
$$ lim_{x o infty} frac{3x^2 + 5x 1}{2x^2 4x + 7} = lim_{x o infty} frac{6x + 5}{4x 4} $$
4. 再次检查不定式： 当 $x o infty$ 时，分子 $6x+5 o infty$，分母 $4x4 o infty$。我们仍然面临 `∞/∞` 的不定式，所以可以再次使用洛必达法则。
5. 再次求导：
令 $f_1(x) = 6x + 5$，则 $f_1'(x) = 6$。
令 $g_1(x) = 4x 4$，则 $g_1'(x) = 4$。
6. 代入洛必达法则公式：
$$ lim_{x o infty} frac{6x + 5}{4x 4} = lim_{x o infty} frac{6}{4} $$
7. 计算极限：
$$ lim_{x o infty} frac{6}{4} = frac{6}{4} = frac{3}{2} $$
可以看到，即使多次使用洛必达法则，结果也与第一种方法一致。不过对于有理函数在 $x o infty$ 的情况，通常第一种“除以最高次项”的方法更直接也更能体现极限的渐进行为。
希望这些详细的解释能帮助您理解这两道极限题的求解过程！在学习极限的过程中，多练习，多思考，体会各种不定式的处理技巧，您会越来越得心应手的。如果您还有其他问题，随时都可以再来交流！
网友意见
2.
3.
所以
这样递推下去, 可以得到
所以数列 单调递减且有下界, 所以极限 存在,
所以
解得
import stolz定理
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这两年的疫情对餐饮业、旅游业等服务性行业产生了极其深远且多维度的影响，可以说是一次前所未有的巨大冲击。这些行业高度依赖人员聚集、流动和消费意愿，因此在疫情的防控措施下，几乎是首当其冲，承受了最直接、最严重的打击。下面我将从不同角度，详细阐述疫情对餐饮业和旅游业的影响：一、 对餐饮业的影响：疫情对餐饮.............
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万达的“瘦身”与王健林的“沉浮”：大马城项目留下的长长尾巴近两年，中国地产巨头万达集团及其掌舵人王健林，无疑经历了一场剧烈的“瘦身”与“沉浮”。从曾经的“宇宙中心”到如今的“轻资产”转型，从高歌猛进到步履维艰，这些变化并非空穴来风，而与一个在海外的重大项目——马来西亚吉隆坡（KL）城（大马城）项目—.............
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近期央行两次非对称降息，确实是当前经济形势下一个非常值得深入探讨的举措。所谓“非对称降息”，最直观的理解就是不同类型的存款或者不同期限的存款，其利率下调的幅度并不一致，甚至有些存款利率纹丝不动。这种做法背后，是央行在当前错综复杂的经济环境下，试图在稳增长、防风险、促投资、稳汇率等多个目标之间寻求一种.............
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如何评价逍遥子张勇接任阿里巴巴这两年的“成绩”？张勇（逍遥子）于2019年9月10日接任阿里巴巴集团董事局主席兼首席执行官，至今已满两年。在这两年里，阿里巴巴经历了前所未有的挑战与变革，也取得了一些关键性的成就。评价他的“成绩”需要从多个维度进行审视，既要看到其在宏观战略上的延续和深化，也要关注其在.............
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哎呀，说起郑州这两年的发展，我这郑州本地人，心里那感受可真是五味杂陈，但总的来说，进步还是挺明显的，尤其是感受最深的几个方面，我跟你好好掰扯掰扯。首先，交通便利性那是蹭蹭往上涨。 以前吧，我们郑州，说实话，堵车是常态，尤其是在高峰期，那真是寸步难行。但这两年，你明显能感觉到，路网在不断完善。比如，郑.............
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舞大和各位朋友们，你们好！我最近投稿的这两章稿子，收到的拒签理由实在是让人头疼，感觉越改越迷糊了，实在是有点扛不住了。恳请大家帮我仔细看看，给点意见，我真的是被拒签搞麻了！请大家尽量详细地指出问题出在哪里，并且帮我把那些一看就是 AI 自动生成的痕迹都擦掉，让我的文字读起来更自然、更有人情味。下面是.............
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这背后涉及的票价差异和补票规则，可以从几个层面来理解，这并非简单的“30%溢价”，而是由铁路运输的定价机制、运营成本以及市场需求等多重因素共同作用的结果。1. 为什么广州北到广州南的票价与“跨局车次终到”的票价差会大幅溢价？首先，我们需要明确“跨局车次终到”这两站的票价差是指什么。在铁路系统中，两地.............
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好的，咱们来聊聊“完全信息博弈”和“完美信息博弈”这两个概念，以及它们之间有什么不一样。别担心，我会尽量讲得明白点，像老朋友聊天一样，让你一听就懂。 首先，什么是“博弈”？在咱们的日常生活中，很多人都玩过一些“博弈”性质的游戏，比如下棋、打牌，甚至是和别人谈生意、做决定。其实，“博弈”这个词在学术上.............
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这绝对是一个球迷津津乐道的话题，科比的“曼巴精神”遇上詹姆斯的“统治力”，想想都让人热血沸腾。不过，真要让这两位超级巨星在各自生涯的不同阶段互换球队，去争夺那两年的总冠军，这其中的变数可就大了去了，绝不是简单地把人换过来就能保证冠军的。咱们得掰开了揉碎了好好聊聊。先说说2010年的湖人队，如果换上2.............
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您好！关于您提到的“詹姆斯GIF图”，为了给您提供最准确的信息，我需要您提供具体的GIF图。因为网络上关于勒布朗·詹姆斯的GIF动图数量庞大，内容也非常丰富，有比赛中的精彩瞬间，也有一些娱乐性的或者被二次创作的。不过，我可以先跟您泛泛地聊聊，如何去判断一张GIF图的真伪，尤其是在涉及像詹姆斯这样的公.............
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