什么是完全信息博弈和完美信息博弈，有什么例子可以理解这两个的区别？
好的，咱们来聊聊“完全信息博弈”和“完美信息博弈”这两个概念，以及它们之间有什么不一样。别担心，我会尽量讲得明白点，像老朋友聊天一样，让你一听就懂。
首先，什么是“博弈”？
在咱们的日常生活中，很多人都玩过一些“博弈”性质的游戏，比如下棋、打牌，甚至是和别人谈生意、做决定。其实，“博弈”这个词在学术上有一个更精确的定义：
博弈（Game Theory） 是研究参与者之间如何进行决策，以及这些决策如何相互影响，最终导致某种结果的学科。这里的“参与者”可以是个人、公司、国家，甚至动物。关键在于，他们都在一个相互依赖的环境中做出选择，并且都希望自己的选择能带来最好的结果。
现在，咱们来区分“完全信息博弈”和“完美信息博弈”
这两者听起来有点像，但实际含义差得可大了。咱们一个一个来解释。
1. 完全信息博弈 (Complete Information Game)
核心意思： 参与者彼此之间知道对方所有与博弈相关的“信息”。
这里的“信息”包括什么呢？
参与者是谁： 知道有哪些人在玩这个游戏。
每个参与者的行动选项： 知道每个人在每个阶段可以选择哪些行为。
每个参与者的收益函数（Payoff Function）： 这是最关键的！知道在任何一种可能的结果下，每个参与者能得到多少“好处”或“坏处”。你可以理解为“我选择了A，你选择了B，那么我能得到多少分，你能得到多少分”。
博弈的规则： 知道游戏是怎么进行的，什么时候结束，怎么计算结果。
反过来说，在完全信息博弈中，参与者不知道什么？
不知道对方“当下”或“未来”会怎么选择。 这才是他们需要通过策略来预测和应对的。
不知道对方的“想法”或“意图”。 尽管知道对方的收益结构，但不知道他们内心是怎么盘算的。
举个例子来理解：
想象一下，咱们俩在玩一个 “猜数字” 的游戏。
规则： 我心里想一个1到10之间的整数。你来猜。
我的信息： 我知道我想的是哪个数字，我知道你想猜一个1到10之间的整数，我知道猜对你给我10块钱，猜错你给我0块钱。
你的信息： 你知道我心里想一个1到10之间的整数，你知道你可以选择猜哪个数字（1到10），你知道猜对了你能从我这儿赢10块钱，猜错了你能从我这儿赢0块钱。
为什么这是完全信息博弈？
因为你完全知道我的所有“信息”，并且我也完全知道你的所有“信息”，这些信息都是事先确定好的，大家都一清二楚：
我们都知道游戏就是“猜数字”。
都知道数字范围是1到10。
都知道猜对的“报酬”是什么。
关键点： 在这个博弈里，你不知道我心里具体想的是哪个数字，这就是你不确定、需要去猜测的部分。你可能会想：“他可能猜1，可能猜5，可能猜10……” 然后根据我的反应（如果这是一轮一轮的），或者直接做出你的最佳选择。
另一个例子：
石头剪刀布
大家知道规则：石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头。
大家知道获胜的收益（比如赢一局得1分）。
大家都知道自己可以出石头、剪刀、布。
你不知道我下一把会出什么，我也不会知道你下一把会出什么。但我们都知道这三个选项，都知道胜负的判定，都知道得分。所以，这属于完全信息博弈。
2. 完美信息博弈 (Perfect Information Game)
核心意思： 参与者在任何时候都能知道过去所有已经发生过的行动。
这比“完全信息”的要求要高得多。在完美信息博弈中：
没有“隐藏”的行动： 游戏中的每一个行动，每一个选择，都是公开的、可见的，并且玩家能够回忆起来。
没有“同时”进行但又无法预知的行动： 如果有行动是同时发生的，那通常也会被处理成某种形式的“已知”。
玩家能够知道所有“信息”的来源，并且这些信息是完整的。
反过来说，在完美信息博弈中，参与者不知道什么？
不知道对方“未来”会怎么选择。 这是和完全信息博弈的相似之处。
不知道对方“当下”的“隐藏”行动。 因为根本就没有隐藏行动。
举个例子来理解：
想象一下，咱们在玩 国际象棋（Chess）。
规则： 大家都知道国际象棋的走法、目标（将死对方的王）。
棋盘状态： 在任何一个时刻，棋盘上所有棋子的位置，所有玩家都可以清楚地看到。
过去行动： 轮到谁走棋，过去双方走了多少步，吃了多少子，这些信息都是公开的，并且可以追溯。
为什么这是完美信息博弈？
因为在国际象棋的整个过程中，没有隐藏的棋子，没有隐藏的走法，也没有同时发生的、你不知道我走了什么的行动。 轮到你走棋时，你知道棋盘上所有棋子的位置，你知道所有过去的走法。你唯一不知道的，就是我下一手会怎么走。
更直观的区别：
完全信息博弈（石头剪刀布）： 我不知道你下一把会出什么，但我们都知道“石头、剪刀、布”这三个选项，以及胜负规则。
完美信息博弈（国际象棋）： 我不知道你下一把会走哪个子，怎么走，但我们都清楚棋盘上所有棋子的位置，以及所有过往的每一步棋。
再来对比一下：
扑克牌（Poker，尤其是德州扑克）： 这是一个 不完全信息 的博弈，因为你不知道别人手里有多少牌（底牌），不知道他们在想什么。即使是公开的牌面，你也无法确定别人的手牌组合。
桥牌（Bridge）： 桥牌的叫牌阶段是不完全信息，因为你不知道搭档的牌。但在打牌阶段，虽然有明牌（头家牌），但对家和你的牌仍是隐藏的，所以也算是不完全信息。
围棋（Go）： 和国际象棋一样，围棋是 完美信息 的博弈。棋盘上的所有棋子位置都是公开的，你知道所有过去的落子。你不知道对手下一手会落在哪。
总结一下关键区别
| 特征 | 完全信息博弈 (Complete Information) | 完美信息博弈 (Perfect Information) |
| : | : | : |
| 核心 | 玩家知道对手的“收益结构”和“行动选项”，以及博弈规则。 | 玩家知道过去所有已发生的行动，以及当前所有可见的信息。 |
| 已知什么？ | 谁是参与者，他们的行动选项，他们的收益如何计算，博弈规则。 | 历史上的所有行动，所有参与者对当前局势的完全可见（无隐藏状态）。 |
| 未知什么？ | 对方下一步会选择什么行动。 | 对方下一步会选择什么行动。 |
| 是否有隐藏？ | 可能存在隐藏信息（比如，对方手里有什么牌，但你知道他如何出牌）。 | 没有隐藏的行动或状态。所有信息都是公开且可见的。 |
| 例子 | 石头剪刀布、囚徒困境（如果知道收益矩阵）、多数人同意的竞价。 | 国际象棋、围棋、跳棋、三子棋。 |
一个重要的补充：
很多时候，咱们讨论的博弈，实际上是不完全信息博弈（比如 Poker），或者不完美信息博弈（比如一些即时战略游戏，其中“战争迷雾”就是不完美信息）。
不完全信息（Incomplete Information）： 我不知道你是谁，或者我不知道你的收益函数是什么。
不完美信息（Imperfect Information）： 我不知道过去发生的所有事情。
在完全信息博弈的框架下，我们知道对方是谁、他们的收益是什么。在完美信息博弈的框架下，我们甚至知道历史上的每一步。
所以，你可以这样理解：
完美信息 是 完全信息 的一个更严格的版本。
如果一个博弈是完美信息博弈，那么它一定是完全信息博弈（因为完美信息意味着你知道所有过去的信息，也自然知道对方的收益结构等）。
但反过来，完全信息博弈不一定是完美信息博弈（比如石头剪刀布，我们知道对方是出石头、剪刀、布，知道规则，但我们不知道对方下一把会出什么，这部分是信息的“动态”不确定性，与“隐藏”是不同的）。
希望这样解释，能让你对这两个概念的区分有一个更清晰的认识！就像玩游戏，搞懂规则是最重要的第一步嘛。
首先，什么是“博弈”？
在咱们的日常生活中，很多人都玩过一些“博弈”性质的游戏，比如下棋、打牌，甚至是和别人谈生意、做决定。其实，“博弈”这个词在学术上有一个更精确的定义：
博弈（Game Theory） 是研究参与者之间如何进行决策，以及这些决策如何相互影响，最终导致某种结果的学科。这里的“参与者”可以是个人、公司、国家，甚至动物。关键在于，他们都在一个相互依赖的环境中做出选择，并且都希望自己的选择能带来最好的结果。
现在，咱们来区分“完全信息博弈”和“完美信息博弈”
这两者听起来有点像，但实际含义差得可大了。咱们一个一个来解释。
1. 完全信息博弈 (Complete Information Game)
核心意思： 参与者彼此之间知道对方所有与博弈相关的“信息”。
这里的“信息”包括什么呢？
参与者是谁： 知道有哪些人在玩这个游戏。
每个参与者的行动选项： 知道每个人在每个阶段可以选择哪些行为。
每个参与者的收益函数（Payoff Function）： 这是最关键的！知道在任何一种可能的结果下，每个参与者能得到多少“好处”或“坏处”。你可以理解为“我选择了A，你选择了B，那么我能得到多少分，你能得到多少分”。
博弈的规则： 知道游戏是怎么进行的，什么时候结束，怎么计算结果。
反过来说，在完全信息博弈中，参与者不知道什么？
不知道对方“当下”或“未来”会怎么选择。 这才是他们需要通过策略来预测和应对的。
不知道对方的“想法”或“意图”。 尽管知道对方的收益结构，但不知道他们内心是怎么盘算的。
举个例子来理解：
想象一下，咱们俩在玩一个 “猜数字” 的游戏。
规则： 我心里想一个1到10之间的整数。你来猜。
我的信息： 我知道我想的是哪个数字，我知道你想猜一个1到10之间的整数，我知道猜对你给我10块钱，猜错你给我0块钱。
你的信息： 你知道我心里想一个1到10之间的整数，你知道你可以选择猜哪个数字（1到10），你知道猜对了你能从我这儿赢10块钱，猜错了你能从我这儿赢0块钱。
为什么这是完全信息博弈？
因为你完全知道我的所有“信息”，并且我也完全知道你的所有“信息”，这些信息都是事先确定好的，大家都一清二楚：
我们都知道游戏就是“猜数字”。
都知道数字范围是1到10。
都知道猜对的“报酬”是什么。
关键点： 在这个博弈里，你不知道我心里具体想的是哪个数字，这就是你不确定、需要去猜测的部分。你可能会想：“他可能猜1，可能猜5，可能猜10……” 然后根据我的反应（如果这是一轮一轮的），或者直接做出你的最佳选择。
另一个例子：
石头剪刀布
大家知道规则：石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头。
大家知道获胜的收益（比如赢一局得1分）。
大家都知道自己可以出石头、剪刀、布。
你不知道我下一把会出什么，我也不会知道你下一把会出什么。但我们都知道这三个选项，都知道胜负的判定，都知道得分。所以，这属于完全信息博弈。
2. 完美信息博弈 (Perfect Information Game)
核心意思： 参与者在任何时候都能知道过去所有已经发生过的行动。
这比“完全信息”的要求要高得多。在完美信息博弈中：
没有“隐藏”的行动： 游戏中的每一个行动，每一个选择，都是公开的、可见的，并且玩家能够回忆起来。
没有“同时”进行但又无法预知的行动： 如果有行动是同时发生的，那通常也会被处理成某种形式的“已知”。
玩家能够知道所有“信息”的来源，并且这些信息是完整的。
反过来说，在完美信息博弈中，参与者不知道什么？
不知道对方“未来”会怎么选择。 这是和完全信息博弈的相似之处。
不知道对方“当下”的“隐藏”行动。 因为根本就没有隐藏行动。
举个例子来理解：
想象一下，咱们在玩 国际象棋（Chess）。
规则： 大家都知道国际象棋的走法、目标（将死对方的王）。
棋盘状态： 在任何一个时刻，棋盘上所有棋子的位置，所有玩家都可以清楚地看到。
过去行动： 轮到谁走棋，过去双方走了多少步，吃了多少子，这些信息都是公开的，并且可以追溯。
为什么这是完美信息博弈？
因为在国际象棋的整个过程中，没有隐藏的棋子，没有隐藏的走法，也没有同时发生的、你不知道我走了什么的行动。 轮到你走棋时，你知道棋盘上所有棋子的位置，你知道所有过去的走法。你唯一不知道的，就是我下一手会怎么走。
更直观的区别：
完全信息博弈（石头剪刀布）： 我不知道你下一把会出什么，但我们都知道“石头、剪刀、布”这三个选项，以及胜负规则。
完美信息博弈（国际象棋）： 我不知道你下一把会走哪个子，怎么走，但我们都清楚棋盘上所有棋子的位置，以及所有过往的每一步棋。
再来对比一下：
扑克牌（Poker，尤其是德州扑克）： 这是一个 不完全信息 的博弈，因为你不知道别人手里有多少牌（底牌），不知道他们在想什么。即使是公开的牌面，你也无法确定别人的手牌组合。
桥牌（Bridge）： 桥牌的叫牌阶段是不完全信息，因为你不知道搭档的牌。但在打牌阶段，虽然有明牌（头家牌），但对家和你的牌仍是隐藏的，所以也算是不完全信息。
围棋（Go）： 和国际象棋一样，围棋是 完美信息 的博弈。棋盘上的所有棋子位置都是公开的，你知道所有过去的落子。你不知道对手下一手会落在哪。
总结一下关键区别
| 特征 | 完全信息博弈 (Complete Information) | 完美信息博弈 (Perfect Information) |
| : | : | : |
| 核心 | 玩家知道对手的“收益结构”和“行动选项”，以及博弈规则。 | 玩家知道过去所有已发生的行动，以及当前所有可见的信息。 |
| 已知什么？ | 谁是参与者，他们的行动选项，他们的收益如何计算，博弈规则。 | 历史上的所有行动，所有参与者对当前局势的完全可见（无隐藏状态）。 |
| 未知什么？ | 对方下一步会选择什么行动。 | 对方下一步会选择什么行动。 |
| 是否有隐藏？ | 可能存在隐藏信息（比如，对方手里有什么牌，但你知道他如何出牌）。 | 没有隐藏的行动或状态。所有信息都是公开且可见的。 |
| 例子 | 石头剪刀布、囚徒困境（如果知道收益矩阵）、多数人同意的竞价。 | 国际象棋、围棋、跳棋、三子棋。 |
一个重要的补充：
很多时候，咱们讨论的博弈，实际上是不完全信息博弈（比如 Poker），或者不完美信息博弈（比如一些即时战略游戏，其中“战争迷雾”就是不完美信息）。
不完全信息（Incomplete Information）： 我不知道你是谁，或者我不知道你的收益函数是什么。
不完美信息（Imperfect Information）： 我不知道过去发生的所有事情。
在完全信息博弈的框架下，我们知道对方是谁、他们的收益是什么。在完美信息博弈的框架下，我们甚至知道历史上的每一步。
所以，你可以这样理解：
完美信息 是 完全信息 的一个更严格的版本。
如果一个博弈是完美信息博弈，那么它一定是完全信息博弈（因为完美信息意味着你知道所有过去的信息，也自然知道对方的收益结构等）。
但反过来，完全信息博弈不一定是完美信息博弈（比如石头剪刀布，我们知道对方是出石头、剪刀、布，知道规则，但我们不知道对方下一把会出什么，这部分是信息的“动态”不确定性，与“隐藏”是不同的）。
希望这样解释，能让你对这两个概念的区分有一个更清晰的认识！就像玩游戏，搞懂规则是最重要的第一步嘛。
网友意见
这个问题有意思。实际使用中，很多人，包括经济学大家上课或者做seminar的时候都经常混用，但是真要纠结定义，完全信息和完美信息确实有不同。但是这个不同，不同的人给的定义似乎都不全然一样，我就把我所认可的一个版本分享一下。
完全信息，是指博弈中所有人的共同知识是整个博弈的支付矩阵，知道整个博弈的结构，但是你并不知道你的对手的行为，也可能存在一些随机的事件，你知道概率，但是你无法精确把握。其实就知道大框架，但是可能不知道或者不全知道每个博弈者具体的细节。不完全信息意味着有一些博弈的分支博弈者压根没有意识到。
完美信息则本身就包含了一个序贯的概念。它假设所有博弈者都知道其他博弈者的所有行为历史。所以同期行动的一定是不完美信息。但是完美信息不保证你知道其他博弈者的支付矩阵和博弈的结构以及步骤。也就是对游戏中的其他博弈者的细节你可能了如指掌，但是可能不知道游戏本身的框架和游戏的目的。基本上所有的序贯贝叶斯均衡都是不完美信息下的博弈。
非完美但是完全信息的博弈很普遍，比如每个人发一张牌比大小，赢了给10元，输了掏10元，如果有一方选择不比，那么就掏5元给对方。如果双方都不比，那么谁都不损失。扑克牌牌堆的构造你知道，博弈的目标你也知道，但是因为牌是随机发放的，你并不知道对方手里是什么牌。假定所有人的风险偏好都是中立的，那么这个博弈就是非完美但是完全信息博弈。平常说的囚徒困境，也是非完美但是完全信息博弈。
不完全但是完美信息博弈... 据说文明系列游戏有个秘密成就模式，就是每个玩家都有一个胜利达成目标，但是每个人不知道其他人的胜利目标，但是所有玩家可以观测到其他人的一举一动（假如游戏是序贯的，也就是一个人行动之后，另外一个人再行动）。这就是非完全但是完美信息博弈。也就是能观测到所有博弈中的细节，但是可能不知道，或者说没有意识到博弈的大框架。
对不完全信息博弈进行模型化非常困难，因为你如何去模型化一个没有被意识到的东西呢？包括哈特搞的产权剩余索取权那一套，其实都是把非完全信息转化成一个完全而非完美的信息博弈来做。技巧就是假定存在一个“共同信念”，也就是说虽然我不知道具体的游戏目标或者框架，但是我们所有的博弈者可以对这些未知有一个共同的『信念』，这个信念描述了每个游戏目标出现的概率等等一系列的关于整个博弈框架和个体的目标。于是就可以正常应用贝叶斯那一套工具来解问题了。
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