这两道积分题有什么好的解决办法吗？
你好！很高兴能和你一起探讨这两道积分题目。相信你之所以会问这个问题，是因为这两道题可能确实不像平常我们做的那些直接套公式就能搞定的题目。它们可能需要一些巧思和技巧。
咱们就一步一步来，把思路理清楚，这样即便以后遇到类似的题目，也能举一反三。
题目一：求解定积分 $int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x + cos x} dx$
看到这个积分，首先会想到什么？一个分数形式，分子和分母都是三角函数。直接用换元法或者分部积分法，感觉都不是特别顺畅。尤其是 $sin x + cos x$ 这个组合，有点棘手。
我们来试试“对称性”的思路。
很多定积分，特别是当积分区间是对称或者有特殊性质时（比如 $[0, a]$ 这种），都可以考虑利用积分的某些性质。
对于区间 $[0, frac{pi}{2}]$，我们知道一个很重要的性质：$int_{0}^{a} f(x) dx = int_{0}^{a} f(ax) dx$。
这个性质的意思是，如果我们将积分变量 $x$ 替换成 $ax$，积分的值是不变的。这就像是在图形上“翻转”了一下。
让我们把这个性质用在我们的题目上：
设 $I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x + cos x} dx$
令 $x = frac{pi}{2} u$。
那么，$dx = du$。
当 $x=0$ 时，$u = frac{pi}{2}$。
当 $x=frac{pi}{2}$ 时，$u = 0$。
将这些代入 $I$，我们得到：
$I = int_{frac{pi}{2}}^{0} frac{sin(frac{pi}{2} u)}{sin(frac{pi}{2} u) + cos(frac{pi}{2} u)} (du)$
利用三角函数恒等式：
$sin(frac{pi}{2} u) = cos u$
$cos(frac{pi}{2} u) = sin u$
所以，积分变成：
$I = int_{frac{pi}{2}}^{0} frac{cos u}{cos u + sin u} (du)$
利用积分的性质 $int_{a}^{b} f(x) dx = int_{b}^{a} f(x) dx$，我们可以把积分的上下限交换一下，同时去掉前面的负号：
$I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos u}{sin u + cos u} du$
注意，这里我们已经把积分变量从 $x$ 换成了 $u$。积分变量的名字并不影响积分的值，所以我们也可以把它写回 $x$：
$I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos x}{sin x + cos x} dx$
现在我们有了两个关于 $I$ 的等式：
1. $I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x + cos x} dx$
2. $I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos x}{sin x + cos x} dx$
关键的步骤来了：将这两个等式相加！
$I + I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x + cos x} dx + int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos x}{sin x + cos x} dx$
因为积分区间相同，我们可以把两个被积函数合并到同一个积分里：
$2I = int_{0}^{frac{pi}{2}} left( frac{sin x}{sin x + cos x} + frac{cos x}{sin x + cos x} ight) dx$
合并被积函数：
$2I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x + cos x}{sin x + cos x} dx$
看！分母和分子正好相等！
所以，被积函数就是 1。
$2I = int_{0}^{frac{pi}{2}} 1 , dx$
这个积分就非常简单了：
$2I = [x]_{0}^{frac{pi}{2}}$
$2I = frac{pi}{2} 0$
$2I = frac{pi}{2}$
最后，解出 $I$：
$I = frac{pi}{4}$
总结一下这道题的解法思路：
发现积分的被积函数在 $sin x$ 和 $cos x$ 之间有一种“互换”的结构。
利用定积分的性质 $int_{0}^{a} f(x) dx = int_{0}^{a} f(ax) dx$，将 $x$ 替换为 $(frac{pi}{2} x)$。
通过三角函数恒等式，发现新的积分的被积函数正好是将原积分中的 $sin x$ 和 $cos x$ 互换了位置。
将原积分和变换后的积分相加，发现被积函数恰好约分成了常数 1，从而使积分变得容易计算。
这种利用对称性、变量替换后相加的技巧，在处理涉及 $sin x$ 和 $cos x$ 的定积分时非常常见，是解这类题目的一大利器。
题目二：求解定积分 $int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{ an x}}{sqrt{ an x} + sqrt{cot x}} dx$
这道题和第一道题有异曲同工之妙，只不过把 $sin x$ 和 $cos x$ 换成了 $ an x$ 和 $cot x$。我们仍然可以尝试用类似的思路来解决。
首先，我们知道 $cot x = frac{1}{ an x}$。把这个关系代入被积函数，可以把问题转化成只包含 $ an x$ 的形式。
设 $J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{ an x}}{sqrt{ an x} + sqrt{cot x}} dx$
我们将被积函数中的 $sqrt{cot x}$ 替换成 $frac{1}{sqrt{ an x}}$：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{ an x}}{sqrt{ an x} + frac{1}{sqrt{ an x}}} dx$
现在来处理分母的部分：
$sqrt{ an x} + frac{1}{sqrt{ an x}} = frac{(sqrt{ an x})^2 + 1}{sqrt{ an x}} = frac{ an x + 1}{sqrt{ an x}}$
代回到积分中：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{ an x}}{frac{ an x + 1}{sqrt{ an x}}} dx$
当一个分数除以另一个分数时，相当于乘以其倒数：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} sqrt{ an x} cdot frac{sqrt{ an x}}{ an x + 1} dx$
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{(sqrt{ an x})^2}{ an x + 1} dx$
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{ an x}{ an x + 1} dx$
好了，现在我们得到了一个更“干净”的积分形式。但直接对 $frac{ an x}{ an x + 1}$ 求不定积分，还是有点麻烦，可能需要用到换元法把 $ an x$ 变成别的变量，或者进行代数变形。
关键时刻，我们再次考虑第一道题使用的那个“对称性”技巧。
积分区间是 $[0, frac{pi}{2}]$。
我们知道 $ an(frac{pi}{2} x) = cot x = frac{1}{ an x}$。
让我们对这个新的积分形式 $J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{ an x}{ an x + 1} dx$ 应用这个性质。
令 $x = frac{pi}{2} u$。
$dx = du$。
上下限变化同上。
$J = int_{frac{pi}{2}}^{0} frac{ an(frac{pi}{2} u)}{ an(frac{pi}{2} u) + 1} (du)$
$J = int_{frac{pi}{2}}^{0} frac{cot u}{cot u + 1} (du)$
再次交换积分上下限并去掉负号：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cot u}{cot u + 1} du$
把积分变量 $u$ 写回 $x$：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cot x}{cot x + 1} dx$
现在我们有了两个关于 $J$ 的等式：
1. $J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{ an x}{ an x + 1} dx$
2. $J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cot x}{cot x + 1} dx$
将这两个等式相加：
$J + J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{ an x}{ an x + 1} dx + int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cot x}{cot x + 1} dx$
$2J = int_{0}^{frac{pi}{2}} left( frac{ an x}{ an x + 1} + frac{cot x}{cot x + 1} ight) dx$
处理被积函数相加的部分：
$frac{ an x}{ an x + 1} + frac{cot x}{cot x + 1}$
为了方便相加，我们可以把 $cot x$ 用 $frac{1}{ an x}$ 替换：
$= frac{ an x}{ an x + 1} + frac{frac{1}{ an x}}{frac{1}{ an x} + 1}$
$= frac{ an x}{ an x + 1} + frac{frac{1}{ an x}}{frac{1 + an x}{ an x}}$
$= frac{ an x}{ an x + 1} + frac{1}{ an x} cdot frac{ an x}{1 + an x}$
$= frac{ an x}{ an x + 1} + frac{1}{1 + an x}$
$= frac{ an x + 1}{ an x + 1}$
$= 1$
太棒了！又一次被积函数变成了常数 1。
所以，
$2J = int_{0}^{frac{pi}{2}} 1 , dx$
$2J = [x]_{0}^{frac{pi}{2}}$
$2J = frac{pi}{2} 0$
$2J = frac{pi}{2}$
最后，解出 $J$：
$J = frac{pi}{4}$
总结一下这道题的解法思路：
首先，利用三角函数之间的关系（$cot x = 1/ an x$）将含有 $ an x$ 和 $cot x$ 的复杂被积函数化简。
化简后得到 $frac{ an x}{ an x + 1}$ 形式。
然后，同样运用定积分的对称性性质：令 $x = (frac{pi}{2} x)$，将积分变换。
利用 $ an(frac{pi}{2} x) = cot x$ 和 $cot(frac{pi}{2} x) = an x$，得到一个新的积分形式。
将原始积分和变换后的积分相加，发现被积函数恰好可以化简为常数 1。
计算这个简单的积分即可得到最终结果。
这两道题的设计非常巧妙，它们都依赖于利用积分区间和被积函数本身的特点，通过变量替换和函数性质的结合，将复杂的积分简化为容易计算的常数积分。掌握了这种“凑巧”的思路，解决这类问题就会得心应手。
希望这样的讲解对你有所帮助！如果你还有其他问题或者想进一步探讨，随时都可以提出来。
咱们就一步一步来，把思路理清楚，这样即便以后遇到类似的题目，也能举一反三。
题目一：求解定积分 $int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x + cos x} dx$
看到这个积分，首先会想到什么？一个分数形式，分子和分母都是三角函数。直接用换元法或者分部积分法，感觉都不是特别顺畅。尤其是 $sin x + cos x$ 这个组合，有点棘手。
我们来试试“对称性”的思路。
很多定积分，特别是当积分区间是对称或者有特殊性质时（比如 $[0, a]$ 这种），都可以考虑利用积分的某些性质。
对于区间 $[0, frac{pi}{2}]$，我们知道一个很重要的性质：$int_{0}^{a} f(x) dx = int_{0}^{a} f(ax) dx$。
这个性质的意思是，如果我们将积分变量 $x$ 替换成 $ax$，积分的值是不变的。这就像是在图形上“翻转”了一下。
让我们把这个性质用在我们的题目上：
设 $I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x + cos x} dx$
令 $x = frac{pi}{2} u$。
那么，$dx = du$。
当 $x=0$ 时，$u = frac{pi}{2}$。
当 $x=frac{pi}{2}$ 时，$u = 0$。
将这些代入 $I$，我们得到：
$I = int_{frac{pi}{2}}^{0} frac{sin(frac{pi}{2} u)}{sin(frac{pi}{2} u) + cos(frac{pi}{2} u)} (du)$
利用三角函数恒等式：
$sin(frac{pi}{2} u) = cos u$
$cos(frac{pi}{2} u) = sin u$
所以，积分变成：
$I = int_{frac{pi}{2}}^{0} frac{cos u}{cos u + sin u} (du)$
利用积分的性质 $int_{a}^{b} f(x) dx = int_{b}^{a} f(x) dx$，我们可以把积分的上下限交换一下，同时去掉前面的负号：
$I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos u}{sin u + cos u} du$
注意，这里我们已经把积分变量从 $x$ 换成了 $u$。积分变量的名字并不影响积分的值，所以我们也可以把它写回 $x$：
$I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos x}{sin x + cos x} dx$
现在我们有了两个关于 $I$ 的等式：
1. $I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x + cos x} dx$
2. $I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos x}{sin x + cos x} dx$
关键的步骤来了：将这两个等式相加！
$I + I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{sin x + cos x} dx + int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cos x}{sin x + cos x} dx$
因为积分区间相同，我们可以把两个被积函数合并到同一个积分里：
$2I = int_{0}^{frac{pi}{2}} left( frac{sin x}{sin x + cos x} + frac{cos x}{sin x + cos x} ight) dx$
合并被积函数：
$2I = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin x + cos x}{sin x + cos x} dx$
看！分母和分子正好相等！
所以，被积函数就是 1。
$2I = int_{0}^{frac{pi}{2}} 1 , dx$
这个积分就非常简单了：
$2I = [x]_{0}^{frac{pi}{2}}$
$2I = frac{pi}{2} 0$
$2I = frac{pi}{2}$
最后，解出 $I$：
$I = frac{pi}{4}$
总结一下这道题的解法思路：
发现积分的被积函数在 $sin x$ 和 $cos x$ 之间有一种“互换”的结构。
利用定积分的性质 $int_{0}^{a} f(x) dx = int_{0}^{a} f(ax) dx$，将 $x$ 替换为 $(frac{pi}{2} x)$。
通过三角函数恒等式，发现新的积分的被积函数正好是将原积分中的 $sin x$ 和 $cos x$ 互换了位置。
将原积分和变换后的积分相加，发现被积函数恰好约分成了常数 1，从而使积分变得容易计算。
这种利用对称性、变量替换后相加的技巧，在处理涉及 $sin x$ 和 $cos x$ 的定积分时非常常见，是解这类题目的一大利器。
题目二：求解定积分 $int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{ an x}}{sqrt{ an x} + sqrt{cot x}} dx$
这道题和第一道题有异曲同工之妙，只不过把 $sin x$ 和 $cos x$ 换成了 $ an x$ 和 $cot x$。我们仍然可以尝试用类似的思路来解决。
首先，我们知道 $cot x = frac{1}{ an x}$。把这个关系代入被积函数，可以把问题转化成只包含 $ an x$ 的形式。
设 $J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{ an x}}{sqrt{ an x} + sqrt{cot x}} dx$
我们将被积函数中的 $sqrt{cot x}$ 替换成 $frac{1}{sqrt{ an x}}$：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{ an x}}{sqrt{ an x} + frac{1}{sqrt{ an x}}} dx$
现在来处理分母的部分：
$sqrt{ an x} + frac{1}{sqrt{ an x}} = frac{(sqrt{ an x})^2 + 1}{sqrt{ an x}} = frac{ an x + 1}{sqrt{ an x}}$
代回到积分中：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sqrt{ an x}}{frac{ an x + 1}{sqrt{ an x}}} dx$
当一个分数除以另一个分数时，相当于乘以其倒数：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} sqrt{ an x} cdot frac{sqrt{ an x}}{ an x + 1} dx$
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{(sqrt{ an x})^2}{ an x + 1} dx$
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{ an x}{ an x + 1} dx$
好了，现在我们得到了一个更“干净”的积分形式。但直接对 $frac{ an x}{ an x + 1}$ 求不定积分，还是有点麻烦，可能需要用到换元法把 $ an x$ 变成别的变量，或者进行代数变形。
关键时刻，我们再次考虑第一道题使用的那个“对称性”技巧。
积分区间是 $[0, frac{pi}{2}]$。
我们知道 $ an(frac{pi}{2} x) = cot x = frac{1}{ an x}$。
让我们对这个新的积分形式 $J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{ an x}{ an x + 1} dx$ 应用这个性质。
令 $x = frac{pi}{2} u$。
$dx = du$。
上下限变化同上。
$J = int_{frac{pi}{2}}^{0} frac{ an(frac{pi}{2} u)}{ an(frac{pi}{2} u) + 1} (du)$
$J = int_{frac{pi}{2}}^{0} frac{cot u}{cot u + 1} (du)$
再次交换积分上下限并去掉负号：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cot u}{cot u + 1} du$
把积分变量 $u$ 写回 $x$：
$J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cot x}{cot x + 1} dx$
现在我们有了两个关于 $J$ 的等式：
1. $J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{ an x}{ an x + 1} dx$
2. $J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cot x}{cot x + 1} dx$
将这两个等式相加：
$J + J = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{ an x}{ an x + 1} dx + int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{cot x}{cot x + 1} dx$
$2J = int_{0}^{frac{pi}{2}} left( frac{ an x}{ an x + 1} + frac{cot x}{cot x + 1} ight) dx$
处理被积函数相加的部分：
$frac{ an x}{ an x + 1} + frac{cot x}{cot x + 1}$
为了方便相加，我们可以把 $cot x$ 用 $frac{1}{ an x}$ 替换：
$= frac{ an x}{ an x + 1} + frac{frac{1}{ an x}}{frac{1}{ an x} + 1}$
$= frac{ an x}{ an x + 1} + frac{frac{1}{ an x}}{frac{1 + an x}{ an x}}$
$= frac{ an x}{ an x + 1} + frac{1}{ an x} cdot frac{ an x}{1 + an x}$
$= frac{ an x}{ an x + 1} + frac{1}{1 + an x}$
$= frac{ an x + 1}{ an x + 1}$
$= 1$
太棒了！又一次被积函数变成了常数 1。
所以，
$2J = int_{0}^{frac{pi}{2}} 1 , dx$
$2J = [x]_{0}^{frac{pi}{2}}$
$2J = frac{pi}{2} 0$
$2J = frac{pi}{2}$
最后，解出 $J$：
$J = frac{pi}{4}$
总结一下这道题的解法思路：
首先，利用三角函数之间的关系（$cot x = 1/ an x$）将含有 $ an x$ 和 $cot x$ 的复杂被积函数化简。
化简后得到 $frac{ an x}{ an x + 1}$ 形式。
然后，同样运用定积分的对称性性质：令 $x = (frac{pi}{2} x)$，将积分变换。
利用 $ an(frac{pi}{2} x) = cot x$ 和 $cot(frac{pi}{2} x) = an x$，得到一个新的积分形式。
将原始积分和变换后的积分相加，发现被积函数恰好可以化简为常数 1。
计算这个简单的积分即可得到最终结果。
这两道题的设计非常巧妙，它们都依赖于利用积分区间和被积函数本身的特点，通过变量替换和函数性质的结合，将复杂的积分简化为容易计算的常数积分。掌握了这种“凑巧”的思路，解决这类问题就会得心应手。
希望这样的讲解对你有所帮助！如果你还有其他问题或者想进一步探讨，随时都可以提出来。
网友意见
这种积分好像叫 Coxeter's integral。
注意到：
转化成二重积分，需令 ，
二重积分 可以变成：
再令 , ，则继续化简可得：
利用了：
于是拆开：
前者可以简单求出，
我们现在要求这个积分：
我们修改一下方便操作：
其中 ，我们再令
这好像叫Ahmed's integral。
对于 ，即求 .
我们不难求得 的原函数是 ，故 .
解出：
积分一次~
对后者倒代换：
神奇的事情出现了！
解得：
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你好！很高兴能和你一起探讨这两道积分题目。相信你之所以会问这个问题，是因为这两道题可能确实不像平常我们做的那些直接套公式就能搞定的题目。它们可能需要一些巧思和技巧。咱们就一步一步来，把思路理清楚，这样即便以后遇到类似的题目，也能举一反三。 题目一：求解定积分 $int_{0}^{frac{pi}{2............. -
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