这两个积分怎么做?
好的，我们来详细拆解一下这两个积分。请放心，我将用最自然、最人性化的方式来讲解，就像我们面对面一起讨论数学问题一样。
积分一：$int frac{x+2}{x^2+4x+3} dx$
这个积分看起来有点像我们熟悉的有理函数积分。首先映入眼帘的是一个多项式除以另一个多项式。处理这类积分，我们通常会考虑几种方法：
1. 直接积分：看分子是不是分母的导数。分母 $x^2+4x+3$ 的导数是 $2x+4$。我们观察分子是 $x+2$。虽然不是完全相同，但它们之间存在一个常数倍的关系：$2x+4 = 2(x+2)$。这给了我们一个非常好的思路！
2. 部分分式分解：如果分子和分母的导数关系不那么直接，我们会尝试将分母因式分解，然后把整个分数拆成更简单的分式相加。
3. 换元法：有时候，直接换元能简化积分。
在这个问题中，方法一显然是最直接、最优雅的。我们来沿着这个思路走。
核心思路：分子是分母导数的一部分
我们知道 $frac{d}{dx}(x^2+4x+3) = 2x+4$。
我们的积分是 $int frac{x+2}{x^2+4x+3} dx$。
注意到分子 $x+2$ 和分母导数 $2x+4$ 的关系：
$2x+4 = 2(x+2)$
所以，$x+2 = frac{1}{2}(2x+4)$。
我们可以这样重写积分：
$int frac{x+2}{x^2+4x+3} dx = int frac{frac{1}{2}(2x+4)}{x^2+4x+3} dx$
现在，我们可以把常数 $frac{1}{2}$ 提到积分外面：
$= frac{1}{2} int frac{2x+4}{x^2+4x+3} dx$
这时候，我们发现积分的形式非常完美，正好是 $int frac{f'(x)}{f(x)} dx$ 的形式。我们知道这个积分的结果是 $ln|f(x)| + C$。
在这里，$f(x) = x^2+4x+3$。
所以，积分的结果就是：
$= frac{1}{2} ln|x^2+4x+3| + C$
为了更细致地说明，我们也可以用一个标准的换元法来验证这个过程：
设 $u = x^2+4x+3$。
那么，对 $u$ 求导，我们得到 $du = (2x+4) dx$。
现在我们回到积分：$int frac{x+2}{x^2+4x+3} dx$。
我们想把积分中的所有 $x$ 的部分换成 $u$ 和 $du$。
我们已经知道 $u = x^2+4x+3$。
还需要处理分子和 $dx$：$(x+2)dx$。
从 $du = (2x+4) dx$，我们可以得到 $(x+2)dx = frac{1}{2} du$。
所以，积分就变成了：
$int frac{1}{u} cdot frac{1}{2} du$
$= frac{1}{2} int frac{1}{u} du$
这个积分是基本积分之一，结果是 $ln|u|$。
$= frac{1}{2} ln|u| + C$
最后一步，把 $u$ 换回原来的表达式：
$= frac{1}{2} ln|x^2+4x+3| + C$
补充说明：分母因式分解的思路
虽然我们用了最快的方法，但如果一开始没注意到分子和分母导数的关系，我们也可以试试因式分解分母。
$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$。
那么原积分变成 $int frac{x+2}{(x+1)(x+3)} dx$。
接着，我们用部分分式分解：
$frac{x+2}{(x+1)(x+3)} = frac{A}{x+1} + frac{B}{x+3}$
通分后得到：
$x+2 = A(x+3) + B(x+1)$
令 $x=1$：
$1+2 = A(1+3) + B(1+1)$
$1 = 2A implies A = frac{1}{2}$
令 $x=3$：
$3+2 = A(3+3) + B(3+1)$
$1 = 2B implies B = frac{1}{2}$
所以，原积分可以写成：
$int (frac{1/2}{x+1} + frac{1/2}{x+3}) dx$
$= frac{1}{2} int frac{1}{x+1} dx + frac{1}{2} int frac{1}{x+3} dx$
这两个都是非常简单的积分：
$= frac{1}{2} ln|x+1| + frac{1}{2} ln|x+3| + C$
根据对数性质 $ln a + ln b = ln(ab)$：
$= frac{1}{2} (ln|x+1| + ln|x+3|) + C$
$= frac{1}{2} ln|(x+1)(x+3)| + C$
$= frac{1}{2} ln|x^2+4x+3| + C$
你看，无论哪种方法，最终结果都是一样的！这让我们对结果更有信心。
积分二：$int x^3 cos(x^2) dx$
这个积分看上去有点难度。我们有 $x^3$ 这个多项式，还有 $cos(x^2)$ 这个三角函数。遇到这种组合，我们通常会考虑：
1. 换元法：看能否用一个替换来简化。
2. 分部积分法：如果我们有 $u cdot dv$ 的形式。
分析结构：
我们有 $x^3$ 和 $cos(x^2)$。这里有一个 $x^2$ 在 $cos$ 函数里面。这很容易让我们想到做个关于 $x^2$ 的换元。
换元思路：
设 $u = x^2$。
那么 $du = 2x dx$。
现在我们看看积分 $int x^3 cos(x^2) dx$ 中，哪些部分可以用 $u$ 和 $du$ 来表示。
我们可以把 $x^3$ 写成 $x^2 cdot x$。
$int x^2 cdot cos(x^2) cdot x dx$
用 $u$ 替换 $x^2$：
$int u cdot cos(u) cdot x dx$
现在我们需要处理 $x dx$ 这个部分。
从 $du = 2x dx$，我们可以得到 $x dx = frac{1}{2} du$。
把这些代入积分：
$int u cdot cos(u) cdot (frac{1}{2} du)$
$= frac{1}{2} int u cos(u) du$
现在，这个积分 $int u cos(u) du$ 是一个非常经典的形式，通常需要用分部积分法来解决。
分部积分法回顾：
分部积分的公式是 $int u , dv = uv int v , du$。
或者我们常用的形式是 $int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) int f'(x) g(x) dx$。
在我们这个新积分 $frac{1}{2} int u cos(u) du$ 中，我们需要选择哪个部分作为 $f(u)$（或者 $u$ 在公式里的那个 $u$），哪个部分作为 $g'(u)$（或者 $dv$ 在公式里的那个 $dv$）。
一个好的经验法则是，选择一个容易求导的函数作为 $f(u)$，以及一个容易积分的函数作为 $g'(u)$。
在这里：
如果我们设 $f(u) = u$，那么 $f'(u) = 1$。
如果我们设 $g'(u) = cos(u)$，那么 $g(u) = sin(u)$。
这个选择很好，因为 $f'(u)=1$ 会让后面的积分 $int v , du$ 变得更简单。
现在我们应用分部积分公式到 $int u cos(u) du$ 上：
令 $U = u$ （这里用大写U避免和前面换元的u混淆）
令 $dV = cos(u) du$
那么，$dU = du$
$V = int cos(u) du = sin(u)$
应用公式 $int U , dV = UV int V , dU$：
$int u cos(u) du = u sin(u) int sin(u) du$
现在来算剩下的积分 $int sin(u) du$：
$int sin(u) du = cos(u)$
所以，
$int u cos(u) du = u sin(u) (cos(u)) + C_1$
$= u sin(u) + cos(u) + C_1$
别忘了我们前面还有个 $frac{1}{2}$ 因子！
所以，原始积分是：
$frac{1}{2} (u sin(u) + cos(u)) + C$
$= frac{1}{2} u sin(u) + frac{1}{2} cos(u) + C$
最后一步，将 $u$ 换回 $x^2$：
$= frac{1}{2} x^2 sin(x^2) + frac{1}{2} cos(x^2) + C$
再次检查和思考：
我们这个方法看起来很顺畅。关键点在于识别出 $x^2$ 在 $cos$ 函数内，以及 $x^3$ 中可以分离出一个 $x$ 来配合 $dx$ 完成换元。
另一种可能的思路（虽然在这个例子中不如换元直接）：
能不能直接用分部积分法？
$int x^3 cos(x^2) dx$
如果我们设 $f(x) = x^3$ 和 $g'(x) = cos(x^2)$，那么 $f'(x) = 3x^2$，但 $g(x) = int cos(x^2) dx$ 是一个不可积函数（至少不是基本函数），所以这个选择不好。
如果我们设 $f(x) = cos(x^2)$ 和 $g'(x) = x^3$，那么 $f'(x) = sin(x^2) cdot 2x$（链式法则），$g(x) = frac{x^4}{4}$。
$int x^3 cos(x^2) dx = frac{x^4}{4} cos(x^2) int frac{x^4}{4} (sin(x^2) cdot 2x) dx$
$= frac{x^4}{4} cos(x^2) + int frac{x^5}{2} sin(x^2) dx$
这个新的积分 $int frac{x^5}{2} sin(x^2) dx$ 看起来比原来的积分更复杂了，里面的 $x^5$ 和 $sin(x^2)$ 组合也不容易处理。所以，直接分部积分不是一个好的起点。
结论： 对于这类积分，先观察函数结构，尤其是复合函数（如 $cos(x^2)$），并尝试用换元法来简化是常走的一条捷径。一旦换元成功，后续的积分就可能变得更容易处理，比如变成一个简单的分部积分问题。
希望这样的讲解方式足够详细和清晰，并且能让你感受到解题过程中的思考和探索。如果还有其他问题，随时可以继续交流！
积分一：$int frac{x+2}{x^2+4x+3} dx$
这个积分看起来有点像我们熟悉的有理函数积分。首先映入眼帘的是一个多项式除以另一个多项式。处理这类积分，我们通常会考虑几种方法：
1. 直接积分：看分子是不是分母的导数。分母 $x^2+4x+3$ 的导数是 $2x+4$。我们观察分子是 $x+2$。虽然不是完全相同，但它们之间存在一个常数倍的关系：$2x+4 = 2(x+2)$。这给了我们一个非常好的思路！
2. 部分分式分解：如果分子和分母的导数关系不那么直接，我们会尝试将分母因式分解，然后把整个分数拆成更简单的分式相加。
3. 换元法：有时候，直接换元能简化积分。
在这个问题中，方法一显然是最直接、最优雅的。我们来沿着这个思路走。
核心思路：分子是分母导数的一部分
我们知道 $frac{d}{dx}(x^2+4x+3) = 2x+4$。
我们的积分是 $int frac{x+2}{x^2+4x+3} dx$。
注意到分子 $x+2$ 和分母导数 $2x+4$ 的关系：
$2x+4 = 2(x+2)$
所以，$x+2 = frac{1}{2}(2x+4)$。
我们可以这样重写积分：
$int frac{x+2}{x^2+4x+3} dx = int frac{frac{1}{2}(2x+4)}{x^2+4x+3} dx$
现在，我们可以把常数 $frac{1}{2}$ 提到积分外面：
$= frac{1}{2} int frac{2x+4}{x^2+4x+3} dx$
这时候，我们发现积分的形式非常完美，正好是 $int frac{f'(x)}{f(x)} dx$ 的形式。我们知道这个积分的结果是 $ln|f(x)| + C$。
在这里，$f(x) = x^2+4x+3$。
所以，积分的结果就是：
$= frac{1}{2} ln|x^2+4x+3| + C$
为了更细致地说明，我们也可以用一个标准的换元法来验证这个过程：
设 $u = x^2+4x+3$。
那么，对 $u$ 求导，我们得到 $du = (2x+4) dx$。
现在我们回到积分：$int frac{x+2}{x^2+4x+3} dx$。
我们想把积分中的所有 $x$ 的部分换成 $u$ 和 $du$。
我们已经知道 $u = x^2+4x+3$。
还需要处理分子和 $dx$：$(x+2)dx$。
从 $du = (2x+4) dx$，我们可以得到 $(x+2)dx = frac{1}{2} du$。
所以，积分就变成了：
$int frac{1}{u} cdot frac{1}{2} du$
$= frac{1}{2} int frac{1}{u} du$
这个积分是基本积分之一，结果是 $ln|u|$。
$= frac{1}{2} ln|u| + C$
最后一步，把 $u$ 换回原来的表达式：
$= frac{1}{2} ln|x^2+4x+3| + C$
补充说明：分母因式分解的思路
虽然我们用了最快的方法，但如果一开始没注意到分子和分母导数的关系，我们也可以试试因式分解分母。
$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$。
那么原积分变成 $int frac{x+2}{(x+1)(x+3)} dx$。
接着，我们用部分分式分解：
$frac{x+2}{(x+1)(x+3)} = frac{A}{x+1} + frac{B}{x+3}$
通分后得到：
$x+2 = A(x+3) + B(x+1)$
令 $x=1$：
$1+2 = A(1+3) + B(1+1)$
$1 = 2A implies A = frac{1}{2}$
令 $x=3$：
$3+2 = A(3+3) + B(3+1)$
$1 = 2B implies B = frac{1}{2}$
所以，原积分可以写成：
$int (frac{1/2}{x+1} + frac{1/2}{x+3}) dx$
$= frac{1}{2} int frac{1}{x+1} dx + frac{1}{2} int frac{1}{x+3} dx$
这两个都是非常简单的积分：
$= frac{1}{2} ln|x+1| + frac{1}{2} ln|x+3| + C$
根据对数性质 $ln a + ln b = ln(ab)$：
$= frac{1}{2} (ln|x+1| + ln|x+3|) + C$
$= frac{1}{2} ln|(x+1)(x+3)| + C$
$= frac{1}{2} ln|x^2+4x+3| + C$
你看，无论哪种方法，最终结果都是一样的！这让我们对结果更有信心。
积分二：$int x^3 cos(x^2) dx$
这个积分看上去有点难度。我们有 $x^3$ 这个多项式，还有 $cos(x^2)$ 这个三角函数。遇到这种组合，我们通常会考虑：
1. 换元法：看能否用一个替换来简化。
2. 分部积分法：如果我们有 $u cdot dv$ 的形式。
分析结构：
我们有 $x^3$ 和 $cos(x^2)$。这里有一个 $x^2$ 在 $cos$ 函数里面。这很容易让我们想到做个关于 $x^2$ 的换元。
换元思路：
设 $u = x^2$。
那么 $du = 2x dx$。
现在我们看看积分 $int x^3 cos(x^2) dx$ 中，哪些部分可以用 $u$ 和 $du$ 来表示。
我们可以把 $x^3$ 写成 $x^2 cdot x$。
$int x^2 cdot cos(x^2) cdot x dx$
用 $u$ 替换 $x^2$：
$int u cdot cos(u) cdot x dx$
现在我们需要处理 $x dx$ 这个部分。
从 $du = 2x dx$，我们可以得到 $x dx = frac{1}{2} du$。
把这些代入积分：
$int u cdot cos(u) cdot (frac{1}{2} du)$
$= frac{1}{2} int u cos(u) du$
现在，这个积分 $int u cos(u) du$ 是一个非常经典的形式，通常需要用分部积分法来解决。
分部积分法回顾：
分部积分的公式是 $int u , dv = uv int v , du$。
或者我们常用的形式是 $int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) int f'(x) g(x) dx$。
在我们这个新积分 $frac{1}{2} int u cos(u) du$ 中，我们需要选择哪个部分作为 $f(u)$（或者 $u$ 在公式里的那个 $u$），哪个部分作为 $g'(u)$（或者 $dv$ 在公式里的那个 $dv$）。
一个好的经验法则是，选择一个容易求导的函数作为 $f(u)$，以及一个容易积分的函数作为 $g'(u)$。
在这里：
如果我们设 $f(u) = u$，那么 $f'(u) = 1$。
如果我们设 $g'(u) = cos(u)$，那么 $g(u) = sin(u)$。
这个选择很好，因为 $f'(u)=1$ 会让后面的积分 $int v , du$ 变得更简单。
现在我们应用分部积分公式到 $int u cos(u) du$ 上：
令 $U = u$ （这里用大写U避免和前面换元的u混淆）
令 $dV = cos(u) du$
那么，$dU = du$
$V = int cos(u) du = sin(u)$
应用公式 $int U , dV = UV int V , dU$：
$int u cos(u) du = u sin(u) int sin(u) du$
现在来算剩下的积分 $int sin(u) du$：
$int sin(u) du = cos(u)$
所以，
$int u cos(u) du = u sin(u) (cos(u)) + C_1$
$= u sin(u) + cos(u) + C_1$
别忘了我们前面还有个 $frac{1}{2}$ 因子！
所以，原始积分是：
$frac{1}{2} (u sin(u) + cos(u)) + C$
$= frac{1}{2} u sin(u) + frac{1}{2} cos(u) + C$
最后一步，将 $u$ 换回 $x^2$：
$= frac{1}{2} x^2 sin(x^2) + frac{1}{2} cos(x^2) + C$
再次检查和思考：
我们这个方法看起来很顺畅。关键点在于识别出 $x^2$ 在 $cos$ 函数内，以及 $x^3$ 中可以分离出一个 $x$ 来配合 $dx$ 完成换元。
另一种可能的思路（虽然在这个例子中不如换元直接）：
能不能直接用分部积分法？
$int x^3 cos(x^2) dx$
如果我们设 $f(x) = x^3$ 和 $g'(x) = cos(x^2)$，那么 $f'(x) = 3x^2$，但 $g(x) = int cos(x^2) dx$ 是一个不可积函数（至少不是基本函数），所以这个选择不好。
如果我们设 $f(x) = cos(x^2)$ 和 $g'(x) = x^3$，那么 $f'(x) = sin(x^2) cdot 2x$（链式法则），$g(x) = frac{x^4}{4}$。
$int x^3 cos(x^2) dx = frac{x^4}{4} cos(x^2) int frac{x^4}{4} (sin(x^2) cdot 2x) dx$
$= frac{x^4}{4} cos(x^2) + int frac{x^5}{2} sin(x^2) dx$
这个新的积分 $int frac{x^5}{2} sin(x^2) dx$ 看起来比原来的积分更复杂了，里面的 $x^5$ 和 $sin(x^2)$ 组合也不容易处理。所以，直接分部积分不是一个好的起点。
结论： 对于这类积分，先观察函数结构，尤其是复合函数（如 $cos(x^2)$），并尝试用换元法来简化是常走的一条捷径。一旦换元成功，后续的积分就可能变得更容易处理，比如变成一个简单的分部积分问题。
希望这样的讲解方式足够详细和清晰，并且能让你感受到解题过程中的思考和探索。如果还有其他问题，随时可以继续交流！
网友意见
This integral is the so-called 's integral. Set
then
Similarly, we have
Hence, the characteristic equation is
we get
So we can let
Next, note that
,
we obtain
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