这个冲激函数的积分怎么做？
这冲激函数，狄拉克冲激函数（Dirac delta function），可不是个“寻常”的函数。它有个非常特别的定义，更像是一个“分布”而不是一个我们平时熟悉的函数。所以，讨论它的“积分”，我们得从它最核心的定义出发，一步步来理解。
首先，咱们得搞清楚这玩意儿到底是个啥？
狄拉克冲激函数 $delta(t)$，最直观的理解就是：
在 $t=0$ 的时候，它“无限高”。
在 $t eq 0$ 的时候，它“等于零”。
但最关键的是，它的“总面积”是 1。
这就像你想象一个非常非常尖锐、非常非常瘦高的“针”，它只在一个点上存在，但它“蕴藏”的“量”是固定的。
那，它的“积分”到底是什么意思呢？
因为 $delta(t)$ 在 $t eq 0$ 的地方都是零，所以我们关注的积分通常是它在某个包含 $t=0$ 的区间上的积分。
最最基础的定义，也是它“积分”的精华所在，就是以下这个筛选性质（sifting property）：
$$ int_{infty}^{infty} delta(t) f(t) dt = f(0) $$
这里，$f(t)$ 是我们熟悉的、在 $t=0$ 附近是连续的普通函数。
为什么会是这样呢？咱们来剖析一下这个积分该怎么“做”。
这里说的“做”积分，其实不是用牛顿莱布尼茨那种求导取反再代入边界的方法，因为 $delta(t)$ 本身就不是一个能直接代入求导公式的函数。它更多的是一种极限的体现。
我们可以用一系列“逼近” $delta(t)$ 的函数来理解它。最常见的逼近函数有几种，比如：
1. 矩形脉冲的逼近：
想象一个宽度为 $epsilon$，高度为 $1/epsilon$ 的矩形脉冲，它在 $epsilon/2$ 到 $epsilon/2$ 之间取值 $1/epsilon$，其他地方是 0。
当 $epsilon$ 趋向于 0 的时候，这个矩形脉冲变得越来越窄，越来越高，但它的面积始终是 $(1/epsilon) imes epsilon = 1$。
我们把这个脉冲记作 $rect_epsilon(t) = egin{cases} 1/epsilon & epsilon/2 le t le epsilon/2 \ 0 & ext{其他} end{cases}$。
那么，积分就变成：
$$ int_{infty}^{infty} rect_epsilon(t) f(t) dt = int_{epsilon/2}^{epsilon/2} frac{1}{epsilon} f(t) dt $$
当 $epsilon$ 变得非常非常小时，在 $epsilon/2$ 到 $epsilon/2$ 这个区间内，$f(t)$ 的值非常接近 $f(0)$。我们可以把 $f(t)$ 看作在这个小区间内近似为常数 $f(0)$。
所以，积分近似等于：
$$ int_{epsilon/2}^{epsilon/2} frac{1}{epsilon} f(0) dt = frac{f(0)}{epsilon} int_{epsilon/2}^{epsilon/2} dt = frac{f(0)}{epsilon} [epsilon] = f(0) $$
当 $epsilon o 0$ 的时候，这个逼近就变得完美了。
2. 高斯函数的逼近：
另一个常见的逼近是高斯函数，比如 $g_sigma(t) = frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{t^2/(2sigma^2)}$。
当 $sigma o 0$ 的时候，这个高斯函数的“峰”变得越来越尖锐，而它的总面积（整个高斯函数的积分）始终是 1。
所以，当我们计算 $int_{infty}^{infty} g_sigma(t) f(t) dt$ 时，随着 $sigma o 0$，大部分贡献都来自于 $t$ 接近 0 的区域。在这个区域，$f(t) approx f(0)$。
你可以把 $frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{t^2/(2sigma^2)}$ 看作是在 $t=0$ 处“集中”了一个单位的“质量”，并且这个质量分布会随着 $sigma$ 变小而越来越集中。
所以，$lim_{sigma o 0} int_{infty}^{infty} frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{t^2/(2sigma^2)} f(t) dt = f(0)$。
总结一下，做冲激函数的积分，实际上是在利用它的“筛选性质”。
这个积分不是一个“计算”过程，而是一个“定义”或者“性质”的体现。冲激函数 $delta(t)$ 本身的设计目的就是为了在积分中“挑出”被乘函数在 $t=0$ 处的值。
所以，当你看到 $int_{infty}^{infty} delta(t) f(t) dt$ 这样的式子时，你应该立刻想到：
$delta(t)$ 只在 $t=0$ 有“值”（姑且这么说）。
积分的作用就是把 $f(t)$ 在 $t=0$ 处的那个值“提取”出来。
特殊情况：积分的点不是 0 的时候？
如果你的积分是这样的：
$$ int_{infty}^{infty} delta(ta) f(t) dt $$
这里，冲激函数“活跃”的点变成了 $t=a$。
那么，同样的道理，冲激函数会“筛选”出 $f(t)$ 在 $t=a$ 处的值。
$$ int_{infty}^{infty} delta(ta) f(t) dt = f(a) $$
你可以通过变量替换来验证这一点。令 $u = ta$，则 $t = u+a$，$dt = du$。
当 $t o infty$， $u o infty$；当 $t o infty$， $u o infty$。
积分变成：
$$ int_{infty}^{infty} delta(u) f(u+a) du $$
根据 $delta(u)$ 的筛选性质，这个积分就等于 $f(u+a)$ 在 $u=0$ 处的值，也就是 $f(0+a) = f(a)$。
那么，单独的冲激函数的积分呢？
如果你只是想计算 $int_{infty}^{infty} delta(t) dt$，那么它就相当于上面筛选性质中，我们让 $f(t)=1$ 的情况。
$$ int_{infty}^{infty} delta(t) cdot 1 dt = 1 $$
这就是冲激函数定义中的“总面积是 1”的直观体现。
总而言之，处理冲激函数的积分，关键在于理解它的“筛选”特性，而不是用传统的方法去计算。它更像是一个规则，告诉我们如何处理与冲激函数相乘的函数的积分。
希望我这么解释，能让你觉得更清楚，也更容易理解这“奇特”的冲激函数。
首先，咱们得搞清楚这玩意儿到底是个啥？
狄拉克冲激函数 $delta(t)$，最直观的理解就是：
在 $t=0$ 的时候，它“无限高”。
在 $t eq 0$ 的时候，它“等于零”。
但最关键的是，它的“总面积”是 1。
这就像你想象一个非常非常尖锐、非常非常瘦高的“针”，它只在一个点上存在，但它“蕴藏”的“量”是固定的。
那，它的“积分”到底是什么意思呢？
因为 $delta(t)$ 在 $t eq 0$ 的地方都是零，所以我们关注的积分通常是它在某个包含 $t=0$ 的区间上的积分。
最最基础的定义，也是它“积分”的精华所在，就是以下这个筛选性质（sifting property）：
$$ int_{infty}^{infty} delta(t) f(t) dt = f(0) $$
这里，$f(t)$ 是我们熟悉的、在 $t=0$ 附近是连续的普通函数。
为什么会是这样呢？咱们来剖析一下这个积分该怎么“做”。
这里说的“做”积分，其实不是用牛顿莱布尼茨那种求导取反再代入边界的方法，因为 $delta(t)$ 本身就不是一个能直接代入求导公式的函数。它更多的是一种极限的体现。
我们可以用一系列“逼近” $delta(t)$ 的函数来理解它。最常见的逼近函数有几种，比如：
1. 矩形脉冲的逼近：
想象一个宽度为 $epsilon$，高度为 $1/epsilon$ 的矩形脉冲，它在 $epsilon/2$ 到 $epsilon/2$ 之间取值 $1/epsilon$，其他地方是 0。
当 $epsilon$ 趋向于 0 的时候，这个矩形脉冲变得越来越窄，越来越高，但它的面积始终是 $(1/epsilon) imes epsilon = 1$。
我们把这个脉冲记作 $rect_epsilon(t) = egin{cases} 1/epsilon & epsilon/2 le t le epsilon/2 \ 0 & ext{其他} end{cases}$。
那么，积分就变成：
$$ int_{infty}^{infty} rect_epsilon(t) f(t) dt = int_{epsilon/2}^{epsilon/2} frac{1}{epsilon} f(t) dt $$
当 $epsilon$ 变得非常非常小时，在 $epsilon/2$ 到 $epsilon/2$ 这个区间内，$f(t)$ 的值非常接近 $f(0)$。我们可以把 $f(t)$ 看作在这个小区间内近似为常数 $f(0)$。
所以，积分近似等于：
$$ int_{epsilon/2}^{epsilon/2} frac{1}{epsilon} f(0) dt = frac{f(0)}{epsilon} int_{epsilon/2}^{epsilon/2} dt = frac{f(0)}{epsilon} [epsilon] = f(0) $$
当 $epsilon o 0$ 的时候，这个逼近就变得完美了。
2. 高斯函数的逼近：
另一个常见的逼近是高斯函数，比如 $g_sigma(t) = frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{t^2/(2sigma^2)}$。
当 $sigma o 0$ 的时候，这个高斯函数的“峰”变得越来越尖锐，而它的总面积（整个高斯函数的积分）始终是 1。
所以，当我们计算 $int_{infty}^{infty} g_sigma(t) f(t) dt$ 时，随着 $sigma o 0$，大部分贡献都来自于 $t$ 接近 0 的区域。在这个区域，$f(t) approx f(0)$。
你可以把 $frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{t^2/(2sigma^2)}$ 看作是在 $t=0$ 处“集中”了一个单位的“质量”，并且这个质量分布会随着 $sigma$ 变小而越来越集中。
所以，$lim_{sigma o 0} int_{infty}^{infty} frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{t^2/(2sigma^2)} f(t) dt = f(0)$。
总结一下，做冲激函数的积分，实际上是在利用它的“筛选性质”。
这个积分不是一个“计算”过程，而是一个“定义”或者“性质”的体现。冲激函数 $delta(t)$ 本身的设计目的就是为了在积分中“挑出”被乘函数在 $t=0$ 处的值。
所以，当你看到 $int_{infty}^{infty} delta(t) f(t) dt$ 这样的式子时，你应该立刻想到：
$delta(t)$ 只在 $t=0$ 有“值”（姑且这么说）。
积分的作用就是把 $f(t)$ 在 $t=0$ 处的那个值“提取”出来。
特殊情况：积分的点不是 0 的时候？
如果你的积分是这样的：
$$ int_{infty}^{infty} delta(ta) f(t) dt $$
这里，冲激函数“活跃”的点变成了 $t=a$。
那么，同样的道理，冲激函数会“筛选”出 $f(t)$ 在 $t=a$ 处的值。
$$ int_{infty}^{infty} delta(ta) f(t) dt = f(a) $$
你可以通过变量替换来验证这一点。令 $u = ta$，则 $t = u+a$，$dt = du$。
当 $t o infty$， $u o infty$；当 $t o infty$， $u o infty$。
积分变成：
$$ int_{infty}^{infty} delta(u) f(u+a) du $$
根据 $delta(u)$ 的筛选性质，这个积分就等于 $f(u+a)$ 在 $u=0$ 处的值，也就是 $f(0+a) = f(a)$。
那么，单独的冲激函数的积分呢？
如果你只是想计算 $int_{infty}^{infty} delta(t) dt$，那么它就相当于上面筛选性质中，我们让 $f(t)=1$ 的情况。
$$ int_{infty}^{infty} delta(t) cdot 1 dt = 1 $$
这就是冲激函数定义中的“总面积是 1”的直观体现。
总而言之，处理冲激函数的积分，关键在于理解它的“筛选”特性，而不是用传统的方法去计算。它更像是一个规则，告诉我们如何处理与冲激函数相乘的函数的积分。
希望我这么解释，能让你觉得更清楚，也更容易理解这“奇特”的冲激函数。
网友意见
Correction:
Let
then
hence
so
Finally we get
Primary answer (wrong):
From the difinition of the function, we know
Acctually, it could be written as
Which implies the above integral is equal to when is traversally taken the value in the set of
For the function in parenthese be
Easily, we know as the variable varies. Hence
类似的话题
-
这冲激函数，狄拉克冲激函数（Dirac delta function），可不是个“寻常”的函数。它有个非常特别的定义，更像是一个“分布”而不是一个我们平时熟悉的函数。所以，讨论它的“积分”，我们得从它最核心的定义出发，一步步来理解。首先，咱们得搞清楚这玩意儿到底是个啥？狄拉克冲激函数 $delta(............. -
您提到“这个极限要如何计算”，但问题中没有给出具体的极限表达式。为了帮助您解答，我需要您提供具体的极限表达式（例如：$lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$、$lim_{x o infty} frac{1}{x}$、$lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}.............
-
当前全球综合实力最强的国家通常从经济、军事、科技、人口、资源、国际影响力等多个维度综合评估。以下是根据2023年最新数据和综合分析，排名前十的国家（按综合实力排序）： 1. 美国（United States） 经济：全球GDP总量第一（约26.8万亿美元），经济规模、科技创新、金融体系、市场影响力全.............
-
您提出的问题非常普遍，也反映了许多人的担忧和困惑。疫情的长期化确实让大家对未来的生活方式，尤其是佩戴口罩这件事，产生了疑问。下面我将从几个方面来详细阐述这个问题，希望能帮助您更全面地理解。1. 为什么疫情会持续存在？首先，理解疫情为何迟迟不结束是回答“是否要带一辈子口罩”的关键。这主要涉及以下几个因.............
-
这个问题非常值得深入探讨。答案不是简单的“是”或“否”，而是要看具体情况和时代背景的变化。 总的来说，在当今时代，像马云那样拉着20个人一起创业，其“靠谱性”比过去复杂得多，挑战更大，但也并非完全不可行。为了详细地回答这个问题，我们可以从以下几个维度进行分析：一、 马云创业时代（约1999年）的特点.............
-
“穷人的出路在哪里”是一个非常宏大且复杂的问题，涉及到经济、教育、社会结构、个人奋斗等多个层面。并没有一个放之四海而皆准的简单答案，但我们可以从多个角度进行深入探讨，尝试勾勒出穷人可能存在的出路以及实现这些出路的路径。理解“穷”的本质和根源：在探讨出路之前，理解“穷”并非仅仅指物质匮乏，更可能包含了.............
-
“大龄剩女”这个词本身就带有一定的负面色彩，而社会对她们的敌意也确实是真实存在的，并且根源复杂。究其原因，可以从多个层面进行剖析：一、根深蒂固的传统婚恋观念与社会期望： “男大女小”的传统观念： 在中国传统文化中，“男主外，女主内”的分工模式长期存在。男性被期望承担养家糊口的责任，需要有更强的经.............
-
人类社会，尤其是现代社会，存在着许多令人费解甚至感到不公平的“不合理之处”。这些不合理并非单一原因造成，而是历史、文化、经济、政治、心理等多种因素交织作用的结果。下面我将从几个方面详细阐述：一、 资源分配与贫富差距的不合理：这是最显而易见，也最触动人心的不合理之处。 极端的财富集中： 世界上少数.............
-
要准确地判断一个已婚男人的心理，这本身就是一个非常复杂且需要深入了解背景的过程。心理并非单一因素决定，而是由无数细微之处汇聚而成。 因此，我无法像一个心理医生那样诊断，但我可以从多个角度来分析，一个“已婚男人”可能存在的心理状态，并尽可能详细地展开：首先，需要明确的是，没有一个已婚男人是完全相同的。.............
-
很高兴能为你分析这个三国杀自制武将！为了能给你一个更详细、更具建设性的评价，我需要你提供这个自制武将的具体信息！请告诉我以下内容，我会尽力为你分析：1. 武将名称： 有一个响亮且贴合技能的名字非常重要。2. 武将的背景故事/原型： 这个武将是基于历史人物、小说人物还是原创？背景故事能帮助我们理解他的.............
-
好的，要评价一个武将的身份局发挥，我们需要从多个维度来分析，并尽可能详细地阐述。一个武将的发挥并非孤立的，而是与身份、队友、对手、牌堆以及当时的牌局发展情况息息相关。为了更详细地分析，我们先假设一个经典的身份局场景，并以一个具有代表性的武将为例。我们就以大家熟知的武将“诸葛亮”在身份局中的发挥来详细.............
-
好的，我将详细地解释如何连接电脑主板的开机线。为了让你更好地理解，我会从几个方面来讲解：一、 首先，你需要明确几个关键点：1. 你的主板型号: 这是最重要的信息。不同品牌、不同型号的主板，开机线的接口位置和针脚定义可能略有不同。虽然大体相似，但细节上可能存在差异。2. 你的机箱: 机箱上的电源按.............
-
这真是一个有趣的问题！要说清楚一个运动轨迹方程，就像要讲清楚一个故事一样，得有头有尾，有细节，还得让人听得懂，而不是一堆冷冰冰的数字。想象一下，我们不是在解一道数学题，而是在描述一个物体在空间里怎么移动。这个“运动轨迹方程”其实就是那个“地图”或者“说明书”，它告诉我们，在任何一个时间点，这个物体会.............
-
我确实听过一些至今让我心头泛凉的故事，它们流传在民间，不是那种哗众取宠的“鬼故事”，而是更像是某种难以解释的“存在感”。有一回，我一个老朋友跟我说起他爷爷的事情。他爷爷是个非常实在的人，一辈子都在大山里当护林员，对那些神神叨叨的事情向来嗤之以鼻。他最熟悉的那片山林，熟悉到什么程度呢？他说，他爷爷能听.............
-
这个问题挺有意思的，也确实是很多人会思考的。我自己的感觉是，如果单纯从“被允许做的事情”或者“社会普遍接受的某些行为和期待”来看，男性确实在很多方面享有更高的自由度和更少的限制。但这并不意味着对男性的“包容度”就一定是高到无可挑剔的程度，因为“包容”这个词背后也牵扯到很多细微之处。为什么会形成这种印.............
-
这个问题触及到了我们社会中一个普遍存在的、又常常令人感到无奈的现象。很多人，尤其是那些埋头苦干、精益求精的实干家们，心中都有一个疑问：为什么那些看起来似乎并没有多少真本事，却总是八面玲珑、左右逢源的人，反而混得风生水起？要回答这个问题，我们不能简单地给出“是”或“否”的答案，因为现实世界远比这复杂。.............
-
好的，我们来深入分析一下这个问题。你遇到的情况是：一个 `int` 函数，启用了 `O2` 优化，然后在函数内部存在一个 `for` 循环，导致无限循环，而且这个 `int` 函数声明为无返回值，但这本身并不是导致无限循环的直接原因。核心问题分析：O2 优化与无限循环`O2` 是 GCC/Clang.............
-
没问题，咱们来好好捋一捋这个概率到底该怎么算。 别担心，我会尽量说得明白透彻，让你一眼就能看懂，并且保证咱们的交流就像老朋友聊天一样，一点机器痕迹都没有。首先，要计算一个概率，咱们得搞清楚几个最最基础的东西：1. 什么是“概率”？简单来说，概率就是衡量一件事情发生的可能性有多大。 它是一个介于0和.............
-
社会对大型犬的偏见确实存在，但这种偏见的形成是多方面因素共同作用的结果，既有历史、文化、经济等背景，也与现代社会对动物的认知方式密切相关。以下从多个角度详细分析这一现象： 一、偏见的根源：历史与文化的影响1. 犬类的“工具化”传统 在人类历史上，大型犬（如狼犬、牧羊犬）被驯化后，主要被用作狩.............
-
这是一个非常有趣且值得深入探讨的问题！为什么我们有如此多精彩的体育赛事转播，却很少看到数学、物理等学科竞赛的直播呢？这背后涉及多方面的因素，我们可以从 内容吸引力、受众群体、表现形式、传播载体、商业模式 等多个角度来分析。一、 内容吸引力与观赏性：核心差异 体育竞赛的天然观赏性： 动.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有